精品解析：山东省济南市2025--2026学年下学期九年级寒假学情检测数学试题

2026年济南市寒假九年级学情检测 数学试题 说明：答卷前，考生务必将自己的准考证号填写在答题卡和试卷的指定位置上．回答选择题时，选出每小题的答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，回答非选择题时，用0.5mm的黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某地的耕地面积为422800亩．将数据422800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 已知关于x的函数，当时，随增大而减小，且对于任意的和，，对应的函数值，总满足．记，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案． 11. 因式分解：____________． 12. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小贤从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为______． 13. 如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为__________． 14. 如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 15. 如图，在中，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，是直线上一个动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，则线段长度的最大值是____________． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 16 计算：． 17. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 18. 如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 19. 如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． （1）如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； （2）如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 20. 如图，为的直径，点D为弦的中点，连接并延长交于点E，过点B作的切线交的延长线于点F．记与的交点为G． （1）求证：； （2）若点G为的中点，的半径为3，求的长． 21. 为了筹备校园科技节，某校学生会对学生感兴趣的科技主题进行了抽样调查，并根据结果安排讲座 收集数据】随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷内容包括5个主题，A：量子计算；B：AI绘画；C：火星探测；D：脑机接口；E：虚拟社交． 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生_______________人，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为_______________； （3）学校有800名学生参加本次活动，估计选择聆听B，D讲座的学生各有多少名？ 【做出决策】在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，请你合理安排A，B，D三场报告，补全此次活动日程表 “校园科技节”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00－9：30 _______________ E 10：00－11：30 C _______________ 13：00－14：30 _______________ 设备检修暂停使用 22. 2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． （1）求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； （2）该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于两点． （1）求出反比例函数的表达式和点的坐标； （2）取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 25. 在三角形中，以，为边在三角形外部作等边三角形和等边三角形，且连接． 【初步尝试】 （1）在图1中，连接，，求证：； 深入探究】 （2）在图2、图3中，，延长交线段于点． ①如图2，当点为线段的中点时，的值为_______________； ②如图3，在直线上方作等边三角形，当点在的边上时，求的值； 【拓展延伸】 （3）在图4中，点在直线上方，，且，点为线段的中点，连接，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年济南市寒假九年级学情检测 数学试题 说明：答卷前，考生务必将自己的准考证号填写在答题卡和试卷的指定位置上．回答选择题时，选出每小题的答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，回答非选择题时，用0.5mm的黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的概念直接判断即可． 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴2026的相反数是， 故选：A． 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：左视图为：． 3. 某地的耕地面积为422800亩．将数据422800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据422800用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角尺的应用，平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． 先作图将顶点标注字母，延长交于点，由三角尺的度数可证明，则．根据长方形的性质，，可推断出，作差计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方运算和合并同类项，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 7. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，再利用代入解析式，得到进而可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由题图可知，二次函数的图象开口向上， ∴， 又∵对称轴在y轴的右侧． ∴． ∴． 又∵抛物线与y轴正半轴交于一点， ∴， 且当时， 即 ∵一次函数，反比例函数 ∴一次函数图象经过第一、三、四象限．反比例函数的图象在第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是B选项 故选：B. 9. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】勾股定理逆定理，得到为直角三角形，作图得到平分，，推出，三线合一，得到垂直平分，得到，过点作，利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴ ， 过点作， 则：为等腰直角三角形， 设，则：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键的掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊三角形． 10. 已知关于x的函数，当时，随增大而减小，且对于任意的和，，对应的函数值，总满足．记，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据二次函数的增减性确定的初步范围，再结合区间内函数值差的条件进一步缩小的范围，最后根据与的函数关系求出的取值范围，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵函数开口向上，对称轴为， 又∵当时，随增大而减小， ∴， ∵在内，对称轴在该区间内，且时，离对称轴更远， ∴该区间内的最小值为，最大值为， ∵和，，对应的函数值，总满足， ∴ 化简得，即， 解得， 又，得， ∵，其开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案． 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】运用提公因式法，提出公因式，即可得到结果． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了提公因式法进行因式分解，提取正确公因式是解本题的关键． 12. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小贤从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用； 根据共有5个出口，北面有两个出口，直接利用概率公式得出答案． 【详解】解：∵共有5个出口，其中北面有B和C两个出口， ∴恰好从北面的出口出来的概率为， 故答案为：． 13. 如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握正多边形的内角和公式和扇形面积公式是解题的关键． 先根据正多边形的内角公式：每个内角度数，求出正五边形内角，再利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：∵正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆， ∴， ∴阴影部分面积． 故答案为：． 14. 如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】## 【解析】 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 15. 如图，在中，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，是直线上一个动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，则线段长度的最大值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可证得是等腰直角三角形，连接，由等腰直角三角形的性质和中位线定理可得，在中，利用勾股定理可求得，通过旋转得知点P的运动轨迹，再由折叠的性质可知，，以及点Q的运动轨迹为以E为圆心，为半径的圆，而，则当最大时，取得最大值，由此逐步分析求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 点是的中点， ，， 是等腰直角三角形， 如图，连接， 点是的中点， 是的中位线， ，， 在中，，，， ， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ， 又， ， ， ∵点F在线段上运动，的长度随F的位置变化 由折叠可知：，， 点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动， ， 当最大时，取得最大值， ∵点在上， ∴当点与点重合时，有最大值为， ∴的最大值为， ∴当、、三点共线，且点与点重合时，有最大值， 此时， 即线段长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，灵活运用相关知识，找到点P的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先利用零次幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 【答案】不等式组的解集为＜，正整数解为1，2 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得：x＞﹣1， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为＜， 则不等式组的正整数解为1，2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，推出和都是等边三角形，再证，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． （1）如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； （2）如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过点B作于点N，延长交于点M，在和中，分别利用正弦和余弦函数的定义求解即可； （2）如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，在中，利用三角函数的定义求得，在中，利用三角函数的定义求得，再结合图形即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点B作于点N，延长交于点M， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴． 答：灯口D与墙壁的距离． 【小问2详解】 解：如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，则四边形为矩形， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 答：点距离地面的高度为． 20. 如图，为的直径，点D为弦的中点，连接并延长交于点E，过点B作的切线交的延长线于点F．记与的交点为G． （1）求证：； （2）若点G为的中点，的半径为3，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了垂径定理，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据垂径定理可得，从而得到，再由切线的性质可得，即可解答； （2）连接，证明，可得，再由垂径定理可得，，根据勾股定理可得，进而得到，，再证明，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的半径，点D为弦的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于点B，且为的半径， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵点G为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点O为的中点，点D为的中点， ∴，． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵在中，， 在中，， ∴， ∴． 21. 为了筹备校园科技节，某校学生会对学生感兴趣的科技主题进行了抽样调查，并根据结果安排讲座 【收集数据】随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷内容包括5个主题，A：量子计算；B：AI绘画；C：火星探测；D：脑机接口；E：虚拟社交． 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生_______________人，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为_______________； （3）学校有800名学生参加本次活动，估计选择聆听B，D讲座的学生各有多少名？ 【做出决策】在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，请你合理安排A，B，D三场报告，补全此次活动日程表 “校园科技节”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00－9：30 _______________ E 10：00－11：30 C _______________ 13：00－14：30 _______________ 设备检修暂停使用 【答案】（1）50，补全条形统计图见解析；（2）；（3）B讲座的学生有160人，D讲座的学生有208人；补全活动日程表见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图相关联，利用样本估计总体． （1）根据“A”的人数和占比求出本次调查所抽取的学生人数，再求出“D”的人数，补全条形统计图即可； （2）用“E”的人数占比求解即可； （3）用学生总人数分别乘以聆听B，D讲座的学生人数占比即可． 【详解】解：（1）根据主题“A”的人数和占比求出本次调查所抽取的学生人数为：（人）， “D”的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：50； （2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为：； （3）B：（人）， D：（人）， 补全“校园科技节”主题日活动日程表如下： 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00-9：30 B E 10：00-11：30 C A 13：00-14：30 D 设备检修暂停使用 或“校园科技节”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00-9：30 D E 10：00-11：30 C A 13：00-14：30 B 设备检修暂停使用 22. 2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． （1）求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； （2）该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】（1）“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元 （2）该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使W最大，W最大450万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元．根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得出；由题意可得，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元． 由题意得：，解得：． 答：“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元． 【小问2详解】 解：设购进“晨光”型汽车辆，则购进“清风”型汽车辆， ； 由题意可得， ， ∴W随a的增大而减小， ∴当，W取最大值，最大值，此时，． 答：该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使W最大，W最大为450万元． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． （1）求出反比例函数的表达式和点的坐标； （2）取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 （3）是定值，该定值是2 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立函数解析式求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【小问1详解】 解：将代入直线得， ， 解得， 再将代入得， 联立得：， 解得：（舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； 【小问3详解】 解：是定值 设点， 设直线解析式为，将C、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令，则 解得， 即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 【答案】（1） （2）点F的坐标为；的最小值为 （3）点K的横坐标是或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点，设，易求直线的解析式，从而得的坐标，利用“”得，进而可得，则，根据二次函数的性质值，即可求出点F的坐标；根据题意可知是“胡不归模型”，则构造，，且，当点、、在同一条直线上时，的值最小，利用勾股定理，计算，的值，即可求出最小值； （3）利用待定系数法求新抛物线和直线的解析式，得，根据题意可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上两种情况，利用等腰三角形的性质和两点间的距离公式，求出交点、的坐标，从而求出直线的解析式，进而列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与y轴交于点C， 当时，，则， ， ，， ，， ，， 抛物线与x轴交于A、B两点， ，解得， ； 【小问2详解】 如图，过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点， ， 顶点，则，， 在中，， 设，则，，， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，则，， 轴，轴， 轴， ， 又， ， ，轴， ， ， ，即， 则， ， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当取得最大值时，点F的坐标为， 如图，作，过点作，使得， 在中，， ， ，即当点、、在同一条直线上时，的值最小， ， ，轴， ，则， 在中，，即， 则，即， 解得， ， ， ，， ， ， 则的最小值为； 【小问3详解】 点K的横坐标是或； 由平移可知，平移后解析式的二次项系数不变， 新抛物线的顶点， 新抛物线的解析式为：，即， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 当时，， ， ， 由图可得，直线与直线交点在射线上或在射线上， 情况一：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ， ， 左右平方，得， 解得，则， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是； 情况二：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ，左右平方，得， 解得（舍去）或， 当，， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是， 综上：点K的横坐标是或． 【点睛】本题是二次函数综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，解一元二次方程等知识是解题的关键，难点“胡不归模型”和两点间的距离公式． 25. 在三角形中，以，为边在三角形外部作等边三角形和等边三角形，且连接． 【初步尝试】 （1）在图1中，连接，，求证：； 【深入探究】 （2）在图2、图3中，，延长交线段于点． ①如图2，当点为线段的中点时，的值为_______________； ②如图3，在直线上方作等边三角形，当点在的边上时，求的值； 【拓展延伸】 （3）在图4中，点在直线上方，，且，点为线段的中点，连接，求线段的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或；（3） 【解析】 【分析】（1）通过证明即可得到； （2）①延长至，使得，连接，容易证明，通过三角形的内角之间的关系，可推导出，进而证明．由等量代换可得，即是等边三角形，则，利用正切函数求出即可； ②当点在边上，由①可直接得出结论；当在边上， 延长交于点，交于点，延长、交于点，连接，交于点，设，，同理①可得，则，．根据等边三角形的性质可证明，则，从而计算出和．利用和可得，则，解方程求出与的关系即可； （3）以为边向上作等边，连接、，作于点，以为边作，使得，边交的延长线于点，连接，取的中点，连接、，作于点，容易证明，由比例关系可计算得，．同理第（2）问可得，通过角的和差关系计算可得，从而证明，则点是的中点，是的中位线，因此为定值，当、、三点共线时，取得最大值，通过相似三角形和勾股定理计算出即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①如图，延长至，使得，连接 ∵点为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， 在直角中，， ∴； ②当点在边上时，由①可得； 当在边上时，如图，延长交于点，交于点，延长、交于点，连接，交于点，设，， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴平分， ∴，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 同理①可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 化简，得， 解得或（负值舍去）， ∴； 综上所述，或． （3）如图，以为边向上作等边，连接、，作于点，以为边作，使得，边交的延长线于点，连接，取的中点，连接、，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 同理（2）可得， ∴，， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴为定值，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值． 【点睛】本题是三角形的综合题，掌握全等三角形与相似三角形的判定定理与性质，并运用“手拉手”模型、“倍长中线”模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $