专题2 方程与不等式-第03讲一元二次方程 2026年中考数学一轮复习

第03讲一元二次方程 一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，属于二元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 3.根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是(    ) A. B. C. D. 4.一元二次方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.淇淇在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则(    ) A. B. C. D. 或 6.一元二次方程的根是(    ) A. B. ， C. ， D. 7.已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 8.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 9.某书店今年月份盈利元，月份盈利元设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 10.某景区年接待游客万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区年接待游客达到万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为(    ) A. B. C. D. 11.若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. 或 C. D. 13.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 14.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 15.方程的自然数解有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 16.下列方程中，有实数解的是(    ) A. ； B. ； C. ； D.  ． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 17.一元二次方程的根是          ． 18.已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则          ． 19.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则           ． 20.方程的两个根分别是，，则           ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 已知关于的一元二次方程． 不解方程，判断此方程根的情况； 若是该方程的一个根，求代数式的值． 22.本小题分 关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 23.本小题分 已知，，均为正数，满足如下三个条件： ，，． 小明探究发现结论：， 证明如下：由，得， 由，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由，得， 请你将小红的证明过程补充完整 请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出和的值． 24.本小题分 已知关于的一元二次方程 求证：方程有两个不相等的实数根； 如果方程的两实根为、，且，求的值． 25.本小题分 建设美丽城市，改造老旧小区．某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同． 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． 年老旧小区改造的平均费用为每个万元，年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加如果投入资金年增长率保持不变，求该市在年最多可以改造多少个老旧小区？ 26.本小题分 阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题：方程的解是，           ，           ； 拓展：用“转化”思想求方程的解； 应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查了二元二次方程，根据二元二次方程的定义逐一进行分析判断即可，熟知方程中共有两个未知数，并且最高次数为次，方程均为整式方程是解题的关键． 【详解】解：、中，是分式，不是二元二次方程，不符合题意； 、是二元二次方程，符合题意； 、中是二次根式，不是二元二次方程，不符合题意； 、是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  【解析】由题意得，解得或舍去故选C． 6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：． 9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解和定义以及一元二次方程的解法，关键是注意方程二次项的系数不等于． 首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值． 【解答】 解：把代入得： ， ， 解得：，， 是一元二次方程， ， ， ． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】 解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选A． 14.【答案】  【解析】、是一元二次方程的两个根，，，，故选A． 15.【答案】  【解析】将原方程整理，得，  ， ，自然数解为共个．故选B． 16.【答案】  【解析】解：， ， ， 故无实数根； B.解方程，得， 经检验，是原方程的解； C.，而， 无实数根； D.解方程得，而时，， 是方程的增根，无实数根； 故选：． 17.【答案】  18.【答案】  19.【答案】  20.【答案】  21.【答案】解：， 此一元二次方程有两个不相等的实数根． 将代入一元二次方程， 得， 整理得， ．  【解析】利用根的判别式判断即可． 将代入一元二次方程，整理得，再将变形为，代入求值即可． 本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根． 22.【答案】解：关于的方程有实数根， ， 解得 为正整数， ， ， 则， 解得．   【解析】根据方程有实数根，且为正整数求得，再利用直接开平方法即可求出方程的根． 23.【答案】【小题】 证明：由，得． 又， ，即， ． 又， ． 【小题】 解：由题意，由小红的结论， ． 又， ． 又， ， ， ， 负值已舍去． 又， ， ． 24.【答案】证明：， 方程有两个不相等的实数根． 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得，． ， ， ， ， 解得，， 的值为或．   【解析】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答． 要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的的值大于即可； 根据根与系数的关系可以得到关于的方程，从而可以求得的值． 25.【答案】【小题】 设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，依题意，得， 解得，不合题意，舍去． 故该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． 【小题】 设该市在年可以改造个老旧小区， 依题意，得， 解得， 又为整数，的最大值为． 故该市在年最多可以改造个老旧小区． 26.【答案】【小题】 【小题】 将方程的两边平方，得， 即，， 或，，． 当时，，不是原方程的解； 当时，，是原方程的解． 综上可知，方程的解是． 【小题】 四边形是矩形，，． 设，则． ，，， ，． 两边平方，得，整理，得， 两边平方并整理，得，即，． 经检验，是方程的解． 答：的长为．   【解析】  ， ，即， 或或， ，，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $