第1章：导数及其应用 单元测试-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为.故选：A 2．下列求导运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得； 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确.故选：D 3．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D 4．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有，所以. 故选：C 5．已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再结合导数的几何意义与题意求解倾斜角即可. 【详解】因为函数，所以，则， 而直线与曲线在点处的切线垂直， 得到直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则由斜率的几何意义得，而，则.故选：D 6．已知函数，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】对求导，注意是常数，将代入导函数中，可求得，进而可求． 【详解】因为函数，所以， 令，可得，所以，所以．故选：B. 7．函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再分析各项中的的符号，进而即可得到答案． 【详解】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误．故选：B． 8．如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．，直线与直线及分别交于点，与图象交于点，为图象上一点，在点处的切线与直线及分别交于点，与轴交于点，下列结论正确的是（    ） A．四点的横坐标满足 B．存在点，使得 C．存在点，使得的面积大于 D．存在唯一的点，使得的面积为 【答案】AD 【分析】对于，可以分别求得两点处的坐标，利用韦达定理可计算出两点的坐标之和，即可判断； 对于，分析条件可得为中点，故，求出，即可判断； 对于C，根据处的切线方程可得点的对应坐标，继而可以表示的面积，即可判断； 对于D，根据处的切线方程与轴相交的对应坐标，继而可以表示的面积，对定义域取值，即可判断. 【详解】对于，设直线，易知，将代入得， 由得，由韦达定理得，故正确； 对于，由易知为中点，故， 设点，， 所以过处的切线方程为（1）， 将代入得，的坐标为， ，故错误； 对于，将代入（1）式得点， 所以的面积为，故错误； 对于，将代入（1）得， 的面积为， 当时，， 当时，由，得，故正确. 故 选：AD 10．对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 【答案】ABD 【分析】利用导数来研究原函数的单调性即可判断A，利用导数求切线方程即可判断B，利用方程的解即可判断C，利用分离参变量构造函数求导来研究函数最大值，即可判断D. 【详解】由题得， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得极大值1，故A正确； 由于，， 所以在处的切线方程为， 整理得：，故B正确； 由，所以只有一个零点，故C错误； 由，可得，构造，求导得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得最大值，所以，故D正确； 故选：ABD. 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（    ）. A．当时， B．函数有五个零点 C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D．，恒成立 【答案】AD 【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断B，C，D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 设，则，所以， 所以当时，，故A正确； 当时，，所以， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极小值， 当时，，又， 由零点存在定理知函数在仅有一个零点1； 当时，，所以函数在没有零点， 所以函数在上仅有一个零点， 又因为函数是定义在上的奇函数， 故函数在上仅有一个零点，又， 所以函数在定义域上有3个零点，故B错误； 作出函数的大致图象，如图： 若关于的方程有解，则实数的取值范围是，故C错误； 由图可知，对，，故D正确． 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，其中，且，则________． 【答案】2 【分析】利用可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：2． 13．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为______． 【答案】 【分析】由题意先求出切线方程，然后设曲线上的切点为，再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解. 【详解】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以.故答案为：. 14．若恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围. 【详解】由，原不等式等价于 令 所以， 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)1 (2)极大值为，极小值为. 【分析】（1）求导数，由切线平行于直线可知道的值，建立方程解得的值； （2）由（1）得导数，令，从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极值. 【详解】（1）由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， ，； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 1 3 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值 递增 极大值为，极小值为. 16．（15分）设函数． (1)若，求的单调区间； (2)若当时，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）时，，求定义域，求导，得到函数单调区间； （2）求导，结合（1）可得，放缩得到，从而时，，结合特殊点函数值，得到当时，，时，放缩得到时，，结合特殊点函数值，得到此时，综上，可得答案. 【详解】（1）时，，定义域为R， ，令得，令得， 所以单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由（1）知，当且仅当时，等号成立， 故， 又，从而当，即时，， 在上单调递增， 而，于是当时，， 由得，即， 从而当时，， 故当时，， 故在上单调递减，又，故当时，， 综上，a的取值范围是. 17．（15分）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由可判断，解得值并验证； （2）①令，利用，结合的单调性和零点存在性定理，判断取值范围；②构造函数，证得，再将问题转化为证明，由不等式性质可得. 【详解】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 18．（17分）已知函数． (1)当时，函数． ①求； ②若存在，使得成立，求满足条件的最大整数m． (2)设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)① ；②4 (2) 【分析】（1）①根据导数的运算法则求导即可； ②利用导数求函数在［1,4］上的最值，由此可确定的范围，进而求满足条件的最大整数． （2）化简不等式并分离参数，利用导数求函数的最值可得的取值范围． 【详解】（1）①当时，， 所以． ②当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 又，， 所以， 所以函数在［1,4］上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 所以当时，， 所以，又，故， 所以满足条件的最大整数的值为4． （2）不等式，可化为， 因为，所以． 由题意在上恒成立， 所以当时，， 设，则． 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以， 所以当时，，函数在上单调递增． 所以当时，，所以， 所以实数的取值范围为． 19．（17分）已知， (1)求在处的切线方程以及的单调性； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：. 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内； （2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解； （3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明. 【详解】（1）因为，所以定义域为，且， 从而，又，所以切线方程为即； ，令解得，令解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）对，有恒成立， 等价于恒成立，等价于恒成立， 等价于恒成立，记，则， 则，记，因为， 所以为上的递增函数， 又，，所以，使得， 即， 所以在上递减，在上递增，且； 所以的最大整数解为. （3）由题意，则， 令得，当，，当时，； 所以在上单调递减，上单调递增， 而要使有两个零点，要满足，即； 因为，，令， 由，所以，即，所以， 而要证，只需证，即证：， 即：，由，只需证：， 令，则 令，则， 故在上递增，； 故在上递增，；所以. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.函数f(x)=x2+2x在区间[1,2]上的平均变化率为() A.5 B.6 C.7 D.10 2.下列求导运算中正确的是() A.(4)=2 B.(3)=x31C.(血x)= *hio D.(x)=5x 3.已知函数f的导函数为f,且1imf6+△)-f6)=4,则f3)=（) 1-→0 △x A.2 B.1 C.8 D.4 4.如图，已知函数∫(x)的图象在点P(2,f(2)处的切线为1，则f(2)+∫(2)=() f(x) A.-3 B.-2 C.1 D.2 5.已知直线l与曲线f(x)=√3e+cosx在点(0，f(O)处的切线垂直，则直线l的倾斜角为() 48 B c.2 5π D. 3 6 6.已知函数)=f3 1 +hx-9,则f'0)=() A.18 B.19 C.20 D.21 7.函数y=x COSx-sinx在下列区间上单调递增的是() (π3π 3π5π A.22 B.(π，2) C.22 D.(2L,3π) 8.如图所示是y=∫(x)的导数y=∫'(x)的图象，下列结论中不正确的有() YA 3 A.f(x)的单调递增区间是(-1,2)，(4，+∞) B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(-1,2)上是增函数 D.x=2是f(x)的极小值点 二、多项选择题：本题共3小题。每小题6分。共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.f)=x+2x>0),直线（与直线x=0及y=x分别交于点AB,与f)图象交于点 1 C,D,P为f(x)图象上一点，f(x)在点P处的切线l,与直线x=0及y=x分别交于点 M,N,与x轴交于点K,下列结论正确的是() A.A,B,C,D四点的横坐标满足x4+x。=x+x R存在点，位得PMPN-月 C.存在点P,使得aOMN的面积大于4 D.存在唯一的点P,使得△OM的面积为4 10.对于函数fx)=血x+1,下列说法正确的有() A.f(x)在x=1处取得极大值1 B.f()在x=C处的切线方程为y=-】x 3 e2r+3 e C.f(x)有两个零点 D.若f(y)<k-上在(0，+o)上恒成立，则k>e 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e(x-1).则下列结论正确 的是(). A.当x<0时，f(x)=e(x+1) B.函数f(x)有五个零点 C.若关于x的方程f(x)=m有解，则实数m的取值范围是f(-2)≤≤f(2) D.x,2∈R,f(x2)-f(:)<2恒成立 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知y=f(x),其中f(x)=ln(ax2-1),且f'(1)=4,则a= 13.已知曲线y=x+nx在点(1,1)处的切线与曲线y=e“-1相切，则a的值为 4若eQo)二之1--成立，则突数a的康位花围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)3-2a2+3x(a为常数)，曲线y=f()在点A(-Lf(-1) 处的切线平行于直线y=8x-7, (1)求a的值： (2)求函数f(x)的极值 16.（15分)设函数f(x)=e*-1-x-m2. (1)若a=0,求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围. 17.(15分)已知函数f(x)=t(x-1)-2nx(t∈R), (1)若f(x)≥0恒成立，求实数t的值： (2)当t=0时，方程片f(x)+x2-x=m有两个不同的根，分别为5，x(:<x,), ①求实数的取值范围； ②求证：hx1+x2>1-m. l8.(17分)已知函数f)=lnx+号raeR). (1)当a=1时，函数G(x)=f(x)-3lnx. ①求G'(x); ②若存在x,x2∈[1,4]，使得G(x)-G(x2)≥m成立，求满足条件的最大整数.(n2≈0.693) 2设函数g)=x,若了)≤g()在V6,+上恒成立，求实数a的取值范围. 19.(17分)已知f(x)=x2-4x-6nx, (1)求f(x)在(1，f(1)处的切线方程以及∫(x)的单调性： (2)对xeL+),有矿()-f)>2+6k1--12恒成立，求k的最大整数解： (3)令g(x)=f(x)+4x-(a-6)nx,若8(x)有两个零点分别为x,x2（(k<x2)且x。为g(x)的 唯一的极值点，求证：x,+3x2>4x湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.函数f(x)=x2+2x在区间[1,2]上的平均变化率为() A.5 B.6 C.7 D.10 【答案】A 【分析】根据平均变化率公式计算可得 【详解】函数y=+2x在区间L2习上的平均变化率为之产+4任+2】.5，故选：A 2-1 2.下列求导运算中正确的是() A.(4)}=2 B.(3)=x3C.(nx)= 1 xIn10 D.(x)=5x 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得： 【详解】对于A,(4)'=0,故A错误： 对于B,(3)=3ln3,故B错误： 对于C(仙旷-故C结误： 对于D,(x)=5x4,故D正确故选：D 3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且li f3+△)-f③)=4，则f3)=(） △x A.2 B.1 C.8 D.4 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解即可。 【详解】由导数的定义得∫')=lmf3+△0-f③)=4，故D正确， 故选：D 4.如图，已知函数f(x)的图象在点P(2,f(2)处的切线为l,则f(2)+f'(2)=() 4 y=f(x) A.-3 B.-2 C.1 D.2 【答案】C 【分析】根据图像算出函数(x)在P点处的切线，即可求出其在x=2处的函数值与导数取 值。 【详聊】图象可得，切践过点(Q和(4.0)，切线斜率为=-1，所以了②)=山， 又因为切线方程为+兰=1，则切点坐标为(2,2)，有∫(2)=2，所以f(2)+f”(2)=2-1=1 44 故选：C 5.己知直线l与曲线f(x)=√3e+cosx在点(0，f(O)处的切线垂直，则直线l的倾斜角为() 兀 2兀 5π C. D. 3 6 【答案】D 【分析】先求出'(x)=√3e-sx,再结合导数的几何意义与题意求解倾斜角即可. 【详解】因为函数f(x)=V3e+cosx,所以f"(x)=√3e-sinx,则f'(0)=V3, 而直线l与曲线f(x)=√3e+cosx在点(0，f(O)处的切线垂直， 得到直线的斜率为- 3 ,设直线的倾斜角为日， 则由斜率的几何意义得m0=- ,而6∈[0，)，则6=红故选：D 3 6 6.已知函数f(x)=x2f” 1 +nx-9,则f'I)=() 、3 A.18 B.19 C.20 D.21 【答案】B 【分析】对f(x)求导，注意” 3 是常数，将：代入导函数中，可求得了得 进而可 求f'1) 【详解】因为数f)=rx-9,所以)=2r目+片， 令x=3 可得f （目)-9，所以了倒-18x+所以f0=19.故选：B 7.函数y=xcosx-sinx在下列区间上单调递增的是() π3π A. 22 B.（π，2π) /3π5π N2’2 D.(2,3π) 【答案】B 【分析】先求出y,再分析各项中的y的符号，进而即可得到答案。 【详解】由y=xcOSx-sinx,则y'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx, 对于选项A,当x∈ 2π时， sinxe(0,1),此时y'=-x sinx<0, 当x∈，2 π 时， sinx∈(-1,0)，此时y'=-x sinx>0, 3π 所以该函数在区间 人2上单调递减，在区间工 上单调递增， 所以该函数在区间 π3r 22 上不是单调递增，故A错误： 对于选项B,当x∈（兀，2元）时，sinx∈(-1,0)，此时y'=-xsin x>0, 所以该函数在区间（兀，2π）上单调递增，故B正确： 对于达项C,当xe(经2a时，nre(-L0,此时-smx>0, 5兀 当xe2L时，imx∈(O,,此时V=-rsmx<0, π 所以该函数在区间 上单调递增，在区间2L,2 上单调递减， 所以该函数在区间 3π5π 2’2 上不是单调递增，故C错误； 对于选项D,当x∈(2,3)时，sinx∈(0,1)，此时y'=-x sinx<0, 所以该函数在区间(2兀，3沉)上单调递减，故D错误.故选：B. 8.如图所示是y=f(x)的导数y='(x)的图象，下列结论中不正确的有() A.f(x)的单调递增区间是(-1,2)，(4，+∞) B.x=-1是∫(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(-1,2)上是增函数 D.x=2是f(x)的极小值点 【答案】D 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断：B.利用极小值点的定义判断：C.利 用函数的单调性与导数的正负的关系判断：D利用极小值点的定义判断： 【详解】根据图象知当x∈(-1,2)U(4,+o)时，∫"(x)>0,函数在(-1,2)，(4，+o)上单调递增， A选项正确： 当x∈(-3，-1)(2,4)时，f'(x)<0,函数在(-3，-1)，(2,4)上单调递减，故C正确： 函数在(-3，-1)上单调递减，在(-1,2)上单调递增，所以当x=-1时，f(x)取得极小值，x=-1 是f(x)的极小值点，故B正确： 函数在(-1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，当x=2时，f(x)取得极大值，x=2不是 ∫(x)的极小值点，故D错误 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分」 2 9.f(x)=x+二(x>0),直线与直线x=0及y=x分别交于点A,B,与f(x)图象交于点 C,D,P为f(x)图象上一点，f(x)在点P处的切线l,与直线x=0及y=x分别交于点 M,N,与x轴交于点K,下列结论正确的是() A.A,B,C,D四点的横坐标满足xA+xa=x+xo B.存在点，使得PMPN- C.存在点P,使得aOMN的面积大于4 D.存在唯一的点P,使得△OM的面积为4 【答案】AD 【分析】对于A,可以分别求得A,B两点处的x坐标，利用韦达定理可计算出C,D两点 的x坐标之和，即可判断： 对于B,分析条件可得P为N中点，故PMPW=PM,求出PM,即可判断： 对于C,根据P处的切线方程可得M,N点的对应坐标，继而可以表示△OMN的面积，即可 判断： 对于D,根据P处的切线方程与x轴相交的对应坐标，继而可以表示△OM的面积，对定 义域取值，即可判断 【详解】对于A,设直线y=c+b,易知x,=0,将V=x代入得x,=1广R b 由x+2=+b得k-)x2+bm-2=0,由韦达定理得。+x。1”,故A正确： b 对于B,由A易知P为N中点，故PMPN=|PM, 设点+子.f)=1是>0， 2 所以f()=x+二(x>0)过P处的切线方程为y-x,-二 -2=0-2)0x-x)①)， x。 将x=0代入得y=4,M的坐标为0,4 4 -￡足-2：是4454404-16送： 对于C,将y=x代入(1)式得点N2x,2x), 所UAO简面积为OM1Nsm子：专2x三-25<4，放c精误， 42x0 对于D,将=0代入(1)得K4,0). 2-x。 △oa34网-号p 88 当0<x<5时，2-对2x>4, 88 当6>V5时，由2--24，得，2，故D正确 故选：AD 10.对于函数f(x)=血r1 下列说法正确的有() A.∫(x)在x=1处取得极大值1 B.f()在x=e处的切线方程为v=。+ 13 e C.f(x)有两个零点 D.若f()<k-上在(0，+)上恒成立，则k>e 【答案】ABD 【分析】利用导数来研究原函数的单调性即可判断A,利用导数求切线方程即可判断B,利 用方程∫(x)=0的解即可判断C,利用分离参变量构造函数求导来研究函数最大值，即可判 断D. 【详解】由题得f'(x)=1-mx+)-x x2 2, 所以当x∈(0,1)时，∫'(x)>0,则f(x)在x∈(0,1)上单调递增， 当xe(L,+o)时，f'(x)<0,则f(x)在xe(L,+o)上单调递减， 又因为@：11，所以了9在x1处取得段大位1，检AE确 于efe)” 所以在x=e处钓切线方程为子：-0小 -1 1 。+e 整理得：=-+尽散BE商： e 由f(x)=+1=0→x=】,所以9)只有一个零点，故C错误： e 由fx)<k-1,可得k>2+n,构造g()= 2+ln ，求导得g()=1-(2+n型-1-hx】 x2 当时时，g>0,则g倒在o上单调港， 当x后时：g<0,则8在日 上单调递减， 2*h 又因为8 e 1 e=e,所以g(s)在x=上处取得最大值e,所以k>c,故D正确： e 故选：ABD 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e(x-1).则下列结论正确 的是(). A.当x<0时，f(x)=e(x+1) B.函数f(x)有五个零点 C.若关于x的方程f(x)=有解，则实数m的取值范围是f(-2)≤≤f(2) D.x,x2∈R,f(x2)-f()<2恒成立 【答案】AD 【分析】根据函数∫(x)是奇函数，求出x<0时的解析式，可判断A:利用导数求出函数f(x) 在(O,+o)上的单调区间及极值，再结合f(x)是奇函数，可作出函数f(x)在R上的大致图 象，从而可逐项判断B,C,D 【详解】因为函数∫(x)是定义在R上的奇函数， 设x<0,则-x>0,所以f(-x)=e(-x-1)=-e(x+1)=-f(x), 所以当x<0时，f(x)=e(x+1),故A正确： 当>0时，)-，所以了心--1E2= (e) 令f'(x)=0,解得x=2, 当0<x<2时，f'(x)>0;当x>2时，f'(x)<0, 所以函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，+o)上单调递减， 故当x=2时，函数∫(x)取得极小值e2>0, 当0<x<2时，f(0)f(2)<0,又f(1)=0, 由零点存在定理知函数f(x)在(0,2)仅有一个零点1： 当x>2时，f()=>0,所以函数f(x)在(2，+四)没有零点， ex 所以函数f(x)在(0，+∞)上仅有一个零点， 又因为函数∫(x)是定义在R上的奇函数， 故函数f(x)在(-∞，0)上仅有一个零点-1，又f(0)=0, 所以函数∫(x)在定义域R上有3个零点，故B错误： 作出函数f(x)的大致图象，如图： 若关于x的方程∫(x)=m有解，则实数m的取值范围是-1<m<1,故C错误； 由图可知，对，x∈R,f(x)-f(<1-（1=2,故D正确， 故选：AD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.已知y=f(x),其中f(x)=ln(ax2-1),且f'(1)=4,则a= 【答案】2 【分析】利用∫'()=4可得答案 【详解】因为/)云a-)所以了0名4，所以a=2 a-1 故答案为：2. 13.己知曲线y=x+hx在点(1,1)处的切线与曲线y=e-1相切，则a的值为 【省案】 【分析】由题意先求出切线方程y=2x-1,然后设曲线y=e“-1上的切点为(x,2x。-1), 再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解 【详解】由题可得y=1+上，所以在1,1)处的切线斜率k=1+=2, 所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1, 设曲线y=ex-1上的切点为(x,2x-1), 则y=ae,在x=x处的切线斜率为ae=2,且e-1=2x。-1, 解得a元所以e-1=2-1则x号所以a=-是故答案为：名 1 x。e 14.若xe0,o, 一≥x+1-lnx-d恒成立，则实数a的取值范围为 【答案】a≥1 【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得 到参数a范围 【详解】由xe(0,+o),原不等式等价于a≥x+1-nr-巴 令g=+1-r号，所以a≥g(田g=1-片g6--ek- x x2 x2 设t(x)=x-e,t(x=1-e, 当x∈(0,1)，t'(x)>0,t(x)单调递增；当x∈(1，+o),t(x)<0,t(x)单调递减： 且t)=1-e°=0，所以t(x)s=0,所以t(x)≤t(1)=0, 所以当x∈(0,1)，g'(x)>0,g(x)单调递增：当x∈(L,+o),g'(x)<0,g(x)单调递减： 所以e(=g0=2兰1，所以a≥1故答案为：a≥1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=x-2am2+3x(a为常数)，曲线y=f()在点A-1(1) 处的切线平行于直线y=8x-7. (1)求a的值： (2)求函数f()的极值 【答案】(1)1 ②极大值为了回-手，极个值为f)-0。 【分析】(1)求导数f'(x),由切线平行于直线y=8x-7可知道∫'(-1)的值，建立方程解得 a的值： (2)由(1)得导数∫"(x),令'(x)>0,从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极 值 【详解】(1)由题意得f'(x)=x2-4ax+3, '曲线y=f(x)在点A(-1,f(-1)处的切线平行于直线y=8x-7, f"(-1)=4a+4=8,.a=1: (2)由(1)可得f'(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3), 令f'(x)>0得x>3或x<1,列表如下： （-0,1) 1 (1,3) 3 (3,+0) f'(x) 0 一 0 f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 :极大值为10=号极小值为f⊙)=0 16.(15分)设函数f(x)=e-1-x-m2. (1)若a=0,求f(x)的单调区间： (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为(0，+o),单调递减区间为(-o,0): 湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 2．下列求导运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 4．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 7．函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．，直线与直线及分别交于点，与图象交于点，为图象上一点，在点处的切线与直线及分别交于点，与轴交于点，下列结论正确的是（    ） A．四点的横坐标满足 B．存在点，使得 C．存在点，使得的面积大于 D．存在唯一的点，使得的面积为 10．对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（    ）. A．当时， B．函数有五个零点 C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D．，恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，其中，且，则________． 13．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为______． 14．若恒成立，则实数a的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 16．（15分）设函数． (1)若，求的单调区间； (2)若当时，求a的取值范围． 17．（15分）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 18．（17分）已知函数． (1)当时，函数． ①求； ②若存在，使得成立，求满足条件的最大整数m． (2)设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知， (1)求在处的切线方程以及的单调性； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $