第29讲 尺规作图（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“尺规作图”专题，覆盖五种基本作图及作三角形、圆切线等13类中考核心题型，按“知识点梳理-典例解析-变式训练”架构系统整合，通过考点精讲、方法归纳和真题演练帮助学生突破作图原理与应用难点。 亮点在于融合几何直观与推理意识，如“作角平分线证特殊四边形”“格点作图中垂线和平行线”等实例，培养学生空间观念。设分层练习体系，典例示范与变式巩固结合，教师可依题型模块把控节奏，助力学生高效掌握作图技巧，提升中考实战能力。

第29讲 尺规作图 知识点1：尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 五种基本作图： 【题型1 尺规作图-作线段】 【典例1】如图，在中，，．    (1)在斜边上求作线段，使，连接； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 【变式1】在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知线段m，n．求作，使． 】 】 【题型2 作一个角等于已知角】 【典例2】如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法） 【变式1】如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹是（   ）    A．以点B为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DC为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DC为半径的弧 【变式2】如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC． （1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长． 【变式3】如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为______． 【题型3 尺规作角的和、差】 】【 】 【典例3】如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点． (1)在CD边上求作一点F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若AB＝BC＝4，求BF的长． 【变式1】如图，已知，利用尺规作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】如图，已知．求作，使（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 【题型4 过直线外一点作这条线的平行】 【典例4】尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 【变式1】如图，已知三角形，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使． 【题型5 作角平分线】 【典例5】如图，四边形中，，，于点． (1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明． 【变式1】如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【变式2】如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 【变式3】如图，中，． (1)基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)若，求的周长． 【题型6 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）】 【典例6】如图，被墨迹污染了，请你重新作一个，使．(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)    【变式1】如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】已知：线段a 和，求作：，使得， ， ． 结论： 【变式3】如图，已知线段a、b．求作，并使两直角边，． 【题型7 尺规作图-作三角形的中线与高】 】 【典例7】如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 【变式1】如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】如图，，，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型8 尺规作图-作垂直平分线】 【典例8】如图，是矩形的对角线． (1)作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)设的垂直平分线交于点，交于点，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形的周长． 【变式1】如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【变式2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【变式3】如图，是菱形的对角线．    (1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【题型9 尺规作图-过圆外一点作圆的切线】 【典例9】如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【变式1】如图，与相切于点，且经过的中点． (1)利用无刻度的直尺和圆规过点作出的另外一条切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 【变式2】如图是的正方形网格，网格边长为1，的顶点均在格点上．已知的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹． (1)作的外接圆的直径； (2)过点B作的外接圆的切线． 【题型10 尺规作图-作外接圆】 【典例10】如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 【变式1】如图，在中，，垂足是． (1)作的外接圆（尺规作图）； (2)若，，，求的外接圆半径的长． 【变式2】如图，已知为等腰三角形，点E为的中点，请用尺规作图法，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法） 【题型11 尺规作图-作内切圆】 】 【典例11】已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：    (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 【变式1】如图，已知，请用尺规作图法作出的内切圆 (只保留作图痕迹，不写作法和证明) 【变式2】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC． （1）尺规作图：作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若⊙O的半径为1，求BC的长． 【题型12 尺规作图-作圆内接正多边形】 【典例12】作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【变式1】如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【变式2】根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 【题型13 尺规作图-格点作图】 【典例13】如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【变式1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．    (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为5 (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 【变式2】如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 1．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 2．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．平分 3．如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（    ）    A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形 8．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为__________度．    9．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为______．    10．如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长____________．（结果保留）    11．如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 12．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲 尺规作图 知识点1：尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 五种基本作图： 【题型1 尺规作图-作线段】 【典例1】如图，在中，，．    (1)在斜边上求作线段，使，连接； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点O，则问题可求解； （2）根据含30度直角三角形的性质可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：所作线段如图所示：    （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点O为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 【变式1】在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D． 【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意； B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意； C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意； D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 【变式2】尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知线段m，n．求作，使． 【答案】见解析 【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取；作；即可得到． 【详解】解：如图所示：为所求． 注：（1）作直线l及l上一点A； （2）过点A作l的垂线； （3）在l上截取； （4）作． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 】 】 【题型2 作一个角等于已知角】 【典例2】如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】详见解析 【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可． 【详解】解： 作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E， （2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F， （3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M， （3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求． 如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【变式1】如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹是（   ）    A．以点B为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DC为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DC为半径的弧 【答案】D 【详解】分析：根据题意，所作出的是∠OBF=∠AOB，， 根据作一个角等于已知角的作法，是以点E为圆心，DC为半径的弧． 故选D． 【变式2】如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC． （1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）4． 【详解】试题分析：（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可； （2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可． 试题解析：解：（1）如图所示，射线CM即为所求； （2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴，即，∴AD=4． 点睛：本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 【变式3】如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为______． 【答案】/70度 【分析】本题考查基本作图—作角，根据作图可知，，求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴； 故答案为：． 【题型3 尺规作角的和、差】 】【 【点力】 【典例3】如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点． (1)在CD边上求作一点F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若AB＝BC＝4，求BF的长． 【答案】(1)作图见解析 (2)5 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法，作出∠ABE的等角∠EBF即可； （2）连接，过点E作，垂足为H，由角平分线的性质可得，由，可得，，设，则，，，中由勾股定理建立方程求得x，再计算线段和即可； 【详解】（1）解：如图，①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BE于点G、N；②以点N为圆心，NG长为半径画弧，在∠EBC内交前弧于点M；③作射线BM交CD于点F； 根据作图可得∠ABE=∠EBF， 由AB∥CD， 则∠CFB=∠ABF=2∠ABE； （2）解：如图，连接，过点E作，垂足为H， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， 由作图可知：， ∴， ∵E为的中点． ∴， ∴， 在和中， ， ∴（HL）， ∴， ∵，， ∴（HL）， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， ， 解得：， 即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，作一个角等于二倍角，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题关键． 【变式1】如图，已知，利用尺规作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角的2倍，熟练掌握作一个角等于已知角的基本作图方法，是解题的关键．根据作一个角等于已知角的基本作图方法，作出即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式2】如图，已知．求作，使（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于两角的和，解题的关键是掌握尺规作一个角等于已知角的步骤． 利用作角的和的步骤，即先作，再进行叠加，作即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【题型4 过直线外一点作这条线的平行】 【典例4】尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 作，利用同位角相等，两直线平行可知． 【变式1】如图，已知三角形，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 根据同位角相等，两直线平行，先以点B为圆心任意长为半径画弧交于点D，交于点F，在上取一点M，再以点M为圆心，以为半径画弧，交于点E，然后以点E为圆心，以为半径画弧，交弧于点G，连接，交于点N，可知，即． 【详解】解：如图，直线即为所求． 【题型5 作角平分线】 【典例5】如图，四边形中，，，于点． (1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—作角平分线，角平分线的性质、平行线的性质、菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． (1)利用基本作图作角平分线即可； (2)由平分，则，再根据平行线的性质得，故有，然后利用菱形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图，的角平分线即为； 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别与，相交，再以两交点分别为圆心，大于这两个交点的距离的一半作弧线，相交于一点，连接点与此交点并延长，分别交于点，交于点即可； （2）解：四边形是菱形，证明如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 【变式1】如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）利用等腰三角形的性质得到，再证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：连接， ，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式2】如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图和平行四边形的性质，熟练掌握“等边对等角”是解题的关键． （1）利用尺规作图作的平分线，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E即可； （2）由（1）可得，根据得到，进而得到，根据等边对等角证明即可． 【详解】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点， 再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E，如图所示： （2）证明：平分 四边形是平行四边形 ． 【变式3】如图，中，． (1)基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)若，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)8 【分析】该题考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作图即可． （2）根据题意，从而得出，证明，求出，，解答即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求． （2）解：根据题意， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【题型6 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）】 【典例6】如图，被墨迹污染了，请你重新作一个，使．(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)    【答案】见解析 【分析】本题主要考查限定工具作图，三角形全等的判定；根据已知三角形，利用进而得出全等三角形即可． 【详解】解：如图所示：，即为所求．    首先画一条射线并在其上截取，再分别以和为顶点作，，则与另一边的交点即为点，则即为所求作． 【变式1】如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及尺规作图，掌握全等三角形的判定方法及作一条线段等于已知线段是解题关键，在延长线上截取，在延长线上截取，连接即可得出． 【详解】解：如下图，即为所求作． 【变式2】已知：线段a 和，求作：，使得， ， ． 结论： 【答案】图见解析，结论：为所求作三角形 【分析】本题考查了作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，以及垂直平分线作图，先画一条线段，用圆规在线段上取，再画，以及线段a垂直平分线，取，连接，所作即为所求． 【详解】解：所作如下图所示： 结论：为所求作三角形． 【变式3】如图，已知线段a、b．求作，并使两直角边，． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图-作三角形．先画一条直线，在直线上任取一点B，截取,然后过点C作已知直线的垂线 ，截取,连接, 则为所求作的三角形． 【详解】解：如图： 如图所求为所求作的三角形. 【题型7 尺规作图-作三角形的中线与高】 】 【典例7】如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质； （1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）证明：如图， ∵由作图可得：，由旋转可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【变式1】如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形． 【详解】解：等腰直角如图所示： 【变式2】如图，，，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立； （2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：所作图形如图， ．   【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键． 【题型8 尺规作图-作垂直平分线】 【典例8】如图，是矩形的对角线． (1)作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)设的垂直平分线交于点，交于点，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形的周长． 【答案】(1)图见详解 (2)①四边形是菱形，理由见详解；②四边形的周长为 【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于为半径画弧，分别交于点M、N，连接，则问题可求解； （2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证； ②设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：所作线段的垂直平分线如图所示： （2）解：①四边形是菱形，理由如下：如图， 由作图可知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是矩形，， ∴， 由①可设，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式1】如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）解：如下直线l即为所求． （2）连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式3】如图，是菱形的对角线．    (1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，点，作直线交于点，交于点，连接即可； （2）连接，由菱形的性质得到，，则，由线段的垂直平分线的性质可得，故得到，则． 【详解】（1）解：    （2）解：连接， 菱形， ，， ， 垂直平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键． 【题型9 尺规作图-过圆外一点作圆的切线】 【典例9】如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】解：如图，点P即为所作． 【变式1】如图，与相切于点，且经过的中点． (1)利用无刻度的直尺和圆规过点作出的另外一条切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查过圆外一点作圆的切线，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，三角形全等的判定与性质及弧长公式． （1）根据题意得，以点C为圆心，为半径画圆交于点两点，由与相切于点，则，根据直径所对圆周角为得，即可解答； （2）解直角三角形求出，进而求出，根据切线的性质证明，推出，    求出，再利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求作的切线； （2）解：与相切于点， ， 点为的中点， ，     ，    ， ，        与相切于点， ． 在和中，， ， ，     ； ． 【变式2】如图是的正方形网格，网格边长为1，的顶点均在格点上．已知的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹． (1)作的外接圆的直径； (2)过点B作的外接圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，三角形的外接圆，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直径所对圆周角为，结合网格的特征，取格点，则，即交圆于点D，连接即可； （2）由（1）知为的外接圆的直径，利用网格的特征，取中点，即为的外接圆的圆心，连接，再利用网格的特征，取格点E，作直线，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，直径即为所求． （2）解：如图，切线即为所求． AI 【题型10 尺规作图-作外接圆】 【典例10】如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，是解题的关键： （1）根据三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，作的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，再以为圆心，的长为半径画圆，延长交于点，连接，即可； （2）根据圆周角定理得到，即可得证； 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】如图，在中，，垂足是． (1)作的外接圆（尺规作图）； (2)若，，，求的外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，先作线段和的垂直平分线确定点O的位置，再以O为圆心，以的长为半径画圆即可； （2）如图所示，连接并延长交于E，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再由圆周角定理得到，进而证明得到，由此代入数值计算求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接并延长交于E，连接， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的外接圆半径的长为． 【点睛】本题主要考查了画三角形外接圆，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式2】如图，已知为等腰三角形，点E为的中点，请用尺规作图法，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．作线段的垂直平分线交直线于O，以O为圆心，为半径作，即为所求． 【详解】解：作线段的垂直平分线交直线于O，以O为圆心，为半径作，即为所求． 【题型11 尺规作图-作内切圆】 】 【典例11】已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：    (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心是解题的关键． （1）根据三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心，确定圆心，然后作垂线确定半径，最后作圆即可； （2）如图1，连接，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作的平分线，交点即为圆心，过作于，以为圆心，为半径画圆，即为的内切圆；        （2）解：如图1，连接， ∴，即， 解得，， ∴的周长为． 【变式1】如图，已知，请用尺规作图法作出的内切圆 (只保留作图痕迹，不写作法和证明) 【答案】见解析 【分析】作和的平分线，它们相交于点，过点作于点，再以点为圆心，为半径作圆，则为的内切圆． 【详解】解：作和的平分线，它们相交于点，过点作于点，再以点为圆心，为半径作圆，如图， 则为所作． 【点睛】本题主要考查了复杂作图、三角形的内切圆与内心等知识点，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键． 【变式2】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC． （1）尺规作图：作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若⊙O的半径为1，求BC的长． 【答案】（1）图见解析；（2）． 【分析】（1）作∠BAC的平分线AD，再作∠ABC的平分线交AD于O，然后以O点为圆心，OD为半径画圆即可； （2）过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OC，如图，根据切线的性质得到OD＝OE＝OF＝1，利用四边形AEOF为正方形得到OA＝OE＝，然后根据等腰直角三角形的性质得到BC＝2AD． 【详解】解：（1）如图，⊙O为所作； （2）过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OC，如图， ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OD＝OE＝OF＝1， 易得四边形AEOF为正方形， ∴OA＝OE＝， ∴AD＝AO+OD＝+1， ∵AD为等腰直角三角形斜边上的角平分线， ∴AD为斜边上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴BC＝2AD＝2+2． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【题型12 尺规作图-作圆内接正多边形】 【典例12】作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所求： 作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； （2）如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 【变式1】如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． （1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可； （2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 是的直径， ， 四边形是正方形； （2）解：的半径为，四边形是正方形， ，， ． 即正方形的边长为． 【变式2】根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 【答案】任务一：见解析；任务二： 【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 任务一：根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可； 任务二：由旋转的性质可知，即得出，即此时点所在位置的坐标为． 【详解】解：任务一：如图，正六边形即为所作； 任务二：如图， 由旋转可知， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型13 尺规作图-格点作图】 【典例13】如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 【变式1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．    (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为5 (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可； （2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点； （3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可． 【详解】（1）解：如图所示， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可， 答案不唯一； （2）由网格可知， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点， 答案不唯一， （3）如图所示， 作，过点作，交于格点，      由网格可知， ，， ∴是直角三角形，且 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直． 【变式2】如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 【答案】(1)画图见解析，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴为的切线； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴解得． 【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 1．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 2．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的尺规作图、以及性质即可得． 【详解】解：由题意得：是线段的垂直平分线， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键． 3．如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接AD， 由作图知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AD=CD=3， ∴∠DAC=∠C， ∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=120°-∠DAC=90°， ∴BD=2AD=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质． 6．如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据作法可知MN垂直平分AC，根据中垂线的定义和性质找到相等的边，进而可算出三角形ABC的周长． 【详解】解：由作法得MN垂直平分AC， ∴DA=DC，AE=CE=2cm， ∵△ABD的周长为11cm， ∴AB+BD+AD=11， ∴AB+BD+DC=11，即AB+BC=11， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=11+2×2=15（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查线段的中垂线的定义以及性质，三角形的周长，能够熟练运用线段中垂线的性质是解决本题的关键． 7．如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（    ）    A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形 【答案】D 【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明△PAE≌△PBF；利用菱形的判定定理可判定选项D． 【详解】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意； 由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题意； 由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL) ，故选项C成立，不符合题意； ∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，故选项D不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定． 8．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为__________度．    【答案】55 【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到． 【详解】∵由作图可得，是的角平分线 ∴． 故答案为：55． 【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为______．    【答案】 【分析】根据作图可知：是线段的垂直平分线，即有，再在中，，问题得解． 【详解】连接，如图，    根据作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，得出是线段的垂直平分线，是解答本题的关键． 10．如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长____________．（结果保留）    【答案】/ 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由等腰三角形的性质求出的度数，由弧长公式即可计算． 【详解】解：由作图知∶垂直平分， 扇形的半径是2， 故答案为∶． 11．如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知直线的平行线，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理可知点P在的垂直平分线上，先作出的垂直平分线，再过点C作，则两条直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 12．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2)见解析 【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【详解】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七 （2）如图所示，即为所求， 1 学科网（北京）股份有限公司 $