9.3.3向量平行的坐标表示（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

9.3 向量基本定理及坐标表示 第九章 平面向量 9.3.3向量平行的坐标表示 学 习 目 标 1 2 3 掌握平面向量平行的坐标表示公式时， ； 能运用公式解决向量平行判断、参数求解、三点共线证明等问题，掌握向量平行与几何问题的转化方法； 经历坐标表示公式的推导过程，体会数形结合和转化与化归的数学思想，提升几何问题代数化的转化能力和代数逻辑推理能力. 新课导入 我们之前用代数方法研究了向量垂直的坐标关系，那向量的坐标表示能帮我们研究向量平行吗？ 大家还记得向量平行的几何定义吗？注意的特殊情况. 这就是我们本节课要研究的主题—— 向量平行的坐标表示. 若存在实数,使,则 与任意向量都平行. 向量坐标表示是连接几何与代数的桥梁，既然能通过坐标研究向量垂直，那两个平行向量的坐标之间必然存在特定的数量关系. 新知探究 探究一：非零向量的坐标数量关系式 若非零向量，（ ）当时，它们所在直线的斜率有何关系？由此可得到什么坐标等式？ 交叉相乘可得：. 由可推得：斜率关系 可猜想： 设，（ ） 新知探究 结论：非零向量 平行的充要条件是 代入得 。 这个猜想是否严谨？请结合向量平行的几何定义证明. 证明： ①充分性 ： 由 得 ，即 ②必要性 ：由 设 得 则 ，满足平行定义。 典例分析 例1 已知向量 , , 当实数 为何值时，向量 与 平行？并确定此时它们是同向的还是反向的。 【分析】先求出与的坐标，再用平行条件列方程求;最后将表示为 ,由的正负判断方向。 解： 由向量平行的条件可得： 所以 . 此时， 因此，这两个向量是反向的。 即时训练 1.已知平面向量 ，，若 ，则 A. B. C. D. 【分析】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出 值。 【详解】， 则 由 得 ，解得 。 故选：D. D 典例分析 例1 已知点 的坐标分别为 ，是否存在常数 ，使得 成立？ 【分析】将向量等式 转化为坐标运算，展开后对比横、纵坐标的等式，得到关于 的方程组；若方程组有解，则存在这样的 ，若无解则不存在. 解：设存在常数 ，使得 ， 即 成立，这表明向量 应与 平行。 因为 解题总结 且 ， 所以 与 不平行。 因此，不存在常数 ，使得 成立。 典例分析 ①假设等式成立 ②变形转化为向量平行 ③代公式验证 ④得出存在 / 不存在结论 即时训练 2.已知平面上、两点的坐标分别是、，是直线上的一点，且，求点的坐标． 【分析】设，根据题意列方程组即可求解． 【详解】设，由题意 ， 所以 解得，所以点的坐标为． 知识小结 非零向量的坐标数量关系式 ①核心公式： ②零向量：与任意向量平行，公式恒成立. ③关键前提：表示时，需 巩固提升 题型1 由向量共线（平行）求参数 1.已知向量．若为实数，且，则（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可． 【详解】因为向量 所以， 因为// 所以，解得 D 巩固提升 题型2 线段的定比分点计算 2.已知点，向量，，点满足，则点的坐标是多少？ 【分析】首先得到，，设，表示出、的坐标，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为点，向量， 所以， 设，则 巩固提升 因为 所以 解得，所以． 题型2 线段的定比分点计算 巩固提升 题型3 由坐标解决三点共线问题 3.若 三点共线，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【分析】由三点共线，可知存在唯一实数 ，使得 ，根据向量的共线定理，建立方程组即可解得. 【详解】因为 ，， 三点共线 所以存在唯一实数 ，使得 ， 所以 ，即 又因为 ， A 巩固提升 题型3 由坐标解决三点共线问题 4.已知向量，若三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即可. 【详解】由 可得 因三点共线 则与共线， 故有 解得， 故选：D. D 巩固提升 题型4 由坐标解决线段平行和长度问题 4.如图所示，已知点，，，求和的交点的坐标。 【分析】设，可得，根据共线向量的坐标表示即可求出、的值。 所以点的坐标为 【详解】设，则，因为，且与共线 所以，即 又，，且与共线 则得，解得 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 向量平行的坐标表示 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 语音助手 核心知识梳理 01 平面向量共线的坐标表示 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)。 a // b ⇔ x1y2 - x2y1 = 0 即：当且仅当两个向量的坐标 交叉相乘 相等时，这两个向量共线。 02 几何意义 如果 b ≠ 0，则 a // b 的充要条件是存在唯一实数 λ，使得 a = λb。 用坐标表示为： x1 = λx2, y1 = λy2 a b 易错点警示 公式混淆 容易将平行公式与垂直公式混淆。 错误记忆： x1x2 + y1y2 = 0 （这是垂直的条件！） 正确记忆： x1y2 - x2y1 = 0 零向量的特殊性 零向量 0 = (0,0) 与任意向量平行。 虽然公式 x1y2 - x2y1 = 0 对零向量也成立，但在使用 a = λb 时，必须保证 b ≠ 0。 三点共线的表达 证明 A, B, C 三点共线时，不仅要证明 AB // AC，还要强调它们有 公共点 A。 解题技巧与模型 模型一 求参数问题 已知向量平行，求其中的未知参数。 解题步骤： 写出向量坐标：a = (x1, y1), b = (x2, y2) 列出方程：x1y2 - x2y1 = 0 解方程求参数 模型二 三点共线问题 判断或证明 A, B, C 三点共线。 转化思路： 将几何问题转化为向量问题：计算 AB 和 AC 的坐标，验证是否满足平行条件。 技巧 交点坐标问题 利用向量共线求直线交点。 设交点 P 分有向线段 P1P2 的比为 λ，利用定比分点公式或共线条件列方程组。 $