专题02 勾股定理（期末4大知识点汇编）复习讲义2025--2026学年人教版八年级数学下册

八年级下册数学期末总复习讲义 第2课 勾股定理 知识点梳理 考点01勾股定理的理解 考点02勾股定理的应用 考点03勾股定理逆定理的理解 考点04勾股定理逆定理的应用 知识点01 勾股定理及其应用 1、 勾股定理的理解 1. 勾股定理的认识 勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 2. 勾股数的感知 3. 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有500多种，主要思路以通过拼图转换用面积法证明为主，最典型的就是“赵爽弦图”. 设朱实（直角三角形）的面积为， 黄实（小正方形）面积为 得到： 4+= 所以有： 4×ab+ 化简整理得： 二、勾股定理的应用 1. 找直角三角形 已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用. 2. 想直角三角形 在非直角三角形里计算求解时通常通过作垂线（高）构造直角三角形，在利用勾股定理进行计算、推理、证明. 3. 建直角三角形 勾股定理在建筑、航海等绘图、测绘等领域应用广泛，应用的本质就是建模思想——把实际问题转换为数学问题——构建直角三角形加以计算求解. 4. 已知三角形的三边长求三角形的面积 ①若三角形为直角三角形：利用面积法—— ②若三角形为一般三角形：利用双勾股—— 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 【答案】D 【分析】本题可将竹子折断的部分与地面构成直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分离地面的高度，从而得到竹子折断前的高度．本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）是解题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺的部分为直角边，顶端落地点离竹子底端尺为另一直角边，折断部分为斜边． 根据勾股定理 则竹子折断之前的高度为（尺） 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及无理数的估算，实数与数轴，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度确定圆的半径，再结合点的坐标求出点C的横坐标并进行估算． 构造直角三角形，利用勾股定理计算 的长度，得到圆的半径；根据点A的坐标和半径，确定点C的横坐标表达式；估算无理数的大小，判断横坐标所在的范围． 【详解】∵是直角三角形， ∴， ∴，即． ∴， 因点C在x轴的负半轴上，则点C的横坐标为， ∵，即， ∴， ∴，即， 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，网格中单位长度为1，再根据勾股定理即可求出每个线段的长度． 【详解】解：根据网格可知，， ， ， ， ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，地面上，在同一水平面上，，当无人机从封处竖直上升时，无人机到处的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意得，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，米，， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯足将滑1米， 故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形角的性质以及勾股定理，熟知直角三角形所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，，， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：A． 7．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）在直角三角形中，如果有一个角是，这个直角三角形的三边之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质，根据等腰直角三角形的性质求出另一条直角边，根据勾股定理求出斜边长，计算即可． 【详解】解：设这个直角三角形的一条直角边为x， ∵有一个内角为， ∴另一个内角为， ∴另一条直角边为x， 由勾股定理得：斜边长为：， ∴这个三角形的三边长的比为：， 故选：B． 8．（24-25八年级下·广西防城港·期中）《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理可得：． 故选：C． 9．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，，， ∴． 故选：C． 10．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 11．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15.5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式在几何图形中得到应用，熟练掌握勾股定理和完全平方公式是解题关键．设直角三角形的两条直角边长分别为m，，则大正方形的面积为，由小正方形的面积可得，再结合，利用完全平方公式的结构特征求出的值，即可得解． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为m，． 大正方形的边长直角三角形的斜边长， 大正方形的面积为， 小正方形面积为5， ， ， ， ， ， 即大正方形面积为， 故选：B． 12．（24-25八年级下·广东韶关·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（　　）　    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：，且， ， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 13．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图所示，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，可知长为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，基本作图—作线段的垂直平分线，根据勾股定理得，根据尺规作图的痕迹知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的定义即可得出答案．解题的关键是掌握基本作图． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴点是的中点， ∴， 即长为． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为______． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形较短的直角边，斜边， ∴另一条直角边为， ∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为7， 故答案为：7． 15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为__________； ②当是直角三角形时，的长为__________． 【答案】 6或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）先求出，，根据勾股定理求出结论； （2）根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）在直角三角形中，，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴点E在上，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 16．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，点P，Q分别是边上的动点，沿所在的直线折叠，使得点C的对应点始终落在线段上，若为直角三角形，则的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形折叠．熟练掌握等腰直角三角形性质，折叠性质，勾股定理，是解题的关键． 求出，当时，得， 设，则， 由，得，解得；当时，，得，得，得C、P、三点共线，得点与点A重合，得． 【详解】解：∵在中，， ∴， 当时，， ∴, 设， 则， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、P、三点共线， ∴， ∴点与点A重合， ∴点Q是的中点， ∴． 故的长为或． 17．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，算术平方根，由题意可知：，，代入计算正方形的面积，然后利用算术平方根即可求解，熟练勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：，， ∵正方形、、的面积依次为，，， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）已知中，，点、分别是、边上的一点，满足，，若、分别是、的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，中点坐标，两点间的距离公式，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，，又、分别是、的中点，故有，，然后用两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， ∵，， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 20．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，是高．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理解三角形；先证明是等腰直角三角形，求出，再在中利用勾股定理即可求出. 【详解】解：， ． 是的高， ， ． 在中，． ． ． ． 在中，． ． 21．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）杭瑞高速阳新段修建过程中需要经过一座小山，如图，施工方计划沿方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工，测得，．求的长； 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，将已知角度和线段长度转化到直角三角形中，利用特殊角度（）的性质求解线段长度． 过点B作于E，构造两个直角三角形和；在中，利用角所对直角边是斜边一半，得，再用勾股定理求；由角度关系得，判定为等腰直角三角形，故；计算，得的长． 【详解】解：过作于，如图所示： 则， ， ， ∵， ，， ， 是等腰直角三角形， ∴． 22．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作： （1）测得的长度为15米；（注：） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； （3）牵线放风筝的小明身高米．求风筝的高度．（结果保留一位小数） 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：由题意可知，在中，米，米， 由勾股定理得，米， 由题意可知米， 米， 答：风筝的高度为米． 23．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．    (1)如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． (2)如图2，若，点F是的中点，求的长． 【答案】(1)①，，理由见解析②证明见解析 (2) 【分析】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）先得到，再证明即可得出，，因为是等腰直角三角形，所以，则，则可证； 由可得，在等腰直角三角形中，由勾股定理可得，又因为，代入即可得证； （2）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：①，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； ②∵， ， ∵， ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ； （2）解：过点作于，如图：    由②得，，， ∴ ， ， ∵点是的中点， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 24．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)没有超速，见解析 【分析】（1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 25．（25-26八年级上·河南郑州·期末）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少1米 (3)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． （2）解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． （3）解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 26．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，当在直线的同侧时，证明：． (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． (3)如图3，当直线与斜边相交时，作平分线与边交于点，与射线交于点，作射线与直线交于点． ①求证：； ②如图4，连接，若，直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握一线三垂直模型是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）利用证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）①根据证明，根据全等三角形的性质证明即可； ②解法1根据证明，根据三线合一证，在中，利用勾股定理求解即可；解法2：设，，利用即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， ∴； （2）． 由（1）证 ， ∴，， ∴； （3）①证明： ∵平分， ∴． 又∵，公共， ∴． ∴． 又， ∴，   ∴， ②解： 解法1证明如下   ∵，，， 又∵，， ． ∴． ∵，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴，   又∵，，     ∴ 设，，则，，． 在中，，， 化简得，∵， ∴．    ∴，，    ∴； 解法2：设，，   ∴，    ∴ ， ∴ ， ∵，    ∴    ∴ ∴    ∴ ∴ 知识点02 勾股定理逆定理及其应用 一、勾股定理逆定理的理解 1. 勾股定理逆定理的认识 如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是直角三角形. 易错点：不可以表述为“如果三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形”. 2. 勾股数的概念 我们已经知道，3²+4²=5²,8²+15²=17²,如果正整数a、b、c满足²+b²=c²,那么a、b、c称为一组勾股数. 易错点：不可以忽略条件“正整数”，譬如：虽然有0.3²+0.4²=0.5²但0.3,0.4,0.5不是整数所以不能称它们为勾股数. 二、勾股定理逆定理的应用 3. 判定一个三角形为直角三角形的思路 ①证明有一个角为直角 ②证明三边满足两边的平方和等于第三边的平方 4. 直角坐标系中（网格中）直角三角形的存在性的判定 首先计算出三边的长度，再检验三边的平方和是否满足勾股定理的逆定理. 5. 动点问题中判断直角三角形的存在性问题 一定要注意对“谁是直角”进行分类讨论 6. 勾股定理的逆定理在实际问题中的应用 勾股定理的逆定理可以用来检测一个零件或产品中的角是否为直角. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查构成直角三角形的条件．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，同时需验证三边能否构成三角形． 【详解】解：A．∵ ，∴不能构成三角形，不合题意； B．∵ ，∴不能构成直角三角形，不合题意； C．∵ ，∴能构成直角三角形，符合题意； D．∵，∴不能构成直角三角形，不合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列各组数能构成直角三角形三边长的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、17 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（为最长边），则为直角三角形。需逐一验证各选项是否满足该条件，同时检查是否能构成三角形． 【详解】选项A：最长边为5，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 选项B：最长边为2，验证，与不相等，不满足勾股定理。虽然三边满足三角形存在条件（如），但无法构成直角三角形； 选项C：最长边为，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 选项D：最长边为17，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 综上，选项B的三边不能组成直角三角形． 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）的三边分别为，，，下列条件：①；②；③．其中能判断是直角三角形的条件有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理以及三角形三边的关系等知识，根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理以及三角形三边的关系，逐一分析三个条件是否成立即可. 【详解】①∵，且， 代入得：，即， ∴，故为直角三角形，条件①成立； ②∵， 整理得：， 由勾股定理逆定理，是以为直角的直角三角形，条件②成立； ③设，，， 则：，不满足三角形三边不等式（两边之和需严格大于第三边）， 故无法构成三角形，条件③不成立， 综上，满足条件的个数为2个， 故选：C. 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用等逐项判段即可． 【详解】解∶A．由，，，得，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形，故排除； B．由展开得，即．根据勾股定理逆定理，若两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形，且为斜边，对应，符合条件． C．说明为等腰三角形，但无法确定是否存在直角，不一定是直角三角形，故排除． D．，总份数为，各角分别为，，，均为锐角，无直角，故排除． 故选∶B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 ___ 【答案】/度 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理，若一个三角形的三条边长分别为，且满足(其 中为最长边)，则这个三角形是直角三角 形，得出三角形的形状进而得出答案． 【详解】解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，， ∵， 又∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形中最大角的度数是． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在中，，，，则的面积为 _______________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断的形状，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：由题意得 ，，， 可得 ， 根据勾股定理逆定理可知 是直角三角形，， 由三角形面积公式得 ． 8．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为，，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式，由三边长度，利用勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，，， ，， ， 所以是直角三角形，且为直角边，为斜边， 故， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·北京·期末）如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于________． 【答案】 【分析】本题以网格背景考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，即得点B到的距离为边． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴点B到的距离为． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 即阴影部分的面积为24， 故答案为：24． 三、解答题 11．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，在中，，，边上的中线，求的长．   【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得，由垂直平分线定义得垂直平分，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ． 12．（25-26八年级下·福建福州·期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理可得长为3、宽为1的长方形的对角线长为，长为2、宽为2的正方形的对角线长为，选择合适的矩形和正方形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可得到该三角形，观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可判断这个三角形形状． 【详解】（1）解：所作线段和如图所示（图不唯一）： （2）解：所作三角形如图所示（图不唯一）： ， 该三角形为直角三角形． 13．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在和中，，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】要证明，只需证明为直角三角形且．我们通过在上截取，构造全等三角形，将转化为，再在中用勾股定理逆定理判定直角，求出的长度，最后回到验证勾股定理逆定理即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过构造全等三角形实现线段与角的转化，再结合勾股定理逆定理判定直角是解题的关键． 14．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 【答案】(1)是直角三角形，见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由勾股定理求出，得出，从而求解； （）由，即，所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由： ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵是直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·山西晋中·期末）某社区计划在健身活动区安装照明设施．社区内有两个健身活动区A和B，它们之间的距离为250米．社区小路紧邻活动区，计划在小路上选一点E安装总电箱，并由此分别铺设地下电缆到A和B，勘测人员测得点E到直线的垂线段的长度为120米，且线段的长度为150米．规划示意图如下． (1)请计算从电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆的长度． (2)判断线段的长度是否是健身区B到小路的最短距离？并说明你的理由． 【答案】(1) (2)的长度是健身区B到小路的最短距离，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）根据勾股定理求出，得到，进而根据勾股定理即可求出电缆的长度； （2）根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，得到，根据垂线段最短作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， 答：电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆的长度； （2）解：的长度是健身区B到小路的最短距离，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的长度是健身区B到小路的最短距离． 16．（25-26八年级下·广东佛山·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 在中，，，， ∴， ∴． ∴是直角三角形． （2）∵是直角三角形，在同一直线上， ∴， ∴． 即池塘两端，之间的距离为． 17．（25-26八年级下·吉林长春·期末）阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状： ①若，则该三角形是直角三角形； ②若，则该三角形是钝角三角形； ③若，则该三角形是锐角三角形． 例如：一个三角形的三边长分别是4，5，6，最长边是6，由于，故由③可知，该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： (1)若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是 三角形； (2)若一个三角形的三条边长分别是7，24，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为 ； (3)若一个三角形的三条边长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 【答案】(1)钝角 (2)或 (3)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证是解决问题的关键． （1）根据题意，由，即可得出结论； （2）由勾股定理可得或，求解即可； （3）先得到为最长边，求出，即可做答． 【详解】（1）解：∵， ∴该三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角； （2）解：∵这个三角形的三条边的长分别是7，24，x，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或（负值均舍去）， ∴x的值为或； 故答案为：或； （3）解：这个三角形是直角三角形．过程如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴取为最长边， ∵ ， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 18．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． (1)_______．（用含t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）根据题意列代数式即可解答； （2）当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 故答案为：； （2）解：，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （3）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册数学期末总复习讲义 第2课 勾股定理 知识点梳理 考点01勾股定理的理解 考点02勾股定理的应用 考点03勾股定理逆定理的理解 考点04勾股定理逆定理的应用 知识点01 勾股定理及其应用 1、 勾股定理的理解 1. 勾股定理的认识 勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 2. 勾股数的感知 3. 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有500多种，主要思路以通过拼图转换用面积法证明为主，最典型的就是“赵爽弦图”. 设朱实（直角三角形）的面积为， 黄实（小正方形）面积为 得到： 4+= 所以有： 4×ab+ 化简整理得： 二、勾股定理的应用 1. 找直角三角形 已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用. 2. 想直角三角形 在非直角三角形里计算求解时通常通过作垂线（高）构造直角三角形，在利用勾股定理进行计算、推理、证明. 3. 建直角三角形 勾股定理在建筑、航海等绘图、测绘等领域应用广泛，应用的本质就是建模思想——把实际问题转换为数学问题——构建直角三角形加以计算求解. 4. 已知三角形的三边长求三角形的面积 ①若三角形为直角三角形：利用面积法—— ②若三角形为一般三角形：利用双勾股—— 真题汇编 勾股定理及其应用 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 2．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，地面上，在同一水平面上，，当无人机从封处竖直上升时，无人机到处的距离为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）在直角三角形中，如果有一个角是，这个直角三角形的三边之比是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广西防城港·期中）《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 11．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15.5 12．（24-25八年级下·广东韶关·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（　　）　    A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 13．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图所示，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，可知长为______． 14．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为______． 15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为__________； ②当是直角三角形时，的长为__________． 16．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，点P，Q分别是边上的动点，沿所在的直线折叠，使得点C的对应点始终落在线段上，若为直角三角形，则的长为______． 17．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为______． 18．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）已知中，，点、分别是、边上的一点，满足，，若、分别是、的中点，则的长为______． 三、解答题 19．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 20．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，是高．若，，求的长． 21．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）杭瑞高速阳新段修建过程中需要经过一座小山，如图，施工方计划沿方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工，测得，．求的长； 22．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作： （1）测得的长度为15米；（注：） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； （3）牵线放风筝的小明身高米．求风筝的高度．（结果保留一位小数） 23．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．    (1)如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． (2)如图2，若，点F是的中点，求的长． 24．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 25．（24-25八年级上·河南郑州·期末）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 26．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，当在直线的同侧时，证明：． (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． (3)如图3，当直线与斜边相交时，作平分线与边交于点，与射线交于点，作射线与直线交于点． ①求证：； ②如图4，连接，若，直接写出线段与的数量关系． 知识点02 勾股定理逆定理及其应用 一、勾股定理逆定理的理解 1. 勾股定理逆定理的认识 如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是直角三角形. 易错点：不可以表述为“如果三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形”. 2. 勾股数的概念 我们已经知道，3²+4²=5²,8²+15²=17²,如果正整数a、b、c满足²+b²=c²,那么a、b、c称为一组勾股数. 易错点：不可以忽略条件“正整数”，譬如：虽然有0.3²+0.4²=0.5²但0.3,0.4,0.5不是整数所以不能称它们为勾股数. 二、勾股定理逆定理的应用 3. 判定一个三角形为直角三角形的思路 ①证明有一个角为直角 ②证明三边满足两边的平方和等于第三边的平方 4. 直角坐标系中（网格中）直角三角形的存在性的判定 首先计算出三边的长度，再检验三边的平方和是否满足勾股定理的逆定理. 5. 动点问题中判断直角三角形的存在性问题 一定要注意对“谁是直角”进行分类讨论 6. 勾股定理的逆定理在实际问题中的应用 勾股定理的逆定理可以用来检测一个零件或产品中的角是否为直角. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列各组数能构成直角三角形三边长的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．5，12，13 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、17 4．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）的三边分别为，，，下列条件：①；②；③．其中能判断是直角三角形的条件有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 ___ 7．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在中，，，，则的面积为 _______________． 8．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为，，，则的面积为_______． 9．（24-25八年级下·北京·期末）如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于________． 10．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为__________． 三、解答题 11．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，在中，，，边上的中线，求的长．   12．（24-25八年级下·福建福州·期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 13．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在和中，，，，，．求证：． 14．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 15．（24-25八年级下·山西晋中·期末）某社区计划在健身活动区安装照明设施．社区内有两个健身活动区A和B，它们之间的距离为250米．社区小路紧邻活动区，计划在小路上选一点E安装总电箱，并由此分别铺设地下电缆到A和B，勘测人员测得点E到直线的垂线段的长度为120米，且线段的长度为150米．规划示意图如下． (1)请计算从电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆的长度． (2)判断线段的长度是否是健身区B到小路的最短距离？并说明你的理由． 16．（24-25八年级下·广东佛山·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 17．（24-25八年级下·吉林长春·期末）阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状： ①若，则该三角形是直角三角形； ②若，则该三角形是钝角三角形； ③若，则该三角形是锐角三角形． 例如：一个三角形的三边长分别是4，5，6，最长边是6，由于，故由③可知，该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： (1)若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是 三角形； (2)若一个三角形的三条边长分别是7，24，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为 ； (3)若一个三角形的三条边长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 18．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． (1)_______．（用含t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $