专项提升训练：解决问题的策略（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年六年级下册数学苏教版

2025-2026学年六年级下册数学苏教版 专项提升训练：解决问题的策略 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1 二、列表法解鸡兔同笼 2 三、假设法解鸡兔同笼 3 四、方程法解鸡兔同笼 3 例题讲解 4 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 4 题型二、列表法解鸡兔同笼 5 题型三、假设法解鸡兔同笼 5 题型四、方程法解鸡兔同笼 6 考点练习 6 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 6 练习二、列表法解鸡兔同笼 8 练习三、假设法解鸡兔同笼 9 练习四、方程法解鸡兔同笼 10 考点梳理 一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1.画图法 (1)作用：通过图形直观呈现数量之间的分数关系或比的关系，化抽象为具体，帮助分析问题中的等量关系。 (2)常用图形： ①　线段图：适用于表示部分与整体的关系、两个量的比较关系。通常用一条线段表示单位“1”，根据分数或比的意义将线段分段，标注已知量和未知量。 ②　示意图：如长方形、圆形等，通过分割图形表示数量占比，适用于按比例分配等问题。 (3)画图步骤： ①　确定单位“1”的量，用一条线段（或图形）表示； ②　根据题目中的分数或比，将线段（或图形）按比例分割，标注各部分对应的分率或份数； ③　结合已知数量，明确所求量与已知量在图形中的对应关系，进而分析数量关系。 2.转化法 (1)核心思想：将分数问题中的数量关系转化为比或份数关系，利用比的性质或份数的直观性简化计算。 (2)转化类型： ①　分数与比的转化：若已知“A是B的几分之几”，可转化为“A与B的比是几:几”（如“A是B的3/5”转化为“A:B=3:5”）；反之，若已知“A与B的比是m:n”，可转化为“A是B的m/n”“B是A的n/m”“A占总量的m/(m+n)”等。 ②　部分与整体的转化：当已知部分量占整体的分率或比时，可将整体看作若干份，部分量对应其中的份数，通过份数关系求解整体或其他部分量。 (3)应用场景： ①　已知部分量求整体（总量）； ②　已知整体求部分量； ③　按比例分配问题（将总量按给定比分成若干部分）。 二、列表法解鸡兔同笼 1.适用场景 适用于鸡兔同笼问题中头数和脚数较少、数据简单的情况，通过列举可能的鸡和兔的数量，计算对应脚数，找到符合条件的解。 2.列表步骤 (1)明确已知条件：确定鸡和兔的总头数（即总只数）和总脚数。 (2)假设数量并列表： ①　设定鸡的数量为x，兔的数量则为“总头数-x”； ②　从鸡的数量为0（或兔的数量为0）开始，依次增加（或减少）鸡的数量，计算对应的兔的数量和总脚数，填入表格。 (3)对比验证：将计算出的总脚数与题目中的实际总脚数对比，当计算脚数等于实际脚数时，对应的鸡和兔的数量即为所求。 3.列表技巧 (1)可从中间值开始列表（如总头数的一半），根据脚数与实际值的差异调整鸡和兔的数量，减少列举次数； (2)固定一个量（如鸡的数量），逐步调整另一个量（兔的数量），避免重复或遗漏。 三、假设法解鸡兔同笼 1.核心思路 假设笼中全是鸡（或全是兔），根据假设情况下的脚数与实际脚数的差异，推算出兔（或鸡）的数量。 2.假设全是鸡的解题步骤 (1)计算假设脚数：假设全是鸡，总脚数=总头数×每只鸡的脚数（2只）。 (2)求脚数差：实际总脚数-假设总脚数=脚数差（因每只兔比鸡多2只脚，此差值由兔的数量导致）。 (3)求兔的数量：兔的数量=脚数差÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=脚数差÷2。 (4)求鸡的数量：鸡的数量=总头数-兔的数量。 3.假设全是兔的解题步骤 (1)计算假设脚数：假设全是兔，总脚数=总头数×每只兔的脚数（4只）。 (2)求脚数差：假设总脚数-实际总脚数=脚数差（因每只鸡比兔少2只脚，此差值由鸡的数量导致）。 (3)求鸡的数量：鸡的数量=脚数差÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=脚数差÷2。 (4)求兔的数量：兔的数量=总头数-鸡的数量。 4.关键公式 (1)兔的数量=（总脚数-总头数×2）÷（4-2） (2)鸡的数量=（总头数×4-总脚数）÷（4-2） 四、方程法解鸡兔同笼 1.设未知数 设鸡的数量为x只，则兔的数量为（总头数-x）只；或设兔的数量为x只，则鸡的数量为（总头数-x）只。 2.列方程依据 根据“鸡的脚数+兔的脚数=总脚数”列方程，其中鸡的脚数=鸡的数量×2，兔的脚数=兔的数量×4。 3.解方程步骤 (1)设未知数：设鸡有x只，则兔有（总头数-x）只。 (2)列方程：2x + 4×(总头数-x) = 总脚数。 (3)解方程：去括号、移项、合并同类项，求出x的值（鸡的数量）。 (4)求兔的数量：兔的数量=总头数-x。 (5)检验：将求得的鸡和兔的数量代入“鸡脚数+兔脚数”，验证是否等于总脚数，确保解的合理性。 4.注意事项 (1)设未知数时需明确所设量代表的含义（鸡或兔）； (2)列方程时需统一单位，确保脚数计算准确； (3)解方程后需检验，避免因计算错误导致结果偏差。 例题讲解 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 【例题1】一款套装的价格在830~850元，其中裤子的价格是上衣的，裤子的价格是总价的几分之几？裤子多少元？（上衣和裤子的价格均为整数，先根据题意把线段图补充完整，再解答） 上衣： 裤子： 【练习1】观光果园是集果品生产、休闲旅游、科普示范、娱乐健身于一体的新型果园。一家观光果园里梨树的棵数是桃树棵数的，是苹果树棵数的。已知苹果树比桃树多160棵，则梨树、桃树、苹果树各有多少棵？ 题型二、列表法解鸡兔同笼 【例题2】乐乐家用大小两种袋子装104千克大米，一共用了10个袋子。每个大袋子能装12千克，每个小袋子能装8千克，大袋子和小袋子各用了多少个？（用列表法解决） 大袋子/个 小袋子/个 大米总质量/千克 【练习2】米脂是陕北地区唯一荣获“中国千年古县”称号的县区，文化积淀深厚，旅游资源丰富。王导游用960元买了20张景点门票，其中一部分是半价的儿童票，一部分是60元一张（全价）的成人票。成人票和儿童票各有多少张？ 题型三、假设法解鸡兔同笼 【例题3】五（1）班同学去植树，男生每人种3棵，女生每人种2棵，第一小组8人一共种了21棵树，这个小组男生和女生各有几人？ 【练习3】学校举办“古诗文默写大赛”，共有30道题。比赛规则如下：“默对一题得8分，默错或未默一题扣3分。”小明在比赛中获得了174分，请问他默对了多少道题？ 题型四、方程法解鸡兔同笼 【例题4】张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【练习4】鸡兔同笼是我国古代数学名著《孙子算经》中的经典趣题。笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有16个头；从下面数，有52只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 考点练习 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1．如图，白兔的只数比黑兔的只数多，黑兔的只数是白兔的，黑兔的只数比白兔的只数少（    ）%。 2．如下图，六年级一班男生与女生的人数比是（    ），男生人数占全班人数的。已知女生有20人，六年级一班共有（    ）人。 3．王大伯家种植的苹果树比梨树少24棵，已知苹果树的棵数是梨树的，苹果树有( )棵，梨树有( )棵。 4．参加数学兴趣小组的学生人数在20~30之间，其中女生人数是男生人数。参加数学兴趣小组的女生有( )人，比男生少( )人。 5．甲、乙两地间的铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车行驶了多少千米？（先在图中画一画，再解答） 6．某电子厂现在生产一批电脑，按3∶2∶1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间。已知甲车间要生产270台，则乙、丙两个车间分别要生产多少台？（先画图表示题意，再解答） 练习二、列表法解鸡兔同笼 1．一个奶牛场一天产奶220千克，刚好用20只桶装满。这些桶有大有小，大桶每只可装12千克，小桶每只可装8千克，这20只桶中有多少只大桶？多少只小桶？ 大桶/只 小桶/只 可装牛奶/kg 2．光明小学举办数学知识竞赛，一共20题。答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分。小丽得了79分。她答对几题？答错几题？有几题没答？请你借助表格尝试解决。 答对 答错 不答 得分 3．体育馆有12张乒乓球桌，有38名同学正在练习单打和双打。正在练习单打和双打的各有多少名同学？（用列表法解答） 4．有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条，龟、鹤各有几只？（请你用列表的方法解决问题） 5．如今，绿色出行成为社会新风尚，新能源共享汽车和共享单车受到越来越多人的喜爱。在某停车场停着新能源共享汽车和共享单车一共20辆，共有56个轮子。新能源共享汽车和共享单车各有多少辆？（请你用列表的方法解决这个问题） 练习三、假设法解鸡兔同笼 1．游乐场在周六这天售出成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，周六这天售出成人票多少张？ 2．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 3．42名男生去公园野营，5人共用一顶大帐篷，3人共用一顶小帐篷，一共租了10顶帐篷，正好够用。大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 4．今有鸡兔同笼，上有30头，下有足50双，问鸡兔各几只？ 5．2024年9月14日，北京有史以来最大规模的中秋国庆彩灯游园会在位于丰台的北京园博园召开。园内一条迎宾路上挂着A、B两款灯笼串，每款都是由大灯笼和小灯笼组合成串（如图所示）。已知大灯笼共有20个，小灯笼共有98个，A、B两款灯笼串各有多少串？ 练习四、方程法解鸡兔同笼 1．春季运动会上，34位同学在12张球桌上同时进行乒乓球比赛（如下图）。进行单打和双打的乒乓球桌各有几张？ 2．邮局推出两种面值的纪念邮票共120枚，总面值是124.8元，其中一种邮票的面值是8角，另一种邮票的面值是1.20元。邮局推出的面值8角的邮票有多少张？ 3．妈妈送给菲菲一个存钱罐，她们约定好每次共读一本书。如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元。如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈。两人读完10本书后，存钱罐里有90元，菲菲有多少次先看完一本书？ 4．淘气的压岁钱里20元和50元的纸币共27张，总值840元。20元和50元的纸币各有多少张？ 5．运动公园出租两人自行车和四人自行车供游客骑行观光。五年级有70名同学到公园秋游，租用了两种自行车共25辆，所有座位恰好坐满，两种自行车各租了多少辆？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学苏教版 专项提升训练：解决问题的策略 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1 二、列表法解鸡兔同笼 2 三、假设法解鸡兔同笼 3 四、方程法解鸡兔同笼 3 例题讲解 4 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 4 题型二、列表法解鸡兔同笼 6 题型三、假设法解鸡兔同笼 8 题型四、方程法解鸡兔同笼 8 考点练习 10 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 10 练习二、列表法解鸡兔同笼 14 练习三、假设法解鸡兔同笼 19 练习四、方程法解鸡兔同笼 22 考点梳理 一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1.画图法 (1)作用：通过图形直观呈现数量之间的分数关系或比的关系，化抽象为具体，帮助分析问题中的等量关系。 (2)常用图形： ①　线段图：适用于表示部分与整体的关系、两个量的比较关系。通常用一条线段表示单位“1”，根据分数或比的意义将线段分段，标注已知量和未知量。 ②　示意图：如长方形、圆形等，通过分割图形表示数量占比，适用于按比例分配等问题。 (3)画图步骤： ①　确定单位“1”的量，用一条线段（或图形）表示； ②　根据题目中的分数或比，将线段（或图形）按比例分割，标注各部分对应的分率或份数； ③　结合已知数量，明确所求量与已知量在图形中的对应关系，进而分析数量关系。 2.转化法 (1)核心思想：将分数问题中的数量关系转化为比或份数关系，利用比的性质或份数的直观性简化计算。 (2)转化类型： ①　分数与比的转化：若已知“A是B的几分之几”，可转化为“A与B的比是几:几”（如“A是B的3/5”转化为“A:B=3:5”）；反之，若已知“A与B的比是m:n”，可转化为“A是B的m/n”“B是A的n/m”“A占总量的m/(m+n)”等。 ②　部分与整体的转化：当已知部分量占整体的分率或比时，可将整体看作若干份，部分量对应其中的份数，通过份数关系求解整体或其他部分量。 (3)应用场景： ①　已知部分量求整体（总量）； ②　已知整体求部分量； ③　按比例分配问题（将总量按给定比分成若干部分）。 二、列表法解鸡兔同笼 1.适用场景 适用于鸡兔同笼问题中头数和脚数较少、数据简单的情况，通过列举可能的鸡和兔的数量，计算对应脚数，找到符合条件的解。 2.列表步骤 (1)明确已知条件：确定鸡和兔的总头数（即总只数）和总脚数。 (2)假设数量并列表： ①　设定鸡的数量为x，兔的数量则为“总头数-x”； ②　从鸡的数量为0（或兔的数量为0）开始，依次增加（或减少）鸡的数量，计算对应的兔的数量和总脚数，填入表格。 (3)对比验证：将计算出的总脚数与题目中的实际总脚数对比，当计算脚数等于实际脚数时，对应的鸡和兔的数量即为所求。 3.列表技巧 (1)可从中间值开始列表（如总头数的一半），根据脚数与实际值的差异调整鸡和兔的数量，减少列举次数； (2)固定一个量（如鸡的数量），逐步调整另一个量（兔的数量），避免重复或遗漏。 三、假设法解鸡兔同笼 1.核心思路 假设笼中全是鸡（或全是兔），根据假设情况下的脚数与实际脚数的差异，推算出兔（或鸡）的数量。 2.假设全是鸡的解题步骤 (1)计算假设脚数：假设全是鸡，总脚数=总头数×每只鸡的脚数（2只）。 (2)求脚数差：实际总脚数-假设总脚数=脚数差（因每只兔比鸡多2只脚，此差值由兔的数量导致）。 (3)求兔的数量：兔的数量=脚数差÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=脚数差÷2。 (4)求鸡的数量：鸡的数量=总头数-兔的数量。 3.假设全是兔的解题步骤 (1)计算假设脚数：假设全是兔，总脚数=总头数×每只兔的脚数（4只）。 (2)求脚数差：假设总脚数-实际总脚数=脚数差（因每只鸡比兔少2只脚，此差值由鸡的数量导致）。 (3)求鸡的数量：鸡的数量=脚数差÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=脚数差÷2。 (4)求兔的数量：兔的数量=总头数-鸡的数量。 4.关键公式 (1)兔的数量=（总脚数-总头数×2）÷（4-2） (2)鸡的数量=（总头数×4-总脚数）÷（4-2） 四、方程法解鸡兔同笼 1.设未知数 设鸡的数量为x只，则兔的数量为（总头数-x）只；或设兔的数量为x只，则鸡的数量为（总头数-x）只。 2.列方程依据 根据“鸡的脚数+兔的脚数=总脚数”列方程，其中鸡的脚数=鸡的数量×2，兔的脚数=兔的数量×4。 3.解方程步骤 (1)设未知数：设鸡有x只，则兔有（总头数-x）只。 (2)列方程：2x + 4×(总头数-x) = 总脚数。 (3)解方程：去括号、移项、合并同类项，求出x的值（鸡的数量）。 (4)求兔的数量：兔的数量=总头数-x。 (5)检验：将求得的鸡和兔的数量代入“鸡脚数+兔脚数”，验证是否等于总脚数，确保解的合理性。 4.注意事项 (1)设未知数时需明确所设量代表的含义（鸡或兔）； (2)列方程时需统一单位，确保脚数计算准确； (3)解方程后需检验，避免因计算错误导致结果偏差。 例题讲解 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 【例题1】一款套装的价格在830~850元，其中裤子的价格是上衣的，裤子的价格是总价的几分之几？裤子多少元？（上衣和裤子的价格均为整数，先根据题意把线段图补充完整，再解答） 上衣： 裤子： 【答案】；350元；图见详解 【分析】（1）根据“裤子的价格是上衣的”可知，如果把上衣的价格看作7份，则裤子就是5份，据此补全线段图； （2）把上衣的价格看作7份，则裤子的价格是5份，总价就是7＋5＝12份，据此用裤子的份数除以总价的份数即可得到裤子的价格是总价的几分之几； （3）根据套装的价格是在830~850之间的整数，且总价是12的倍数，找出830~850之间是12的倍数的整数就是套装的价格，再用套装的价格乘裤子的价格占总价的分率即可得到裤子的价格。 【详解】补全线段图如下： 5÷（5＋7） ＝5÷12 ＝ 830~850之间，只有整数840是12的倍数，所以这款套装的价格是840元； 840×＝350（元） 答：裤子的价格是总价的，裤子是350元。 【练习1】观光果园是集果品生产、休闲旅游、科普示范、娱乐健身于一体的新型果园。一家观光果园里梨树的棵数是桃树棵数的，是苹果树棵数的。已知苹果树比桃树多160棵，则梨树、桃树、苹果树各有多少棵？ 【答案】梨树有240棵，桃树有400棵，苹果树有560棵 【分析】根据题意，先作图。根据图可知，梨树有3份，苹果树有7份，桃树有5份。苹果树比桃树多2份，多160棵。将160棵除以2，求出每份有多少棵，从而利用乘法分别求出梨树、桃树、苹果树的数量。 【详解】如图： 160÷（7－5） ＝160÷2 ＝80（棵） 梨树：3×80＝240（棵） 桃树：5×80＝400（棵） 苹果树：7×80＝560（棵） 答：梨树有240棵、桃树有400棵、苹果树有560棵。 题型二、列表法解鸡兔同笼 【例题2】乐乐家用大小两种袋子装104千克大米，一共用了10个袋子。每个大袋子能装12千克，每个小袋子能装8千克，大袋子和小袋子各用了多少个？（用列表法解决） 大袋子/个 小袋子/个 大米总质量/千克 【答案】表格见详解；大袋子6个；小袋子4个 【分析】由题意可知，每个大袋子能装12千克，每个小袋子能装8千克，一共用了10个袋子，大米的总质量是104千克，从大袋子和小袋子的数量相等开始假设，再逐步调整： 假设用了5个大袋子和5个小袋子，大米的总质量为：12×5＋8×5＝60＋40＝100（千克），100千克＜104千克，不符合题意，可以减少小袋子的数量； 假设用了6个大袋子和4个小袋子，大米的总质量为：12×6＋8×4＝72＋32＝104（千克），104千克＝104千克，符合题意； 假设用了7个大袋子和3个小袋子，大米的总质量为：12×7＋8×3＝84＋24＝108（千克），108千克＞104千克，不符合题意，据此解答。 【详解】分析可知： 大袋子/个 小袋子/个 大米总质量/千克 5 5 12×5＋8×5＝100（千克） 6 4 12×6＋8×4＝104（千克） 7 3 12×7＋8×3＝108（千克） 综上所述，大米的总质量是104千克，大袋子用了6个，小袋子用了4个。 答：大袋子用了6个，小袋子用了4个。 【练习2】米脂是陕北地区唯一荣获“中国千年古县”称号的县区，文化积淀深厚，旅游资源丰富。王导游用960元买了20张景点门票，其中一部分是半价的儿童票，一部分是60元一张（全价）的成人票。成人票和儿童票各有多少张？ 【答案】 成人票12张；儿童票8张 【分析】已知一张成人票60元，一张儿童票是成人票的半价，即60÷2＝30元。 王导游用960元买了20张景点门票，假设10张成人票，10张儿童票，共需60×10＋30×10＝900元，少于960元，需将成人票数调多，儿童票数调少； 假设11张成人票，9张儿童票，共需60×11＋30×9＝930元，少于960元，仍需将成人票数调多，儿童票数调少； 假设12张成人票，8张儿童票，共需60×12＋30×8＝960元，正好等于960元。据此解答。 【详解】60÷2＝30（元） 60×10＋30×10 ＝600＋300 ＝900（元） 60×11＋30×9 ＝660＋270 ＝930（元） 60×12＋30×8 ＝720＋240 ＝960（元） 成人票/张 儿童票/张 总钱数 10 10 60×10＋30×10＝900（元） 11 9 60×11＋30×9＝930（元） 12 8 60×12＋30×8＝960（元） 答：成人票有12张，儿童票有8张。 题型三、假设法解鸡兔同笼 【例题3】五（1）班同学去植树，男生每人种3棵，女生每人种2棵，第一小组8人一共种了21棵树，这个小组男生和女生各有几人？ 【答案】5人；3人 【分析】假设都是男生，则一共可以种8×3＝24（棵），实际比假设少了：24－21＝3（棵），一名女生比一名男生少种（3－2）棵，所以用实际比假设少的数量÷一名女生比一名男生少种的棵树即为女生的人数，用8减去女生人数可得男生人数。 【详解】假设都是男生； （8×3－21）÷（3－2） ＝（24－21）÷（3－2） ＝3÷1 ＝3（人） 男生：8－3＝5（人） 答：这个小组男生有5人，女生有3人。 【练习3】学校举办“古诗文默写大赛”，共有30道题。比赛规则如下：“默对一题得8分，默错或未默一题扣3分。”小明在比赛中获得了174分，请问他默对了多少道题？ 【答案】24道 【分析】假设30道题全部默对，则得分为（30×8）分，而实际得分174分，即比实际得分多了（30×8－174）分，因为默对一题得8分，默错或未默一题扣3分，差值为（8＋3）分，用比实际多得的分数除以默对一题和默错或未默一题的差值即可求出默错或未默的题数，默对的题数＝总题数－默错或未默的题数，据此解答。 【详解】默错或未默的题数： （30×8－174）÷（8＋3） ＝（240－174）÷11 ＝66÷11 ＝6（道） 默对的题数：30－6＝24（道） 答：他默对了24道题。 题型四、方程法解鸡兔同笼 【例题4】张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【答案】50元/张的6张；80元/张的4张 【分析】设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。根据“总价＝单价×数量”分别计算出50元/张的门票的总价和80元/张的门票的总价；再根据等量关系式“50元/张的门票的总价＋80元/张的门票的总价＝620”代入数值列出方程并求解。 【详解】解：设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。 10－6＝4（张） 答：50元/张的门票订了6张，80元/张的门票订了4张。 【练习4】鸡兔同笼是我国古代数学名著《孙子算经》中的经典趣题。笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有16个头；从下面数，有52只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【答案】兔10只；鸡6只 【分析】这是一道经典的鸡兔同笼问题，用方程求解的关键在于找到合适的等量关系。 我们知道鸡有2只脚，兔有4只脚，从题目条件可知两个重要信息：头的总数为16个，这意味着鸡和兔的总数量是16只；脚的总数为52只。 我们可以设兔的数量为x只，那么鸡的数量就是（16－x）只。因为兔脚的总数是4x只，鸡脚的总数是2×（16－x）只，而脚的总数是52只，所以可以根据“兔脚总数＋鸡脚总数＝总脚数”这个等量关系来列方程求解，即4x＋2×（16－x）＝52，解方程即可。 【详解】解：设兔有x只，则鸡有（16－x）只。 4x＋2×（16－x）＝52 4x＋2×16－2x＝52 4x＋32－2x＝52 4x－2x＋32＝52 2x＋32＝52 2x＋32－32＝52－32 2x＝20 2x÷2＝20÷2 x＝10 16－x＝16－10＝6 答：兔有10只，鸡有6只。 考点练习 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1．如图，白兔的只数比黑兔的只数多，黑兔的只数是白兔的，黑兔的只数比白兔的只数少（    ）%。 【答案】；；20 【分析】由图可知，黑兔的只数占4份，白兔的只数占5份； 用白兔的只数减去黑兔的只数，求出白兔比黑兔多的只数多，再除以黑兔的只数，即为白兔的只数比黑兔的只数多几分之几； 用黑兔的只数除以白兔的只数，即为黑兔的只数是白兔的几分之几； 用白兔的只数减去黑兔的只数，求出黑兔比白兔少的只数，再除以白兔的只数，即为黑兔的只数比白兔的只数少的百分之几。 【详解】（5－4）÷4 ＝1÷4 ＝ 4÷5＝ （5－4）÷5×100% ＝1÷5×100% ＝0.2×100% ＝20% 白兔的只数比黑兔的只数多，黑兔的只数是白兔的，黑兔的只数比白兔的只数少20%。 2．如下图，六年级一班男生与女生的人数比是（    ），男生人数占全班人数的。已知女生有20人，六年级一班共有（    ）人。 【答案】6：5；；44 【分析】通过线段图分析男女生人数比例，并结合已知女生人数求解全班人数。从线段图中可以看出，男生对应的线段被平均分成了6份，女生对应的线段被平均分成了5份，那么总人数有份，由此可求出六年级一班男生与女生的人数和男生人数占全班人数的几分之几。已知女生有20人，且女生人数对应的份数是5份，先求出1份对应的人数，再求班级总人数。 【详解】由分析可知，六年级一班男生与女生的人数比是，男生人数占全班人数的。 （人） 六年级一班共有44人。 3．王大伯家种植的苹果树比梨树少24棵，已知苹果树的棵数是梨树的，苹果树有( )棵，梨树有( )棵。 【答案】 36 60 【分析】已知苹果树的棵数是梨树的，把梨树棵数看作单位“1”，假设梨树棵数是5份，苹果树棵数是3份，则苹果树比梨树少5－3＝2份；已知苹果树比梨树少24棵，用少的棵数除以少的份数计算出1份的棵数；最后分别乘3、乘5计算出苹果树和梨树的棵数。 【详解】24÷（5－3） ＝24÷2 ＝12（棵） 12×3＝36（棵） 12×5＝60（棵） 所以苹果树有36棵，梨树有60棵。 4．参加数学兴趣小组的学生人数在20~30之间，其中女生人数是男生人数。参加数学兴趣小组的女生有( )人，比男生少( )人。 【答案】 12 3 【分析】女生人数是男生人数，那么女生人数和男生人数的比是4∶5，男生人数有5份，女生人数是4份，总人数为9份。由此可得：总人数是9的倍数，且在20~30之间，20到30人之间9的倍数只有27，可以推断总人数27人，再分别求出男生女生人数，最后求差即可。 【详解】女生人数和男生人数的比是4∶5，总人数：4＋5＝9（份） 所以，总人数是20~30之间的9的倍数，只有27，所以总人数为27人， 男生人数为：27÷9×5 ＝3×5 ＝15（人） 女生人数为：27÷9×4 ＝3×4 ＝12（人） 15－12＝3（人） 所以，参加数学兴趣小组的女生有12人，比男生少3人。 5．甲、乙两地间的铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车行驶了多少千米？（先在图中画一画，再解答） 【答案】180千米 【分析】货车的速度是客车的，即货车与客车的速度比是2∶3，由于时间一定，所以相遇时，货车与客车的路程比也是2∶3，即把总路程平均分成2＋3＝5份，货车行驶了这样的2份，客车行驶了这样的3份，已知甲、乙两地间的铁路长300千米，除以5计算出1份的长度，再乘3计算出3份的长度，即相遇时客车行驶的路程。 【详解】 2＋3＝5 300÷5×3 ＝60×3 ＝180（千米） 答：相遇时客车行驶了180千米。 6．某电子厂现在生产一批电脑，按3∶2∶1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间。已知甲车间要生产270台，则乙、丙两个车间分别要生产多少台？（先画图表示题意，再解答） 【答案】 图见详解 乙：180台；丙：90台 【分析】一批电脑，按3：2：1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间，即甲车间3份、乙车间2份、丙车间1份，已知甲车间要生产270台，对应分配的3份，因此把甲车间平均分成3份，乙车间生产2份、丙车间生产1份，据此画图并解答。 【详解】 1份：（台） 乙：（台） 丙：（台） 答：乙车间生产180台，丙车间生产90台。 练习二、列表法解鸡兔同笼 1．一个奶牛场一天产奶220千克，刚好用20只桶装满。这些桶有大有小，大桶每只可装12千克，小桶每只可装8千克，这20只桶中有多少只大桶？多少只小桶？ 大桶/只 小桶/只 可装牛奶/kg 【答案】15只大桶，5只小桶；填表见详解； 【分析】先假设大桶、小桶尽量平均，各有20÷2＝10（只），再根据大桶的数量×12＋小桶的数量×8＝总质量求出此时可以装多少千克牛奶，再结合实际一天产奶220千克调整大桶和小桶的数量，注意：大桶的数量＋小桶的数量＝20，最后找出符合题意的答案即可。 【详解】10×12＋10×8 ＝120＋80 ＝200（千克） 12×12＋（20－12）×8 ＝144＋8×8 ＝144＋64 ＝208（千克） 14×12＋（20－14）×8 ＝168＋6×8 ＝168＋48 ＝216（千克） 15×12＋（20－15）×8 ＝180＋5×8 ＝180＋40 ＝220（千克） 大桶/只 小桶/只 可装牛奶/kg 10 10 200 12 8 208 14 6 216 15 5 220 答：这20只桶中有15只大桶，5只小桶。 2．光明小学举办数学知识竞赛，一共20题。答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分。小丽得了79分。她答对几题？答错几题？有几题没答？请你借助表格尝试解决。 答对 答错 不答 得分 【答案】答对17题，答错2题，没答1题；填表见详解 【分析】由题意可知，小丽得了79分，这样她最少答对了16题。答对题数假设为16，17，18，19，20题，然后逐个分析。 假设答对16题，则得分是16×5＝80（分），比实际得分多；假设答对16题，答错1题，不答为20－16－1＝3（题），则得分是16×5－3＝77（分），比实际得分少。 假设答对17题，则得分是17×5＝85（分），比实际得分多；假设答对17题，答错1题，不答为20－17－1＝2（题），则得分是17×5－3＝82（分），比实际得分多；假设答对17题，答错2题，不答为20－17－2＝1（题），则得分是17×5－3×2＝79（分），与实际得分相同。 假设答对18题，答错0题，不答为20－18＝2（题），则得分是18×5＝90（分），比实际得分多；假设答对18题，答错1题，不答为20－18－1＝1（题），则得分是18×5－3＝87（分），比实际得分多；假设答对18题，答错2题，不答为20－18－2＝0（题），则得分是18×5－3×2＝84（分），比实际得分多。 假设答对19题，答错0题，不答为20－19＝1（题），则得分是19×5＝95（分），比实际得分多；假设答对19题，答错1题，不答为20－19－1＝0（题），则得分是19×5－3＝92（分），比实际得分多。 如果是答对20题，就会是100分，与实际得分不符。据此填表。 【详解】16×5－3 ＝80－3 ＝77（分） 17×5－3 ＝85－3 ＝82（分） 17×5－3×2 ＝85－6 ＝79（分） 填表如下： 答对 答错 不答 得分 16题 1题 3题 16×5－3＝77（分） 17题 1题 2题 17×5－3＝82（分） 17题 2题 1题 17×5－3×2＝79（分） 答：她答对17题，答错2题，有1题没答。 3．体育馆有12张乒乓球桌，有38名同学正在练习单打和双打。正在练习单打和双打的各有多少名同学？（用列表法解答） 【答案】 单打10名；双打28名 【分析】单打每桌需2名同学，双打每桌需4名同学。共12张乒乓球桌，假设6张乒乓球桌单打，6张乒乓球桌双打，计算对应的总学生数为2×6＋4×6 ＝36名，比38名少2名，需将单打乒乓球桌数往小调整，双打乒乓球桌数往大调整，即5张乒乓球桌单打，7张乒乓球桌双打，求出总人数为2×5＋4×7＝38名，符合要求。 【详解】 单打乒乓球桌数/张 单打总人数/名 双打乒乓球桌数/张 双打总人数/名 总人数/名 6 2×6＝12 6 4×6＝24 12＋24＝36 （少2名） 5 2×5＝10 7 4×7＝28 10＋28＝38 （正好） 答：正在练习单打的有10名同学，练习双打的有28名同学。 4．有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条，龟、鹤各有几只？（请你用列表的方法解决问题） 【答案】 16只；24只 【分析】龟和鹤共40只，即龟的只数＋鹤的只数＝40；龟有4条腿，鹤有2条腿，腿的总数＝龟的只数×4＋鹤的只数×2。从龟和鹤数量相等，均为40÷2＝20（只）开始假设，再逐步调整： 假设龟20只，鹤20只，腿数：20×4＋20×2＝80＋40＝120（条），120＞112，可减少龟的数量； 假设龟19只，鹤21只，腿数：19×4＋21×2＝76＋42＝118（条），118＞112，继续减少龟的数量； 假设龟18只，鹤22只，腿数：18×4＋22×2＝72＋44＝116（条），116＞112，继续减少龟的数量； 假设龟17只，鹤23只，腿数：17×4＋23×2＝68＋46＝114（条），114＞112，继续减少龟的数量； 假设龟16只，鹤24只，腿数：16×4＋24×2＝64＋48＝112（条），112＝112，符合题意； 据此列表。 【详解】列表如下：            龟的只数            鹤的只数        腿的总数（条）            20             20            120            19             21            118            18             22            116            17             23            114            16             24            112 答：龟有16只，鹤有24只。 5．如今，绿色出行成为社会新风尚，新能源共享汽车和共享单车受到越来越多人的喜爱。在某停车场停着新能源共享汽车和共享单车一共20辆，共有56个轮子。新能源共享汽车和共享单车各有多少辆？（请你用列表的方法解决这个问题） 【答案】新能源共享汽车有8辆；共享单车有12辆 【分析】解答这道题的关键是明确已知两种车的总数（20辆）和总轮子数（56个），新能源共享汽车有4个轮子，共享单车有2个轮子，要求用列表枚举法来求解两种车的数量，核心是通过逐步调整两种车的数量，找到符合轮子总数的组合。还须满足如下数量关系：新能源共享汽车数量＋共享单车数量＝20辆；新能源共享汽车数量×4＋共享单车数量×2＝56个轮子。据此列表解答。 【详解】根据分析： 从假设全是共享单车开始，逐步增加新能源共享汽车的数量，来枚举验证： 共享单车 新能源共享汽车 轮子总数 20 0 40 19 1 42 18 2 44 17 3 46 16 4 48 15 5 50 14 6 52 13 7 54 12 8 56 由表中数据可知，当新能源共享汽车数量为8辆，共享单车为12辆时总轮子数为56个，符合题意。 答：新能源共享汽车有8辆，共享单车有12辆。 练习三、假设法解鸡兔同笼 1．游乐场在周六这天售出成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，周六这天售出成人票多少张？ 【答案】300张 【分析】这道题的核心是通过假设全部是儿童票，对比假设的总价和实际的总价求出价钱差，同时求出成人票和儿童票的金额差进而求出成人票的数量。题目中已知成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，假设全部都是儿童票，用假设总价与实际总价的差除以两种票的金额差结果是成人票数量。据此解答。 【详解】假设全是儿童票。 求假设总价：（元） 求总价差：（元） 求两种票的金额差：（元） 求成人票的数量：（张） 答：周六这天售出成人票300张。 2．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】9场 【分析】鸡兔同笼问题，可采用假设法解题。 已知：足球队参加了15场比赛，负了4场，假设其余都胜利，即胜利：15－4＝11（场），应得分：11×3＝33分。又知：胜一场记3分，平一场记1分，所以将一场平局算作一场胜利的话，总分会多：3－1＝2（分）。假设的得分33分与实际得分29分，相差几个2分，就说明将几场平局算成了胜利，据此分析即可 【详解】假设足球队负了4场其余都胜利 应得： （15－4）×3 ＝11×3 ＝33（分） 平的场数： （33－29）÷（3－1） ＝4÷2 ＝2（场） 胜的场数： 15－4－2 ＝11－2 ＝9（场） 答：这支球队胜了9场。 3．42名男生去公园野营，5人共用一顶大帐篷，3人共用一顶小帐篷，一共租了10顶帐篷，正好够用。大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【答案】6顶；4顶 【分析】假设都是大帐篷，则够5×10＝50（人）用，已知比假设少了：50－42＝8（人），一顶小帐篷比一顶大帐篷少（5－3）人，所以小帐篷有：8÷（5－3）＝4（顶），然后用10减去小帐篷的数量可得大帐篷的数量。 【详解】（5×10－42）÷（5－3） ＝（50－42）÷2 ＝8÷2 ＝4（顶） 10－4＝6（顶） 答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶。 【点睛】解题关键在于理解假设法的原理，准确找出人数差异与帐篷容纳人数差异之间的关系，从而顺利解决问题。 4．今有鸡兔同笼，上有30头，下有足50双，问鸡兔各几只？ 【答案】鸡10只；兔20只 【分析】假设全是鸡，因为每只鸡有2只脚，笼子里一共有30个头，那么脚的总数：2×30＝60（只），但实际下有足50双，50×2＝100（只），也就是100只脚，这比我们假设全是鸡的情况时脚的只数多了：100－60＝40（只）。这是因为每只兔有4只脚，而我们把兔当成鸡来算时，每只兔少算脚的只数：4－2＝2（只）。总共少算的40只脚就是因为把兔当成鸡算造成的，所以兔的数量就是：40÷2＝20（只），那么鸡的数量为：30－20＝10（只），据此解答。 【详解】（2×50－2×30）÷（4－2） ＝（100－60）÷2 ＝40÷2 ＝20（只） 30－20＝10（只） 答：鸡有10只，兔有20只。 5．2024年9月14日，北京有史以来最大规模的中秋国庆彩灯游园会在位于丰台的北京园博园召开。园内一条迎宾路上挂着A、B两款灯笼串，每款都是由大灯笼和小灯笼组合成串（如图所示）。已知大灯笼共有20个，小灯笼共有98个，A、B两款灯笼串各有多少串？ 【答案】A款有9串；B款有11串 【分析】A款有1个大灯笼6个小灯笼，B款有1个大灯笼4个小灯笼，假设园内悬挂的都是A款，则小灯笼应是6×20＝120个，比实际的多22个，那是因为把B款每串的4个小灯笼看成了6个，据此可求出B款有几串，然后再求A款有几串即可解答。 【详解】假设园内悬挂的都是A款，则B款有： （20×6－98）÷（6－4） ＝（120－98）÷2 ＝22÷2 ＝11（串） A款：20－11＝9（串） 答：A款有9串，B款有11串。 练习四、方程法解鸡兔同笼 1．春季运动会上，34位同学在12张球桌上同时进行乒乓球比赛（如下图）。进行单打和双打的乒乓球桌各有几张？ 【答案】单打7张；双打5张 【分析】根据题意，可以设双打的乒乓球桌有张，则单打的乒乓球桌有（12－）张；可得出等量关系：每张双打乒乓球桌的人数×双打乒乓球桌的张数＋每张单打乒乓球桌的人数×单打乒乓球桌的张数＝参加乒乓球比赛的总人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设双打的乒乓球桌有张，则单打的乒乓球桌有（12－）张。 4＋2（12－）＝34 4＋24－2＝34 2＋24＝34 2＝34－24 2＝10 ＝10÷2 ＝5 单打：12－5＝7（张） 答：进行单打的乒乓球桌有7张，双打的乒乓球桌有5张。 2．邮局推出两种面值的纪念邮票共120枚，总面值是124.8元，其中一种邮票的面值是8角，另一种邮票的面值是1.20元。邮局推出的面值8角的邮票有多少张？ 【答案】48张 【分析】根据题意得：8角邮票张数＋1.20元邮票张数＝120，8角邮票张数×0.8＋1.20元邮票张数×1.2＝124.8，可设面值8角邮票张数为x，则面值1.20元邮票张数为，据此根据等量关系列出方程，进而得出答案。 【详解】解：设面值8角的邮票有x张，则面值1.20元邮票张数为，可列出方程： 答：邮局推出的面值8角的邮票有48张。 3．妈妈送给菲菲一个存钱罐，她们约定好每次共读一本书。如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元。如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈。两人读完10本书后，存钱罐里有90元，菲菲有多少次先看完一本书？ 【答案】8次 【分析】设菲菲有x次先看完，如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元，妈妈给存钱罐12x元；妈妈看了（10－x）本，如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈，妈妈先看完菲菲拿出给妈妈的钱（10－x）×3元，用妈妈给存钱罐12x元－妈妈先看完菲菲拿出给妈妈的钱（10－x）×3元＝菲菲存钱罐的90元，列方程：12x－（10－x）×3＝90，解方程，即可解答。 【详解】解：设菲菲有x次先看完，则妈妈有（10－x）次看完。 12x－（10－x）×3＝90 12x－10×3＋3x＝90 15x－30＝90 15x＝90＋30 15x＝120 x＝120÷15 x＝8 答：菲菲有8次先看完一本书。 4．淘气的压岁钱里20元和50元的纸币共27张，总值840元。20元和50元的纸币各有多少张？ 【答案】20元纸币有17张，50元纸币有10张。 【分析】设50元有x张，则20元有（27－x）张；x张50元是50x元；（27－x）张20元是20×（27－x）元，总值840元，列方程：50x＋20×（27－x）＝840，解方程，即可解答。 【详解】解：设50元有x张，则20元有（27－x）张。 50x＋20×（27－x）＝840 50x＋20×27－20x＝840 30x＋540＝840 30x＋540－540＝840－540 30x＝300 30x÷30＝300÷30 x＝10 27－x＝27－10＝17（张） 答：20元纸币有17张，50元纸币有10张。 5．运动公园出租两人自行车和四人自行车供游客骑行观光。五年级有70名同学到公园秋游，租用了两种自行车共25辆，所有座位恰好坐满，两种自行车各租了多少辆？ 【答案】两人：15辆；四人：10辆 【分析】设四人自行车租了x辆，两人自行车租了（25－x）辆；x辆四人自行车有4x人；（25－x）辆两人自行车有2×（25－x）人，一共有70名同学，列方程：4x＋2×（25－x）＝70，解方程，即可解答。 【详解】解：设四人自行车租了x辆，则两人自行车租了（25－x）辆。 4x＋2×（25－x）＝70 4x＋2×25－2x＝70 2x＋50＝70 2x＝70－50 2x＝20 x＝20÷2 x＝10 两人自行车：25－10＝15（辆） 答：两人自行车租了15辆，四人自行车租了10辆。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $