第20讲 图形的相似与相似三角形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“图形的相似与位似”专题，覆盖比例线段、相似图形、位似图形三大中考核心考点，以“概念-性质-判定”逻辑构建知识体系，通过考点梳理、方法归纳、真题典例及变式训练，帮助学生系统突破相似判定、比例计算等难点。 亮点在于融入几何直观与推理能力培养，如黄金分割作图与证明、相似三角形实际应用（测量纪念碑高度）等教学活动，设计“基础-能力-挑战”分层练习，配合真题限时训练，助力学生高效掌握考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第20讲 图形的相似与位似 知识点1：比例线段 知识点2：相似图形 知识点3：位似图形 知识点1：比例线段 1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项. 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 2.比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c. 3.黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB. 知识点2：相似图形 1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 　也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形). 2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似多边形的性质： 　　相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 　　相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方. 4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. 5.相似三角形的性质： 　　(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 　　(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. 　　(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 6.相似三角形的判定： 　　(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 　　(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 　　(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 　　(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 　　(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似. 知识点3：位似图形 1.位似图形的定义 　　两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心. 2.位似图形的分类 　　(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. 　　(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上. 3.位似图形的性质 　　位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　　位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　　位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 4.作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接截取点. 【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 【题型1：比例的性质】 【典例1】（2025·甘肃张掖·二模）如果，那么 ． 【变式1】（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 【变式2】（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，则 ． 【变式3】（2026·四川成都·一模）已知，则的值为 ． 【题型2 由平行截线求相关线段的长或比值】 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 【题型3 黄金分割比】 【典例3】（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【变式1】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示） 【变式2】（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为 （结果保留根号）． 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为 ．（结果保留根号） 【题型4：相似三角形的相关计算】 【典例4】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 【变式1】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 【变式2】（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 【变式3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 【题型5：相似三角形的实际应用】 【典例5】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【变式1】（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 【变式3】（2025·陕西渭南·一模）富平陶艺村是国内首家以陶艺为主题，集生态观光、休闲度假、餐饮住宿、参观购物为一体的陶文化交流中心．小明想利用所学知识测量陶艺村一个用于烧制陶瓷的旧烟囱顶部到地面的高度（如图）．小明在点C处竖立一根高为2米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和旧烟囱在阳光下的影子顶端重合于地面上的点E处；小明在点F处放置一面平面镜，随后，小明从点F处移动3米至点H处（即米），眼睛位于点G处，此时恰好从平面镜内看到旧烟囱顶端A的像．经测量得知：米，米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明计算旧烟囱顶部到地面的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【题型6：位似】 【典例6】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【变式2】（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【变式3】（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 6．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 9．（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 10．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 11．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 12．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 13．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 图形的相似与位似 知识点1：比例线段 知识点2：相似图形 知识点3：位似图形 知识点1：比例线段 1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项. 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 2.比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c. 3.黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB. 知识点2：相似图形 1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 　也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形). 2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似多边形的性质： 　　相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 　　相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方. 4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. 5.相似三角形的性质： 　　(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 　　(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. 　　(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 6.相似三角形的判定： 　　(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 　　(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 　　(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 　　(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 　　(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似. 知识点3：位似图形 1.位似图形的定义 　　两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心. 2.位似图形的分类 　　(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. 　　(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上. 3.位似图形的性质 　　位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　　位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　　位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 4.作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接截取点. 【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 【题型1：比例的性质】 【典例1】（2025·甘肃张掖·二模）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，对已知等式进行变形，从而得的值． 【详解】解：，, ， 故答案为：． 【变式1】（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 【变式2】（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查比例的性质，根据设， ，代入计算即可． 【详解】解：设， ， 则 ． 故答案为：3． 【变式3】（2026·四川成都·一模）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比与比例的性质，掌握好相关知识是关键． 由已知比例关系设参数表示和，代入目标式化简求值． 【详解】解：由 ，设 ，（）， ∴． 故答案为： 【题型2 由平行截线求相关线段的长或比值】 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 【题型3 黄金分割比】 【典例3】（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点； [知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【变式1】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 【变式2】（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【题型4：相似三角形的相关计算】 【典例4】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 【变式2】（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 【变式3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【题型5：相似三角形的实际应用】 【典例5】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 【变式1】（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 【变式2】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式3】（2025·陕西渭南·一模）富平陶艺村是国内首家以陶艺为主题，集生态观光、休闲度假、餐饮住宿、参观购物为一体的陶文化交流中心．小明想利用所学知识测量陶艺村一个用于烧制陶瓷的旧烟囱顶部到地面的高度（如图）．小明在点C处竖立一根高为2米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和旧烟囱在阳光下的影子顶端重合于地面上的点E处；小明在点F处放置一面平面镜，随后，小明从点F处移动3米至点H处（即米），眼睛位于点G处，此时恰好从平面镜内看到旧烟囱顶端A的像．经测量得知：米，米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明计算旧烟囱顶部到地面的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】15米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练运用相似三角形的比值关系是解题的关键． 证出得到，即，再证出得到，即，联立两个式子运算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即①， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①②得， 旧烟囱顶部到地面的高度为15米． 【题型6：位似】 【典例6】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 【变式1】（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 【变式2】（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3】（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 4.（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又 ， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 7．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 9．（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 10．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 11．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 12．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于 ，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 13．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】(1)图1的正方形面积较大 (2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $