9.1向量概念（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量概念，涵盖定义、表示方法、特殊向量、向量关系及夹角等核心知识。通过物理中力、速度等实例导入，从具体现象抽象出向量概念，搭建从实际到数学抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”从物理背景抽象向量，通过飞机位移计算等即时训练和正六边形向量分析典例，培养“数学思维”的逻辑推理，用有向线段与字母规范“数学语言”表达。互动课堂活动与分层巩固提升，助力学生理解抽象概念，教师可高效开展教学。

9.1 向量概念 第九章 平面向量 学 习 目 标 1 2 3 掌握向量的定义（有大小和方向的量）、几何与符号表示方法. 理解模、零向量、单位向量的概念，并能判别向量的相等、平行（共线）、垂直关系. 经历从物理背景中抽象出向量概念的数学建模过程，体会数形结合思想，提升运用图形和逻辑进行数学抽象与推理的能力. 新课导入 如图，斜面上的木块受到哪些力的作用？这些力有什么共同特点？ 图中的小木块受到重力、支持力；这两种力既有大小又有方向 除了力以外，物理中的速度、加速度、位移这些量有什么共同特征？ 我们发现，这些量既有大小又有方向，像这样的量有什么特点？它与传统的只有大小的量有什么不同？本节课我们将深入学习并解决以上问题. 新知探究 知识点1：向量的定义与标量的区别 向量的定义：既有大小又有方向的量叫作向量； 标量的定义：只有大小没有方向的量叫作标量. 如：力、速度、加速度、位移等都是向量 如：距离、质量、身高等都是标量 课堂活动 你是否能区分生活中常见的量为向量还是标量？下面我们一起来试试吧！ 点击右侧图标，进入课堂活动 新知探究 知识点2：向量的表示方法与模 ①有向线段表示向量 用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头方向表示向量的方向. 有向线段的三要素：起点、方向、长度 如：以A为起点、B 为终点的向量记为 A B ②字母表示向量 向量也可用小写英文字母表示，印刷体为粗体、、,手写体为、、. 如：向量、、 新知探究 ③向量的模 向量的大小称为向量的长度(模),记为 向量的模记为 模是数量，只有大小没有方向. 　注：向量仅由方向和大小确定，而与起点位置无关 即时训练 1.如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 【解题思路】根据题意作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【解析】由题意，作图如下： 则飞机飞行的路程为， 所以. 则该飞机由先飞到，再飞到，则， 则 A 知识点3：零向量与单位向量 新知探究 ①零向量： 长度为 0 的向量，记作 零向量的方向是任意的 ②单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量 结合单位向量的定义，想一想：平面上起点在定点 O 的单位向量，其终点的集合是什么图形？ 由于长度都为一，方向是任意的，由此其终点的集合为以 O 为圆心，1 为半径的圆 注：单位向量有无数个，但若是方向不同则每个单位向量间也不相等 即时训练 2.下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. C 新知探究 知识点4：平行（共线）向量与相等向量 ①平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，记作 如：向量/// 特别规定：零向量与任一向量平行 任意一组平行向量都可以通过平移落在同一直线上，因此平行向量又称为共线向量 ②相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量，记作 注：相等向量与起点位置无关，即 向量平移后与原向量相等 A B C D 如图，向量 和 长度相等且方向相同，所以 . 即时训练 3.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量. 【解析】A.虽然，但方向不同不满足向量相等的条件 B.与方向相同，并且由于， 所以. C.与方向不同 D.与方向不同 B 新知探究 知识点5：相反向量与向量的夹角 ①相反向量：与向量长度相等、方向相反的向量叫作的相反向量，记作； 规定：零向量的相反向量仍是零向量，且。 ②向量的夹角：对两个非零向量、，任取一点，作， 则（）叫作向量与的夹角 ③特殊夹角： （时，两向量同向； （时，两向量反向； （时，两向量垂直，记作 即时训练 4.若两个非零向量和的夹角为，且，则这两个向量的位置关系是（ ） A. 同向共线 B. 反向共线 C. 垂直 D. 既不共线也不垂直 【解题思路】将夹角范围与向量的共线、垂直特征精准匹配. 【解析】对于两个非零向量、： 若，则与同向共线； 若，则与反向共线； 若，则与垂直。 已知，可得： 且，因此与不共线；，因此与不垂直。 综上，与的位置关系是既不共线也不垂直. D 知识小结 知识小结 1.向量：既有大小又有方向的量 2.向量的表示：有向线段或字母 3.特殊向量：零向量、单位向量 4.向量间的关系： ①共线 ②相等 ③相反 5.向量的夹角： 范围： 例1 典例分析 已知 为正六边形 的中心，在图所标出的向量中： （1）试找出与 共线的向量； （2）确定与 相等的向量； （3） 与 相等吗？ 【分析】共线向量看方向（相同或相反），相等向量看大小 + 方向. 解 ：（1）与共线的向量有和． （2）与长度相等且方向相同，则． （3）虽然，且，但它们方向相反，所以这两个向量并不相等． 例2 典例分析 在图中的 4×5 方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个(除外)? 【分析】与相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这些向量的起点。 在方格纸的格点中，除去点 外，符合题意的起点还有 7 个（如图）. 与长度相等的共线向量除了与方向相同的向量外，还有与方向相反的向量 典例分析 解：当向量的起点 是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量。 这样的格点共有 8 个，除去点 外，还有 7 个 所以共有 7 个向量与相等。 与长度相等的共线向量（除外）共有 （个）。 巩固提升 题型一：零向量与单位向量 1.下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】（1）由向量的几何以及对零向量的规定判断即可. 【解析】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，错误； （2）零向量是有方向的，是任意的，错误； （3）零向量的方向是任意的，正确； （4）零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，正确． B 巩固提升 题型2 向量的几何表示与向量的模 2.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【解答过程】如图，连接AC 由，得. 因为为半圆上的点，所以 所以． A 巩固提升 题型3 平行向量（共线向量） 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【分析】根据相等向量的定义写出即可； 【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 巩固提升 题型4 利用向量关系研究几何图形的性质 4.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明. ∴四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分 ∴四边形ABCD是平行四边形． 【解析】∵四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O 且，． 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 🎮 向量与数量分类挑战 将生活中的量拖拽到正确的分类区域 得分 0 连击 0 剩余 14 📦 待分类 向量区 既有大小又有方向 已分类: 0 数量区 只有大小没有方向 已分类: 0 🎉 游戏完成！ 最终得分: 0 正确率: 0% 最高连击: 0 再玩一次 高中数学 · 向量概念 课堂小结 目录导航 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 核心概念梳理 点击蓝色色块查看隐藏的关键术语 向量的定义 既有 大小 又有 方向 的量叫做向量。 相比之下，只有大小没有方向的量叫做 数量（或标量）。 表示方法： 1. 几何表示：有向线段 AB 2. 字母表示：a, b, x 模与特殊向量 向量的模：向量的大小（长度），记作 |a| 或 |AB|。 零向量：长度为 0 的向量，记作 0。其方向是 任意 的。 单位向量：模为 1 的向量。 向量间的关系 平行向量 (共线向量) 方向 相同 或 相反 的非零向量。 * 规定：0 与任一向量平行。 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量。 |a| = |b| 且 a ∥ b (同向) 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的向量。 a + (-a) = 0 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 ⚠️ 混淆向量与数量 错误观点：a > b 正解：向量既有大小又有方向，不能比较大小。只有向量的模（长度）可以比较大小，如 |a| > |b|。 🚫 忽视零向量的特殊性 错误观点：平行向量一定有方向；若 a ∥ b，则 a, b 方向相同或相反。 正解：0 的方向是任意的，它与任何向量都平行。在判断命题真假时，务必优先考虑零向量的情况。 📏 共线向量的几何位置 错误观点：共线向量一定在同一条直线上。 正解：共线向量即平行向量。它们可以所在的直线重合，也可以所在的直线互相平行。即：共线不一定在同一直线上。 解题技巧总结 掌握方法，事半功倍 1. 数形结合法 向量是数与形的结合体。在解决向量有关概念问题时，应尽可能画出几何图形，将抽象的符号语言转化为直观的图形语言。 应用场景： 判断向量是否相等 判断向量是否共线 求向量的模 2. 定义回归法 对于判断命题真假的选择题，严格依据定义进行判断。特别是涉及“单位向量”、“零向量”的命题，要逐字推敲。 关键反例构建： 提到“模相等”，思考方向是否相同？ 提到“平行”，思考是否包含零向量？ 提到“单位向量”，思考方向是否唯一？ 💡 核心口诀 向量有向又有长，零长为零向无常。 单位长度皆为一，方向不同非一样。 共线即是相平行，同向反向两相望。 $