第1章 平面向量及其应用 单元测试-2025-2026学年高一下学期湘教版必修第二册

湘教版高中数学必修第二册 第1章：平面向量及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 3．如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（    ）． A．4 B． C．1 D． 5．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 6．在三角形ABC中，内角所对应的边分别是，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中错误的有（    ） A．起点相同的单位向量，终点必相同； B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形； C．若，则； D．若，则 10．如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 11．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．三角形ABC的外接圆的面积是 C．三角形ABC的面积的最大值是 D．的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在三角形ABC中，点为边的中点，若，则实数的值为______. 13．在三角形ABC中，，，则三角形ABC的面积是______. 14．已知，，则在上的投影向量的坐标为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 16．（15分）已知． (1)若三点共线，求与满足的关系式； (2)若三点共线，，求点的坐标． 17．（15分）已知向量，，. (1)求向量，的夹角； (2)求的值； 18．（17分）如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. (1)若，求的值； (2)设，，，，求的值； 19．（17分）在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第二册 第1章：平面向量及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.下列说法正确的个数是（) (1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量： (2)零向量没有方向： (3)向量的模一定是正数： (4)非零向量的单位向量是唯一的. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【分析】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解 【详解】对于(1)，温度与功没有方向，不是向量，故(1)错误： 对于(2)，零向量的方向是任意的，故(2)错误： 对于(3)，零向量的模为0，不是正数，故(3)错误： 对于(4)，非零向量的单位向量的方向有两个，故(4)错误： 故选：A 2.如图，在四边形ABCD中，若AB=DC,则图中相等的向量是() D C B A.AD与CB B.OB与OD C.AO与OC D.AC与BD 【答案】C 【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可. 【详解】因为AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=-CB,OB=-OD,AO=OC,AC≠BD,故ABD错误，C正确故选：C 3.如图，在四边形ABCD中，DC=2AB,BE=2EC,设DC=a,DA=b,则DE等于() 5 A. a+-b B. 2a+6 C. a+ 6 2 2 6 3 D. 3 3 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得。 【详解】因为DC=2AB,BE=2EC 所以Di-c+C=Dc+}西=cD丽-D0-c+A+B-D对 =号-丽号+0c-选：c 3 3 6 6 3 4.已知向量a=(1,2),b=(-2,),若a/1b,则t=(). A.4 B.-4 C.1 D.-1 【答案】B 【分析】由向量平行的充要条件列方程求解即可， 【详解】己知向量a=(1,2),b=(-2t),若a/b,则1xt-2×(-2)=0,解得t=-4.故选：B. 5.已知向量a,6满足|a=5,|b=6,a.b=-6,则cos(a,a+b)=() A.、3 19 5 B. C.17 35 D. 35 【答案】D 【分析】计算a.(a+)、|a+b,再利用向量的夹角公式计算 【详解】由题意得，a.(a+b)a2+a-b=25-6=19, 1ā+b=a+b)}=a2+2a-b+b2=b5-12+36=7, X××(a+bX 所以cos(a,a+b)= 1919 a.a+b 5×735·故选：D 6.在三角形ABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若a=3,b=√13，B=60°，则c= () A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案 【详解】由余弦定理可知b2=a2+c2-2 ac cos B,即13=9+c2-2x3 cx cos60°， 整理得c2-3c-4=0,解得c=4或c=-1(舍去).故选：D 7.如图，A,B是半径为1的圆O上的两点，且∠A08=号若C是圆0上的任意一点，则OABC 的最大值为() A. 、3 B. D.1 2 C. 【答案】C 1 【分析】根据向量的运算可得OABC=OAOC-OAOB,由数量积的定义可得OAOB= OAOC=cos∠AOC,当cos∠AOC取最大值时，OABC取得最大值·当OA与OC同向时， cos∠AOC取得最大值为1，代入求解即可. 【详解】因为OABC=OAOC-OB)=OAOC-OAOB, a0丽-网丽kaw40=1kk分行 OAoC=4Ccos∠A0C=cos∠A0C,所以a4BC=cos∠A0C 即当cos∠AOC取最大值时，OABC取得最大值. 当OA与OC同向时，cos∠AOC取得最大值为1， 此时，OABC取得最大值子.故选：C 8.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两 点（点N与点c不至合，设亚-=丽不=aC,则片的道为(） G B C A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理计算即可。 【详解】设MG=aMN,则AG=AM+MG=AM+2=AM+(AN-AM） =(1-)AM+AAN=x (1-A)AB+yAAC, 又网为G是C的重，收器-器+}荒， 1 x(1-2)= 所以有 3→1+上=30-2+3=3故选：A y元=3 xv 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题中错误的有() A.起点相同的单位向量，终点必相同： B.己知向量AB∥CD,则四边形ABCD为平行四边形： C.若a/b,blc,则ale: D.若a=b,b=c,则a=c 【答案】ABC 【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论 【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误： 四边形ABCD中，AB∥CD,则ABIICD,但是无法得出AB=CD,故四边形ABCD不一定 为平行四边形，B选项错误： 当b=0时，满足ab,bc,但不能得到忙，C选项错误： 由向量相等的条件可知，若a=b,b=c,则a=c,D选项正确.故选：ABC 10.如图，在四边形ABCD中，AB/1CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点， 且BC=3EC,F为AE的中点，则() B 3 B.0:丽+西 C.CF-14B-2AD D.BF=-24B+LAD 6 3 3 31 【答案】ABD 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由AB1/CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC, 由向量加法的三角形法则得 丽-丽+丽=沥-兮+0)+0 又P为裙的钟点，则亚号西西}0，放A正确 BC-+D+C-B+D+号西=5+AD,放B正确： 原=厨+标=-+号丽0=号丽+D,教D正确： 西+--c-含D-+0 =五-而，数c错误 故选：ABD 11.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=√5，且(2b-c)cosA=acosC, 则下列结论正确的是() A.A=T B.三角形ABC的外接圆的面积是π 6 C.三角形ABC的面积的最大值是3V3 D.b+c的取值范围是(3,2W3] 【答案】BCD 【分析】对于A项，由正弦定理边化角及和角公式求解即可；对于B项，由正弦定理及圆 的面积公式求解即可：对于C项，由余弦定理及重要不等式可求得b的最大值，结合三角 形面积公式求解即可；对于D项，由正弦定理边化角可得b+c=25sinB+,求此函数 6 的值域即可 【详解】对于A项，因为(2b-c)cosA=acosC,所以2 sinBcosA-sinCcos4=sinAcosC, 2sinBcos4=sinAcosC+sinCcos4=sin(A+C)=sinB, 又因为血8±0，所以c01=又因为4e(0,网，所以A-号，故A项错误. 1 对于B项，设。ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理可得2R=a=2, sinA 则△ABC的外接圆的面积是πR2=π，故B项正确. 对于C项，由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA,即b2+c2-bc=3①. 因为b2+c2≥2bc②，当且仅当b=c时，等号成立， 所以由①②得bc≤3，当且仅当b=c时，等号成立， 所以aABC的面积S=csi4=5c≤35，则c项正确. 4 4 对于D项，由正弦定理可得ab sinA sinB sinC =2, b=2sinB.c=2sinc =2sinB=sinB+cosB, 3 所以b+c=3sinB+V3cosB=2v5sinB+】 6 △ABC是锐角三角形，0<B<2,0<C=机】 -B<I 3 所以B< 6 2 3 6) 所以3<25smB+s25,即b+c的取值范围是3,2]，故D项正确. 6 故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在三角形ABC中，点D为边BC的中点，若AB+AC=2AD,则实数1的值为 【答案】2 【分析】由向量平行四边形运算法则求出即可 【详解】因为AD=AB+BD=AB+BC,BC=AC-AB, 所以D=AB+c-AB)丽+Ac）,所以+AC-2AD,即=2 故答案为：2 13.在三角形ABC中，AB=(2,4),BC=(-6,2),则三角形ABC的面积是 【答案】14 【分析】先得到cos BA.BC=V5 进而由同角三角函数关系得到sin BA.BC=75,利用三 10 10 角形面积公式求出答案 【详解】BA=(-2,-4),BC=(-6,2), BA·BC （-2,-4)(-6,2) 4 cos BA,BC'- √2 BA.BC V4+16×36+425×2M0101 2 因为(BA,BC)∈[O,π，所以sin BA BC √2 7N5 10 10 故三角形ABC的面积为)B,sin BA,.BC=×25×20×?,正 =14.故答案为：14 10 14.已知a=(2,3,1),b=(1,-2,-2),则a在b上的投影向量的坐标为 【答案】 244 333 【分析】由投影向量的计算求解即可： 【详解】a.6=(2,31)(1,-2,-2)=2-6-2=-6,园=1+4+4=3， 断以在上的技膨向量的望标为日月子扣-22)， 244 故答案为： 33’3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.（13分)设，6是不共线的两个非零向量. (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证：A,B,C三点共线： (2)若&+励与版+2b共线，求实数k的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)士4 【分析】(1)要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可： (2)由共线向量定理求出参数即可 【详解】(1)证明：：AB=OB-OA=(3ā+b)-(2a-b)=a+2b, 而BC=OC-OB=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2AB, ·.AB与BC共线，且有公共点B, A,B,C三点共线。 (2)…8ā+k5与a+2b共线， .存在实数，使得8a+kb=2(a+2b),即(8-)ā+(k-2)b=0. 8-k=0 a与不共线，. k-22=0,解得2=±2， .k=21=±4. 16.(15分)已知A(1,1),B(-1,4),C(a,b) (I)若A,B,C三点共线，求a与b满足的关系式： (2)若A,B,C三点共线，AC=2AB,求点C的坐标 【答案】(1)3a+2b-5=0 (2)点C的坐标为(-3,7)或(5，-5) 【分析】(1)由点坐标求出向量的坐标，将三点共线转化为向量共线，由平面向量共线定理 求解即可； (2)由题意可得，AC=2AB或AC=-2AB,分别利用向量相等的坐标表示，求出a,b, 即可得到点C的坐标. 【详解】(1)因为A(1,1),B(-1,4),C(a,b),所以AB=(-2,3),AC=(a-1,b-1), 因为A,B,C三点共线，则AB/AC,所以-2(b-1)=3(a-1),即3a+2b-5=0, 故a与b满足的关系式为3a+2b-5=0: (2)因为A,B,C三点共线，AC2AE，则AC=2AB或AC=-2AB, 当AC=2AB时，有(a-1,b-1)=2(-2,3),解得a=-3,b=7: 当AC=-2AB时，有(a-1,b-1)=(4,-6),解得a=5,b=-5. 所以点C的坐标为(-3,7)或(5，-5). 17.(15分)已知向量=2，=3,3ā-26=6. (1)求向量a,b的夹角0： (2)求(a+2b)(2a-)的值： 【答案】()0= 3 (2)-1 【分析】(1)根据模长公式即可求解a=3,即可根据夹角公式求解， (2)根据数量积的运算律即可求解 【详解】1)3a-2l=6可得3a-2万l=Va-25=5a+462-12a6=6, 故3a-2b=V9x4+4x9-12a.b=6→a.i=3, 故cos(ab)=cos日= a.61 由于0eQ,可，故0-骨 (2)(a+2b)(2a-万)=2a+3a.i-23°=2×4+3x3-2×9=-1 18.(17分)如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足AO=2OD,过点O的直线分 别与射线AB,射线AC交于M,N两点. D (1)若AO=1AB+AC,求，4的值； (2设AM=mAB,N=naC,m>0,>0,求上+是的值： m n 【答案】0-了u 1 (2)3. 【分析】(1)利用向量的线性运算的几何表示，将AO用AB,AC表示，进而即得： (2)由A0=AB+4C,将A0用AM,AN表示，利用M,O,N三点共线即得 【详解】(1)因A0=20D,所以40=24D, 又因D为BC的中点，所以AD=(AB+AC), 所以a0-号而-沥+}C,又0-孤+aC,所以a- 3 (2)AM=mAB,AN=nAC,m>0,n>0, 所以西-品，4c-N,又因40-号a+专4c,所以40-如M+, 3 3m 又因M,O,N三点共线，所以+-1，即1+上=3 33n m n 19.(17分)在锐角△ABC中，记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, √2 bcosA=acosC+ccosA,点O为△ABC的所在平面内一点，且满足 (OA+OB·AB=(OB+OC·BC=0. (1)若a=√2，求AO的值： (2)在(1)条件下，求30A+20B+0C的最小值 (3)若AO=xAB+yAC,求x+y的取值范围. 【答案】（①）1 (2)3-√5 3)(22-E 【分析】(1)根据题意，利用正弦定理化简得到√反c0sA=1,求得A=子，再由向量的线性 运算法则，求得OA=OB-=DC,得到O为△4BC的外心，结合正弦定理，即可求得4C的 长 (2)由(1)求得∠BOC=牙，BC5R=V5且R=1,根据向量的运算法则，化简得到 3OA+20B+OC12=14+65cos2C+),结合三角函数的性质，即可求解： (3)取AB的中点D,连接OD,求得A0AB=AB,A0AC=4AC,由向量数量积 的定义得到Ac心巨C, AB‖AC|,结合题意，得到2x|AB|+√2y|AC=AB和 2 湘教版高中数学必修第二册 第1章：平面向量及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解． 【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误； 对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误； 对于（3），零向量的模为0，不是正数，故（3）错误； 对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误； 故选：A． 2．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以，，，，故ABD错误，C正确.故选：C. 3．如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 .故选：C. 4．已知向量，，若，则（    ）． A．4 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】已知向量，，若，则，解得.故选：B. 5．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算、，再利用向量的夹角公式计算. 【详解】由题意得，，， 所以．故选：D 6．在三角形ABC中，内角所对应的边分别是，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案. 【详解】由余弦定理可知，即， 整理得，解得或（舍去）.故选：D. 7．如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算可得，由数量积的定义可得，，当取最大值时，取得最大值当与同向时，取得最大值为，代入求解即可． 【详解】因为， ， ，所以 即当取最大值时，取得最大值． 当与同向时，取得最大值为， 此时，取得最大值．故选：C． 8．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理计算即可. 【详解】设，则 ， 又因为G是的重心，故， 所以有.故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中错误的有（    ） A．起点相同的单位向量，终点必相同； B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形； C．若，则； D．若，则 【答案】ABC 【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论. 【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误； 四边形ABCD中，，则,但是无法得出，故四边形ABCD不一定为平行四边形，B选项错误； 当时，满足，但不能得到，C选项错误； 由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.故选：ABC 10．如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 11．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．三角形ABC的外接圆的面积是 C．三角形ABC的面积的最大值是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A项，由正弦定理边化角及和角公式求解即可；对于B项，由正弦定理及圆的面积公式求解即可；对于C项，由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解即可；对于D项，由正弦定理边化角可得，求此函数的值域即可. 【详解】对于A项，因为，所以， 所以， 又因为，所以，又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项正确． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得， 则，， 所以 是锐角三角形，，所以， 所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确． 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在三角形ABC中，点为边的中点，若，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】由向量平行四边形运算法则求出即可. 【详解】因为，， 所以，所以，即. 故答案为：2 13．在三角形ABC中，，，则三角形ABC的面积是______. 【答案】14 【分析】先得到，进而由同角三角函数关系得到，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】，， ， 因为，所以， 故三角形ABC的面积为.故答案为：14 14．已知，，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】由投影向量的计算求解即可； 【详解】,, 所以在上的投影向量的坐标为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可； （2）由共线向量定理求出参数即可. 【详解】（1）证明：， 而， 与共线，且有公共点， ，B，C三点共线． （2）与共线， 存在实数，使得，即． 与不共线，，解得， ． 16．（15分）已知． (1)若三点共线，求与满足的关系式； (2)若三点共线，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）由点坐标求出向量的坐标，将三点共线转化为向量共线，由平面向量共线定理求解即可； （2）由题意可得，或，分别利用向量相等的坐标表示，求出a，b，即可得到点C的坐标． 【详解】（1）因为，所以，， 因为三点共线，则，所以，即， 故a与b满足的关系式为； （2）因为三点共线，，则或， 当时，有，解得； 当时，有，解得． 所以点的坐标为或． 17．（15分）已知向量，，. (1)求向量，的夹角； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长公式即可求解，即可根据夹角公式求解， （2）根据数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由可得， 故， 故， 由于，故， （2） 18．（17分）如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. (1)若，求的值； (2)设，，，，求的值； 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得； （2）由，将用表示，利用三点共线即得. 【详解】（1）因，所以， 又因为的中点，所以， 所以，又，所以； （2）因，，，， 所以，，又因，所以， 又因，，三点共线，所以，即. 19．（17分）在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，求得，再由向量的线性运算法则，求得，得到为的外心，结合正弦定理，即可求得的长． （2）由（1）求得，且，根据向量的运算法则，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； （3）取AB的中点D，连接OD，求得，，由向量数量积的定义得到，结合题意，得到和，联立方程组，求得，化简得到，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得, 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以． （2）解：因为，所以，所以，， 所以，外接圆的半径， 其中，且为锐角，故，由，可得， 因为，解得，即 则，则，且， 因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 所以，，所以， 所以． （3）解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则， 所以，同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，②． 联立①②可得，，所以， 又因为， 因为，可得，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第二册 第1章：平面向量及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的个数是（) (1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量： (2)零向量没有方向： (3)向量的模一定是正数： (4)非零向量的单位向量是唯一的. A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，在四边形ABCD中，若AB=DC,则图中相等的向量是() D A.AD与CB B.OB与OD C.A0与OC D.AC与BD 3.如图，在四边形ABCD中，DC=2AB,BE=2EC,设DC=a,DA=b,则DE等于() A.3a+2五 c.3a+26 D. 2+16 62 63 33 4.已知向量a=(1,2),b=(-2,t),若a/1b,则t=(). A.4 B.-4 C.1 D.-1 5.已知向量a,8满足|a=5,|b=6,a.b=-6,则cosa,a+=() A.13 B品 C. D. 19 35 35 35 6.在三角形ABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若a=3,b=√3，B=60°，则c= () A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，4，B是半径为1的圆0上的两点，且∠AOB=亚若C是圆0上的任意一点，则OABC 3 的最大值为() B.} C. D.1 8.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两 点（点N与点c不重合），设M=B,4W=AC,则+的值为() x V M B A.3 B.4 C.5 D.6 二、多项选择题：本题失3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中。有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中错误的有() A.起点相同的单位向量，终点必相同： B.已知向量AB∥CD,则四边形ABCD为平行四边形： C.若ab,b1l,则ale: D.若a=b,b=c,则a=c 10.如图，在四边形ABCD中，AB/1CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点， 且BC=3EC,F为AE的中点，则() B.c-丽+丽 c.丽-君-和 3 D.丽=号丽+兮D 11.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=√3，且(2b-c)c0sA=acosC, 则下列结论正确的是() A4君 B.三角形ABC的外接圆的面积是π C.三角形ABC的面积的最大值是3W5 D.b+c的取值范围是(3,2V5] 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题。每小题5分，共15分 12.在三角形ABC中，点D为边BC的中点，若AB+AC=2AD,则实数1的值为 13.在三角形ABC中，AB=(2,4),BC=(-6,2),则三角形ABC的面积是 14.己知a=(2,3,1),b=(1,-2,-2),则a在b上的投影向量的坐标为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解窖应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)设ā，8是不共线的两个非零向量 (1)若OA=2a-五，OB=3ā+b,OC=a-3b,求证：A,B,C三点共线： (2)若8+b与a+2b共线，求实数k的值. 16.(15分)已知A(1,1),B(-1,4),C(a,b). (1)若A,B,C三点共线，求a与b满足的关系式： (2)若A,B,C三点共线，AC=2AB,求点C的坐标. 17.(15分)己知向量=2,5=3,3ā-26=6. (1)求向量a,的夹角日： (2)求(a+2b)(2a-b)的值： 18.(17分)如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足AO=2OD,过点O的直线分 别与射线AB,射线AC交于M,N两点， M B D (1)若AO=AB+AC,求元，u的值： ②设A应=m4B,W=n4C,m>0,n>0,求+上的值： 19.(17分)在锐角△ABC中，记△ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,c, √2 bcos A=acosC+ccosA,点O为△ABC的所在平面内一点，且满足 (OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0. (I)若a=√2，求AO的值： (2)在(1)条件下，求30A+20B+0C的最小值： (3)若AO=xAB+yAC,求x+y的取值范围.