20.2 勾股定理的逆定理及其应用（思维导图+4知识点+9种题型，讲义）数学新教材人教版八年级下册

第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 知识点一 勾股定理逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较. 即学即练 1．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】A. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，， ∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在四边形中，，若，则的度数为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，三角形内角和性质，等边对等角，先结合，得，，又因为，故，所以，即可计算出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 则 即， ∴， ∴． 故答案为： 8．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 【详解】解：A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． 知识点二 勾股数 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 【补充】一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么ma，mb，mc（m为正整数）也是一组勾股数. 勾股数的特点： 1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（n是正整数）； 2）柏拉图发现的勾股数组：（n＞1，且n是正整数）. 即学即练 1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）下列四组数：①，，1；②5，12，13；③，，；④，，．其中是勾股数的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】本题考查勾股数，明确勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，进行判断即可． 【详解】解：①，不是整数，故不是勾股数； ②∵，，， ∴，故是勾股数； ③，，， ∵，，， ∴， 故不是勾股数； ④，，不是整数，故不是勾股数； 其中是勾股数的组为②，只有1组， 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可． 【详解】解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 知识点三 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 知识点四 直角三角形的性质与判定 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 【答案】A 【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， A、∵ ∴长为的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形； B、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； C、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． D、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山东淄博·月考）在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（　　） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，直角三角形的判定方法是解题的关键． 根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：A、，． 是直角三角形且． 与选项A中是直角三角形且矛盾， 故此选项说法错误，符合题意． B、设，，， 则，解得， ． 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． C、设，，， 则， 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． D、，， ，即， ． 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若的三边满足，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且为直角 B．是直角三角形，且为直角 C．是直角三角形，且直角 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型01 勾股数问题 判断方法：1）确定三个正整数a，b，c； 2）确定最大数c； 3）判断较小两数的平方和是否等于 【易错点】以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但直角三角形的三条边的长度不一定是勾股数，如1，2，不是勾股数. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河南信阳·月考）下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，，其中是勾股数的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，且作为勾股数的三个数必须是正整数，根据定义即可求解． 【详解】解：，符合勾股数的定义； ，不符合勾股数的定义； 、不是正整数，不符合勾股数的定义； ，符合勾股数的定义． 综上，是勾股数的有①④． 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数，解题的关键是明确勾股数是整数．根据勾股数的定义，需满足（其中c为斜边），且均为正整数。题目中给出为勾股数，需分情况讨论a的位置（直角边或斜边）． 【详解】解：分类讨论： ， 是直角边． 若a为直角边，则解得， 勾股数需为整数，故不符合题意，舍去； 若a为斜边，则，解得； 故答案为：A． 2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 【答案】13，84，85 【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数． 观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 设第二个数字为b，则第三个数字为， 由勾股定理，得， 即， 整理得， 解得， 故． 因此第⑥组勾股数为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)120 (2)小安的猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． （1）把n的值代入a、b、c，求出值，根据勾股定理的逆定理得到以的值为三边长的三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式计算； （2）根据勾股数的概念证明． 【详解】（1）解：当时，，，，、 ， ∴， 以的值为三边长的三角形是直角三角形， 以的值为三边长的三角形面积为， 故答案为：120； （2）解：小安的猜想正确， 理由：， ， ， ∵是大于1的整数，所以都是正整数， 当n取大于1的整数时，为勾股数， 小安的猜想正确． 题型02 已知三边判定能否构成直角三角形 已知三条线段判断能否构成直角三角形的方法：只需验证较短的两条线段长的平方和是否等于最长线段长的平方，若相等，则此三条线段能构成直角三角形；否则，不能构成直角三角形，不必一一验证. 典｜例｜精｜析 1．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形三边关系和勾股定理逆定理，通过验证三条线段是否满足三角形不等式，并利用勾股定理逆定理判断三角形类型即可． 【详解】解：∵，，， ∴三条线段能围成三角形； ∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，作轴，轴，根据题意证得，再根据全等三角形的性质可得，，又已知点的坐标，即可得点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 2．（24-25八年级下·广东清远·月考）在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则______是直角． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 【详解】解：在中，，，的对边分别是，，，三边关系为， 是直角． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理是解决问题的关键．由三边长度利用勾股定理的逆定理可判定此三角形为直角三角形，则最大角可求． 【详解】解：， ∴此三角形为直角三角形， 则三角形最大内角度数为． 故答案为： ． 题型03 利用已知条件判断三角形形状 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长， 故选C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【详解】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）对于，下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类，涉及的知识点是 “三角形内角和为 ”“锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义”．解题方法是利用内角和定理，结合各选项的角度关系列方程，求出最大角的度数，进而判断三角形类型；解题关键是通过设未知数将角度关系转化为方程，准确计算最大角的度数．易错点是角度比例或倍数关系转化时设未知数错误，导致计算出的角度不符合三角形分类．解题思路为：对每个选项，根据角度关系设未知数，结合内角和为 列方程，求出各角的度数，判断最大角的类型，进而确定三角形类型． 【详解】选项A：，且 ，∴ ，，故是直角三角形，A错误． 选项B：设 ， ，则 ，，，故是直角三角形，B错误． 选项C：设 ，， （由 和 得），则 ，，，故是钝角三角形，C错误． 选项D：设 ，，；，．则 ，，，故是直角三角形，D正确． 故选D． 3．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理判断即可． ①根据三角形内角和定理可解得；②根据三角形内角和定理可解得，，，即可判断；③把右边括号乘开，根据勾股定理逆定理判断即可；④直根据勾股定理逆定理即可判断． 【详解】解：①∵，， 则 解得，所以是直角三角形； ②，， 设，，， 则， 解得：， 则，，，故不是直角三角形； ③∵，∴，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形； ④∵，∴设，，， ∵∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形． ∴其中能判断是直角三角形的个数有3个， 故答案为①③④ 题型04 网格中判断直角三角形 根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，化简二次根式，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理二次根式的化简及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为h ∴， ∴ ∴ ∴点A到的距离为2，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·北京·期末）如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于________． 【答案】 【分析】本题以网格背景考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，即得点B到的距离为边． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴点B到的距离为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）作一个两直角边的长分别为3和4的直角三角形即可； （2）作一个三边长分别为，和的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 题型05 利用勾股定理逆定理求线段长 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，进而根据等面积法求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴是边上的高， ∵ ∴， 在中， 故选：A． 2．（2025七年级上·山东·专题练习）如图，中，，为的角平分线，则___________． 【答案】4.5 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点D作，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据角平分线的性质可得，最后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为E， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型06 利用勾股定理逆定理求角度 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 先根据等腰直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，最后结合分两种情况求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴如图①：； 如图②：． 故或． 故答案为°或． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，连接，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，则有，得是等腰直角三角形，可得，然后证明，则有，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ， 由网格可知，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∵，， ∴， 故答案为：． 题型07 利用勾股定理逆定理求面积 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知三角形的各边长分别为，，，则以各边中点为顶点的三角形的面积是（    ）． A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形的面积，勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理分别求出、、，根据勾股定理的逆定理得到以各边中点为顶点的三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：已知三角形的各边长分别为，，， 设此三角形为，，，，D、E、F分别为、、的中点，如图， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴以各边中点为顶点的三角形是直角三角形， ∴以各边中点为顶点的三角形面积为：， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东东莞·月考）若三角形的三边长a，b，c满足，则这个三角形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，算术平方根的非负性质，根据绝对值非负性，算术平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出这个三角形是直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积是． 故选：B． 3．（2025八年级下·广西·专题练习）四边形中，，，则四边形的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是______． 【答案】36 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出，是解题关键．利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设， ∵翻折， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴阴影部分面积为． 故答案为：36． 题型08 利用利用勾股定理逆定理解决实际问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行． 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 【答案】 160 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为；； （2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即直线上被摄像头监控到的公路长度为， 故答案为：160． 4．（25-26八年级上·河北保定·期末）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长． (1)请你帮忙计算出的长度； (2)判断的度数并说明理由； (3)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是： （1）根据勾股定理构建关于的方程求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形即可 （3）根据分割法求出绿地的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又，比长， ∴， 解得， 即的长度为； （2）解：由（1）知， 又，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且； （3）解： ， 即这片绿地（即四边形）的面积是． 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处． (1)求证：； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)路线更长 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判定即可； （2）根据勾股定理可求的长度，比较和即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， ， ； （2）解：在中，，， 由勾股定理，得， ， ． ， 路线更长． 题型09 求图形上与已知两点构成直角三角形的点的个数 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·四川眉山·期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答． 以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个． 【详解】解：如图所示： 其中，，AB=2， ∵， ∴为直角三角形， 同理：为直角三角形， 网格中其他点C如图所示， 所以格点C的个数是8， 故选：D． 2．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键． 证明直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ， ∴直角三角形， ∴点符合题意， 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东汕头·月考）已知图是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段．请写出使得为直角三角形的格点有______个． 【答案】6 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形．本题根据直角三角形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图： 观察图可知，满足条件的格点有个． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 知识点一 勾股定理逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较. 即学即练 1．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在四边形中，，若，则的度数为_________ ． 8．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 勾股数 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 【补充】一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么ma，mb，mc（m为正整数）也是一组勾股数. 勾股数的特点： 1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（n是正整数）； 2）柏拉图发现的勾股数组：（n＞1，且n是正整数）. 即学即练 1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）下列四组数：①，，1；②5，12，13；③，，；④，，．其中是勾股数的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 知识点三 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 知识点四 直角三角形的性质与判定 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 2．（25-26七年级上·山东淄博·月考）在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（　　） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若的三边满足，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且为直角 B．是直角三角形，且为直角 C．是直角三角形，且直角 D．不是直角三角形 题型01 勾股数问题 判断方法：1）确定三个正整数a，b，c； 2）确定最大数c； 3）判断较小两数的平方和是否等于 【易错点】以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但直角三角形的三条边的长度不一定是勾股数，如1，2，不是勾股数. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河南信阳·月考）下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，，其中是勾股数的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 题型02 已知三边判定能否构成直角三角形 已知三条线段判断能否构成直角三角形的方法：只需验证较短的两条线段长的平方和是否等于最长线段长的平方，若相等，则此三条线段能构成直角三角形；否则，不能构成直角三角形，不必一一验证. 典｜例｜精｜析 1．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东清远·月考）在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则______是直角． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为_________． 题型03 利用已知条件判断三角形形状 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）对于，下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 3．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 题型04 网格中判断直角三角形 根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 2．（24-25八年级上·北京·期末）如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于________． 3．（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 题型05 利用勾股定理逆定理求线段长 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2025七年级上·山东·专题练习）如图，中，，为的角平分线，则___________． 题型06 利用勾股定理逆定理求角度 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，连接，则______度． 题型07 利用勾股定理逆定理求面积 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知三角形的各边长分别为，，，则以各边中点为顶点的三角形的面积是（    ）． A．6 B．8 C．12 D．24 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 2．（24-25八年级下·广东东莞·月考）若三角形的三边长a，b，c满足，则这个三角形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．10 3．（2025八年级下·广西·专题练习）四边形中，，，则四边形的面积是_______． 4．（23-24八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是______． 题型08 利用利用勾股定理逆定理解决实际问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______． 2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 4．（25-26八年级上·河北保定·期末）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长． (1)请你帮忙计算出的长度； (2)判断的度数并说明理由； (3)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处． (1)求证：； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：） 题型09 求图形上与已知两点构成直角三角形的点的个数 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·四川眉山·期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（24-25八年级下·广东汕头·月考）已知图是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段．请写出使得为直角三角形的格点有______个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $