第28讲 与圆有关的计算（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“与圆有关的计算”专题，覆盖正多边形与圆、弧长扇形圆锥、不规则图形面积三大中考核心考点，以“概念公式-解题思路-题型突破”架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（如正多边形转化直角三角形、不规则图形和差割补法）、真题训练（典例+变式题）帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 亮点在于融入数学眼光与思维，如用表格对比正多边形边心距与边长比值培养几何直观，分类归纳不规则图形面积计算方法强化推理意识。设分层练习（基础到挑战）配合即时反馈，教师可依此把控节奏，助力学生高效掌握中考高频题型，提升应试能力。

第28讲 与圆有关的计算 知识点1：正多边形与圆有关的计算 知识点2：弧长，扇形面积与圆锥的有关计算 知识点3：不规则图形面积的计算 知识点1：正多边形与圆有关的计算 1. 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2. 正多边形的常用公式 边长 （Rn为正多边形外接圆的半径） 周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 面积 Sn=an⋅rn⋅n 对角线条数 边心距 rn=Rn⋅cos 内角和 （ n-2 ）×180°. 内角度数 n边形的边数 （内角和÷180°）＋2 （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.） 【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算． 3. 正多边形常见边心距与边长的比值 图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比 等边三角形 1:: 2 1:2 正方形 1:1: 1: 正六边形 : 1:2 :2 【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆. 知识点2：弧长，扇形面积与圆锥的有关计算 设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 S扇形==R 圆锥侧面积公式 S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式 S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的高h，圆锥的底面半径r 知识点3：不规则图形面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有： 1）直接用公式求解． 图形 公式 S阴影 = S扇形ABC S阴影 = S△ABC S阴影 = S四边形ABCD = ab 2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解． ①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形） 图形 面积计算方法 图形 面积计算方法 S阴影=S△ACB−S扇形CAD S阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆AB S阴影=S△AOB−S扇形COD S阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACB S阴影=S半圆AB−S△AOB S阴影= S扇形BAD−S半圆AB S阴影=S扇形EAF−S△ADE S阴影=S扇形之和== ②构造和差法 图形 公式 S阴影=S扇形AOC+S△BOC S阴影=S△ODC-S扇形DOE S阴影=S扇形AOB-S△AOB S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD 3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解． ①全等法 图形 公式 S阴影= S△AOB S阴影= S扇形BOC S阴影=S矩形ACDF S阴影= S正方形PCQE ②等面积法 图形 公式 S阴影= S扇形COD ③平移法 图形 公式 S阴影=S正方形BCFE S阴影=S矩形ABHG ④旋转法 图形 公式 S阴影=S扇形BOE S阴影= S扇形BOD S阴影= S扇形ABE-S扇形MBN ⑤对称法 图形 公式 S阴影=S△ACD S阴影= S扇形CDE S阴影= S△OBC= S正方形ABCD S阴影= S扇形ACB- S△ACD 【题型1 正多边形与圆有关的计算】 【典例1】如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 【变式1】将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A．60° B．90° C．180° D．360° 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为：， ∴正六边形绕其中心旋转或的整数倍时，仍与原图形重合， ∴旋转角的大小不可能是； 故选B． 【点睛】本题考查旋转图形，正多边形的中心角．熟练掌握旋转的性质，正多边形的中心角的度数的求法，是解题的关键． 【变式2】如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是_______．    【答案】 【分析】本题考查圆中求不规则图形面积，涉及圆的性质、等边三角形性质、三角形外接圆性质、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及三角形面积公式等知识，连接并延长交于，连接，如图所示，由等边三角形外接圆性质得到、，平分，再由勾股定理及含直角三角形性质求出相关线段长，间接表示出图中阴影部分的面积是，求出圆面积及三角形面积代值求解即可得到答案，熟练掌握圆中不规则图形面积的求法是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于，连接，如图所示：   边长为6的正三角形内接于， 由等边三角形外接圆性质可得、，平分， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，设，则， ， ，解得，即的半径为， ， 图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 【题型2 利用扇形的公式求弧长】 【典例2】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 【变式1】如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 【变式2】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 【变式3】将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 【题型3 求扇形的面积】 【典例3】如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是_______度． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，圆的面积公式，掌握扇形面积是解题的关键． 设扇形的圆心角度数为，半径为，由扇形面积公式和圆的面积公式得到，即可求解． 【详解】解：设扇形的圆心角度数为，半径为， 由题意得， 解得：， 故答案为：． 【变式2】习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 【变式3】如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握扇形面积公式是解题关键．先求出正六边形的内角度数，再设的半径为，根据扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：正六边形， ， 设的半径为， 则， 解得：， 即的半径为3 故选：A． 【题型4 求圆锥的侧面积】 【典例4】一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面积公式为，其中r为底面半径，l为母线长． 根据圆锥的侧面积计算即可． 【详解】解：∵底面直径， ∴半径． ∵母线长， ∴侧面积． 故选：A． 【变式1】已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥， 如图，过点作于点，    根据题意得：，，， ∴， ∴， 即圆锥的母线长为， ∴这个几何体的侧面积是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键． 【变式3】如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 【题型5 不规则图形的面积】 【典例5】如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 【变式1】如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 【变式2】两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 【变式3】如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）.    【答案】/ 【分析】分析出阴影面积正方形面积圆的面积，再利用相应的面积公式计算即可． 【详解】解：由图得，阴影面积正方形面积个扇形面积， 即阴影面积正方形面积圆的面积， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的求法，正方形面积及圆的面积的求法是解题关键． 1．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键． 2．的半径为2，则它的内接正四边形的边长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】通过添加辅助线构造直角三角形，进而运用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据题意可画出图形，连接BO、OC， ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形，勾股定理，解题的关键是熟练运用圆内接正多边形解决问题． 3．半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形面积为：. 故选：B． 4．已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积， 根据（r为圆锥底边圆的半径，l为母线）计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 5．如图，扇形的圆心角为点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质得到为等边三角形，得到， ，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【详解】解：， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：D． 6．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 7．如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 8．若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为______． 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，根据弧长公式即可求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由弧长公式得它的弧长为， 故答案为：． 9．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为__________． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆心角，正多边形各边所对的中心角相等． 根据正多边形各边所对中心角相等计算即可． 【详解】解：∵正六边形各边所对中心角相等， ∴其中心角的度数为， 故答案为： ． 10．如图，正五边形内接于，是的中点，则的度数为________． 【答案】 【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，根据已知条件得到∠O==72°，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：设圆心为O，连接OC，OD，BD， ∵五边形ABCDE为正五边形， ∴∠O==72°， ∴∠CBD=∠O=36°， ∵F是的中点， ∴∠CBF=∠DBF=∠CBD=18°， 故答案为：18°． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键． 11．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是_________． 【答案】1 【分析】本题考查了弧长公式，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键．设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出结果． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面周长为，则： 扇形的弧长为， ∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．如图，在扇形中，，，以为圆心为半径画弧交弧于点，连接，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形面积，等边三角形性质和判定，连接，证明为等边三角形，结合等边三角形性质和扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ，， 由题知，， 为等边三角形， ， 图中阴影部分的面积为：扇形的面积扇形的面积， 即； 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 与圆有关的计算 知识点1：正多边形与圆有关的计算 知识点2：弧长，扇形面积与圆锥的有关计算 知识点3：不规则图形面积的计算 知识点1：正多边形与圆有关的计算 1. 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2. 正多边形的常用公式 边长 （Rn为正多边形外接圆的半径） 周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 面积 Sn=an⋅rn⋅n 对角线条数 边心距 rn=Rn⋅cos 内角和 （ n-2 ）×180°. 内角度数 n边形的边数 （内角和÷180°）＋2 （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.） 【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算． 3. 正多边形常见边心距与边长的比值 图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比 等边三角形 1:: 2 1:2 正方形 1:1: 1: 正六边形 : 1:2 :2 【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆. 知识点2：弧长，扇形面积与圆锥的有关计算 设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 S扇形==R 圆锥侧面积公式 S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式 S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的高h，圆锥的底面半径r 知识点3：不规则图形面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有： 1）直接用公式求解． 图形 公式 S阴影 = S扇形ABC S阴影 = S△ABC S阴影 = S四边形ABCD = ab 2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解． ①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形） 图形 面积计算方法 图形 面积计算方法 S阴影=S△ACB−S扇形CAD S阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆AB S阴影=S△AOB−S扇形COD S阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACB S阴影=S半圆AB−S△AOB S阴影= S扇形BAD−S半圆AB S阴影=S扇形EAF−S△ADE S阴影=S扇形之和== ②构造和差法 图形 公式 S阴影=S扇形AOC+S△BOC S阴影=S△ODC-S扇形DOE S阴影=S扇形AOB-S△AOB S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD 3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解． ①全等法 图形 公式 S阴影= S△AOB S阴影= S扇形BOC S阴影=S矩形ACDF S阴影= S正方形PCQE ②等面积法 图形 公式 S阴影= S扇形COD ③平移法 图形 公式 S阴影=S正方形BCFE S阴影=S矩形ABHG ④旋转法 图形 公式 S阴影=S扇形BOE S阴影= S扇形BOD S阴影= S扇形ABE-S扇形MBN ⑤对称法 图形 公式 S阴影=S△ACD S阴影= S扇形CDE S阴影= S△OBC= S正方形ABCD S阴影= S扇形ACB- S△ACD 【题型1 正多边形与圆有关的计算】 【典例1】如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【变式1】将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A．60° B．90° C．180° D．360° 【变式2】如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【变式3】如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是_______．    【题型2 利用扇形的公式求弧长】 【典例2】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式3】将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【题型3 求扇形的面积】 【典例3】如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是_______度． 【变式2】习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【变式3】如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型4 求圆锥的侧面积】 【典例4】一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【变式3】如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 【题型5 不规则图形的面积】 【典例5】如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 【变式1】如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【变式2】两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）.    1．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．的半径为2，则它的内接正四边形的边长为（    ） A．2 B． C． D．4 3．半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 4．已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，扇形的圆心角为点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 7．如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 8．若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为______． 9．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为__________． 10．如图，正五边形内接于，是的中点，则的度数为________． 11．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是_________． 12．如图，在扇形中，，，以为圆心为半径画弧交弧于点，连接，则图中阴影部分的面积为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $