5.1.1数列的概念（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数 列 5.1 数列基础 5.1.1数列的概念 学 习 目 标 1 2 3 经历情景问题，认识与理解数列的定义与分类（数学抽象）. 经历问题探究，理解与掌握数列通项的概念，能灵活书写简单数列的通项公式，并能求出数列的任意项的取值（数学抽象、数据分析、数学运算•重点）. 经历问题探究，理解与掌握数列与函数的关系，并能准确判断数列的单调性（数学抽象、逻辑推理•难点）. （一）情景问题 日常生活中，人们经常用数来描述事物的某种属性，从中可以得到很多按照一定次序排列的数. 情景1：哲理情景——《庄子》 我国古代哲学著作《庄子》中有一句话:"一尺之捶,日取其半,万世不竭." 这句话的意思是:一尺长的木棍,每天截去一半,永远也截不完. 从数学上来说,如果木棍初始长度为1,则每天截去一半之后木棍的长度分别为 ， ① 注："万世不竭"的意思指的是上面的每一个数都不可能为0. 一、数列的定义与分类 一、数列的定义与分类 （一）情景问题 日常生活中，人们经常用数来描述事物的某种属性，从中可以得到很多按照一定次序排列的数. 情景2：数据情景——专利申请 2009 年至 2015 年，我国每年的专利申请受理数 (精确到万) 分别为 98,122,163,205,236,236,280. ② 一、数列的定义与分类 （一）情景问题 日常生活中，人们经常用数来描述事物的某种属性，从中可以得到很多按照一定次序排列的数. 情景3：生活情景——分期付款 为了方便资金暂时不足的人购物,有些购物网站推出了分期期付款服务. 如图所示是标价为3000元的电脑可以享受的分期服务,不同的付款方式所对应的付款总金额数分别为3000,3045,3090,3180,3 180,3 360. ③ 一、数列的定义与分类 （二）数列的定义 像①②③这样按照一定次序排列的一列数称为数列. 1、项：数列中的每一个数都称为这个数列的项.各项依次称为这个数列的第1项(或首项),第2项…… 例如： 是数列①的首项, 是数列①的第2项, 是数列①的第3项…… 2.项数：组成数列的数的个数称为数列的项数. 例如：数列①由无穷多个数组成,因此它的项数为无穷大(也称项数无限); 而数列②由7个数组成,因此它的项数为7(也说成数列②共有7项);类似地,数列③的项数为5. 一、数列的定义与分类 （三）数列的分类 一般地,项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为无穷数列. 例如：上述数列①②③中,②③为有穷数列,①为无穷数列. 注：有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的末项. 二、数列的通项 因为数列从首项起,每一项都与正整数对应,所以数列的一般形式可以写成 其中表示数列的第项(也称为的序号,其中为正整数,即),称为数列的通项. 此时,一般将整个数列简记为, 注：这里的小写字母也可以换成其他小写英文字母. 例如：如果用表示由正整数的倒数排成的数列 ， ④ 则 再如：如果用表示当分别等于时,的值排成的数列 ， ⑤ 则 （一）数列通项的定义 二、数列的通项 已知数列为 ， ④ 数列为 ， ⑤ 你能写出数列④中与的关系吗? 数列 ⑤ 中与的关关系呢? （二）数列的通项公式 1.问题探究 探究（1） ∵ 数列④中是的倒数, ∴ ； 探究（2） ∵ 数列⑤中是次方, ∴ ； 像，这样，一般地,如果数列的第项与之间的关系可以用 来表示,其中是关于的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 注：根据数列的通项公式,能够写出这个数列的任意一项. 2.数列的通项公式的概念 二、数列的通项 （三）实例运用 例1 根据以下数列的通项公式,写出对应数列的第2项和第5项. （1）； （2）； 解：（1） ∵ ，, ∴ ， . 解：（2） ∵ ，, ∴ ， . 二、数列的通项 （三）实例运用 例2 写出以下各数列的一个通项公式. （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1） ∵数列可化为, ∴ 数列的通项公式为 . 解：（2） ∵数列可化为, ∴ 数列的通项公式为 . 二、数列的通项 （三）实例运用 例2 写出以下各数列的一个通项公式. （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（3） ∵数列的第1,3,5,...项都是0, 而第2,4,...项都是2, ∴ 数列的通项公式为 . 解：（4） ∵数列可化为 ∴ 数列的通项公式为 . 三、数列与函数的关系 （一）问题探究 （1）已知函数你能根据这个函数构造出一个数列吗? （2）你能总结出一般数列与函数的关系吗? 探究：在函数中，分别令就可以得到数列 ，⑥ 即这个数列的通项公式是 . （二）数列与函数的关系 由上探究可知,数列可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 注：数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示. 例如,数列⑥可以用图表示如右所示. 三、数列与函数的关系 （三）数列的单调性 根据数列与函数的关系,我们也可以用类似函数性质的术语来描述数列. 1.递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列; 例如：98,122,163,205,236,236,280. ② 3000,3045,3090,3180,3 180,3 360. ③ 上面数列②、③是递增数列. 2.递减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列 例如： ， ① ， ④ ， ⑥ 上面数列①、④、⑥是递减数列. 3.常数数列：各项都相等的数列称为常数数列(简称为常数列). 例如：数列 2,2,2,2,2，…是常数列. 三、数列与函数的关系 （四）实例运用 例3 已知函数，设数列的通项公式为，其中； (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由.   【分析】（1）根据数列的通项公式，结合n的性质即可证明结论； （2）利用作差法，说明成立，即可得结论.  【详解】（1）由题意可知， 又因为，所以，因此，即. （2）因为， 又因为，，所以， 从而，即， 因此是递增数列. 四、提升演练 例4 已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证：. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 【分析】（1）结合指数函数的单调性以及不等式的性质即可证得； （2）证得，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以； （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列.   五、达标检测 1.已知数列为2，4，8，16，…，写出.  【分析】通过观察法即可求解 【详解】 ∵已知数列为2，4，8，16，…， ∴. 五、达标检测 2.根据下列数列的前4项，写出它的一个通项公式： (1)0，1，0，1，…； (2)7，77，777，7777，…； (3)，，，，…； (4)，，，，…． 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据所给数列的前几项，分析项和项数之间的关系，探求规律即可得解. 【详解】（1）根据所给数列可得，. （2）根据所给数列可得， （3）根据所给数列可得， （4）根据所给数列可得，   3.在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． (1)求的通项公式； (2)88是否是数列中的项？ 【详解】（1）解：因为，，通项公式， 所以， 解得， 所以； （2）令， 解得， 因为，所以88不是数列中的项. 五、达标检测 4.判断下列数列的单调性： (1)； (2)． 【详解】（1）解：因为， 对任意的，， 所以，即数列是递减数列． （2）解：因为， 对任意的，， 所以，即数列是递增数列．   五、达标检测 5.已知函数f(x)＝ (x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)． (1)求证：an>－2； (2)数列{an}是递增数列，还是递减数列？为什么？ 【详解】(1)证明：由题意得. ∵∴ ∴. (2)是递减数列．证明如下： ∵， ∴ ∴∴是递减数列．     五、达标检测 今天我们都学习了什么知识？ 1.经历情景问题，认识与理解了数列的定义与分类. 2.经历问题探究，理解与掌握了数列通项的概念，能灵活书写简单数列的通项公式，并能求出数列的任意项的取值. 3.经历问题探究，理解与掌握数列与函数的关系，并能准确判断数列的单调性. 六、课堂小结 感谢聆听! $