精品解析：江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考数学试题

江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考 数学试卷 2026．2 命题人：高安中学 周宾香 吉安县立中学 胡静 （考试时间：120分钟，考试满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ） A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或2或 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的包含关系，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由，得，即，而集合， 由，得或，所以或. 故选：B 2. 高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，105，110，115，120，125，130，135，140，145，这组数据的上四分位数为（ ） A. 130 B. 132．5 C. 135 D. 137．5 【答案】C 【解析】 【分析】利用上四分位数的定义求解即可. 【详解】高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，105，110，115，120，125，130，135，140，145， 因为，所以这组数据的上四分位数为第8个数据. 故选：C 3. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可. 【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 4. 二项式的展开式中，第四项的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出第四项即可. 【详解】二项式的展开式中，第四项为， 所以所求系数为. 故选：A 5. 已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 6. 已知双曲线上一点，若过P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M，N，则直线MN的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再求出过点与双曲线C的两条渐近线平行的直线方程，分别求出交点分M，N，利用点斜式方程即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 平行于的直线：斜率为 2，由点斜式得，即 该直线与另一条渐近线交于点 联立，解得, 平行于的直线：斜率为，由点斜式得，即； 该直线与另一条渐近线交于点 , 联立，解得, 所以​， 所以直线MN的方程为，化简得：， 故选：C 7. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则 面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，所以为直角三角形，由重要不等式可求得 面积的最大值，或由二倍角的正弦公式及正弦函数的最大值求得 面积的最大值. 【详解】因为，所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以为直角三角形，. 所以 面积. 当且仅当，即时，等号成立. 所以 面积的最大值为. 故选：A. 方法二： 因为，所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以为直角三角形，. 所以，所以 面积. 当，即时，取得最大值，即 面积的最大值为. 故选：A. 8. 已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数求出的单调性，再比较自变量的大小即可. 【详解】，定义域为， 因为是递减函数，是递增函数，所以在上单调递减， 因为，所以，即， 故，即. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分． 9. 已知 内角A，B，C对边分别为a，b，c．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 为钝角三角形． B. 若，则 为等腰三角形 C. 在锐角 中，不等式恒成立 D. 若，，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角判断A；由正弦定理边化角判断B；利用正弦函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D. 【详解】对于A，由及余弦定理，得，为锐角，无法确定，A错误； 对于B，由及正弦定理，得， 为等腰三角形，B正确； 对于C，在锐角 中，，则，即，C正确； 对于D，由，，得，，， 由正弦定理得，D正确. 故选：BCD 10. 已知椭圆上存在一点P，使椭圆C在点P处的切线l与直线所成角的大小是，点Q是切线l上的动点，，为椭圆C的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为2 B. 椭圆C的离心率 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的光学性质可得，再结合椭圆定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】由椭圆C在点P处的切线l与直线所成角的大小是，得直线是的外角平分线， 则，设椭圆C的半焦距为，，， 对于A，的面积，A正确； 对于B，由，得以 为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点， 则，椭圆的离心率，B错误； 对于C，椭圆上的点到点 的距离的最小值为，而直线上除切点外都在椭圆外， 因此，当且仅当重合，且点为椭圆短轴端点时取等号，C正确； 对于D，当时，点在以 为圆心，为半径的圆与切线相交弦上（除端点外），，D错误. 故选：AC 11. 在棱长为2的正方体中，F是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线AC与所成角的大小为 B. 过A，F，C的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若P是正方形内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹长度为2 D. 若P是棱的中点，则四面体外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再结合空间向量逐项计算判断. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，， 向量不垂直，因此异面直线AC与所成角的大小不为，A错误； 对于B，取中点，连接，则，即， 而点，因此，四边形是过的平面截正方体所得的截面， 其周长为，B正确； 对于C，由P是正方形内的动点，设， 则，由，得，解得， 即点，动点P的轨迹长度为2，C正确； 对于D，点，设四面体外接球球心，球半径为， 则，解得， 因此四面体外接球表面积为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 而，所以. 故答案为： 13. 某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”，事件为“购买的灯泡是合格品”， 依题意，， 因此， ， 所以这个灯泡是甲厂生产的概率是. 故答案为： 14. 已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】结合差角的余弦公式求出函数图象相邻的三个交点坐标，再利用对称性建立方程求出值. 【详解】由，得，整理得， 解得，则， 不妨取函数图象相邻的三个交点为， 依题意， 是等腰直角三角形，由对称性得，则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，且的前n项和为，求证：（）． 【答案】（1）； （2） 由（1）得，，即数列为等差数列， ，当时，， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再结合等比中项列出方程求出公差即可. （2）由（1）的结论求出，再利用等差数列前n项和公式求出，进而作差推理得证. 【小问1详解】 在等差数列中，由，得，解得， 由，，成等比数列，得，即，又， 解得，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 已知动圆过定点，且与直线相切． （1）求动圆圆心的轨迹C的方程； （2）过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【答案】（1） （2）证明：由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线的斜率均存在且不为0， 因为，所以，即， 即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得方程； （2）设，由得出，利用韦达定理化简即可. 【小问1详解】 由题意可知，动圆圆心到点和到的距离相等， 故动圆圆心的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线， 故动圆圆心的轨迹C的方程为； 【小问2详解】 略 17. 如图，四棱锥顶点A在平面内，其余顶点均在平面同侧，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，点M为PD的中点，点B与点D到平面的距离为． （1）求证：； （2）求平面PCD与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在四棱锥中，平面 ，且四边形 为正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，因此，即， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，设平面的法向量， 则，取，得，设平面的法向量， 点， ，由点B与点D到平面的距离为， 得，则，由顶点均在平面同侧， 取，得，因此， 平面PCD与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数a的值； （3）当时，证明不等式恒成立． 【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2） （3） 可化为， 即证， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则， 只需证对恒成立， 令，， 令，， 因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则对恒成立， 故不等式恒成立. 【解析】 【分析】（1）对进行求导，分为和两种情况，结合极值的概念分别讨论即可； （2）结合（1）问，分别讨论和时函数在区间上单调性，即可求解. （3）先构造函数证明，利用放缩将不等式化为在恒成立，再构造函数证明即可. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 当时，，在上单调递增，无极值. 当时，令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）可得当时，在区间上单调递增，所以，解得：，满足条件； 当时，若，即时，在区间上单调递增， ，解得：，与矛盾，舍去； 若，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，解得：，与矛盾； 综上，实数a的值为. 【小问3详解】 略 19. 小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： •若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束. •若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数. 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束. （1）求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. （2）设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为. ①求，； ②证明：数列满足递推关系（，）； （3）以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链. 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、． 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望． 【答案】（1）； （2）①，；②将“第次首次结束”的事件拆解为两种互斥的状态转移场景，利用互斥事件的概率加法公式，推导得到数列的递推关系. （3） 【解析】 【分析】（1）三枚骰子的总基本事件数，利用三枚骰子点数和的对称性，枚举点数和≥12的所有基本事件数，代入古典概型概率公式计算. （2）游戏“连续两次点数和≥12才结束”的规则，判断第1次投掷无法满足结束条件得，再利用独立事件概率乘法公式计算第2次首次结束的概率； （3）从状态0、状态1出发到游戏结束的期望步数、，根据马尔可夫链的状态转移规则，建立关于、的线性方程组，通过消元法解方程组，得到即为随机变量的数学期望. 【小问1详解】 同时掷三枚均匀的六面骰子，每枚骰子有6种等可能的结果， 因此总基本事件数为. 三枚骰子的点数和范围为，且满足对称性： 点数和为的情况数，与点数和为的情况数完全相等. 枚举点数和≥12的所有基本事件数： 点数和为12：25种； 点数和为13：21种； 点数和为14：15种； 点数和为15：10种； 点数和为16：6种； 点数和为17：3种； 点数和为18：1种. 满足“点数和≥12”的基本事件总数为：. 由古典概型的概率公式得. 【小问2详解】 ①由题意，表示从状态0开始，第次掷骰子后游戏首次结束的概率. 对于：游戏结束的充要条件是“连续两次点数和≥12”，仅进行1次投掷无法满足“连续两次”的要求，因此第1次投掷后不可能首次结束，故. 对于：第2次投掷后首次结束，需满足第1次、第2次的点数和均≥12（状态转移为：状态0→状态1→状态2）. 由于两次投掷相互独立，得. 故，. ②证明：设事件为“第次掷骰子后游戏首次结束”，则. 事件可分解为以下两个互斥事件的和： 事件：第一次掷骰子点数和小于12，且后续次投掷中游戏首次结束 第一次点数和小于12的概率为，根据游戏规则，点数和小于12时， 此前的连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第次首次结束， 等价于从初始状态0出发，在后续次投掷中首次结束，该事件的概率为， 由独立事件的概率乘法公式，. 事件：第一次掷骰子点数和大于等于12、第二次掷骰子点数和小于12，且后续次投掷中游戏首次结束 第一次点数和大于等于12的概率为，第二次点数和小于12的概率为；根据游戏规则，第二次点数和小于12时，连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第次首次结束，等价于从初始状态0出发，在后续次投掷中首次结束，该事件的概率为. 由独立事件的概率乘法公式，. 由于事件与事件互斥，，得： . 【小问3详解】 由题意，随机变量表示从开始（状态0）到游戏结束的投掷次数，因此. 根据马尔可夫链的状态转移规则，建立线性方程组： 从状态0出发：投掷1次骰子（步数+1），以概率转移到状态1，以概率留在状态0， 因此， 从状态1出发：投掷1次骰子（步数+1），以概率转移到状态2（游戏结束，剩余期望步数为0）， 以概率回到状态0，因此， 对第一个方程化简：， 将式(1)代入第二个方程，=可得：， 展开得，移项合并得 所以，解得： 将式(2)代入式(1)，得：， 将代入，计算得：. 因此，随机变量的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考 数学试卷 2026．2 命题人：高安中学 周宾香 吉安县立中学 胡静 （考试时间：120分钟，考试满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ） A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或2或 2. 高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，105，110，115，120，125，130，135，140，145，这组数据的上四分位数为（ ） A. 130 B. 132．5 C. 135 D. 137．5 3. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 二项式的展开式中，第四项的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 5. 已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线上一点，若过P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M，N，则直线MN的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 8. 已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分． 9. 已知内角A，B，C对边分别为a，b，c．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形． B. 若，则为等腰三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，，则的取值范围为 10. 已知椭圆上存在一点P，使椭圆C在点P处的切线l与直线所成角的大小是，点Q是切线l上的动点，，为椭圆C的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为2 B. 椭圆C的离心率 C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，F是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线AC与所成角的大小为 B. 过A，F，C的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若P是正方形内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹长度为2 D. 若P是棱的中点，则四面体外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为________． 13. 某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 14. 已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，且的前n项和为，求证：（）． 16. 已知动圆过定点，且与直线相切． （1）求动圆圆心的轨迹C的方程； （2）过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 17. 如图，四棱锥顶点A在平面内，其余顶点均在平面同侧，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，点M为PD的中点，点B与点D到平面的距离为． （1）求证：； （2）求平面PCD与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数a的值； （3）当时，证明不等式恒成立． 19. 小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： •若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束. •若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数. 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束. （1）求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. （2）设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为. ①求，； ②证明：数列满足递推关系（，）； （3）以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链. 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、． 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $