第4章因式分解单元测试卷 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

第4章因式分解单元测试卷 一.单选题(每题4分.共计40分) 1．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的判定，需依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，来逐一判断选项． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个最简整式乘积的形式， ∴A选项，是整式的乘法运算，从乘积形式化为多项式，不属于因式分解； B选项，右边的不是整式，不符合因式分解的定义； C选项，右边不是乘积形式，不属于因式分解； D选项，将多项式化为了，即整式的乘积形式，属于因式分解； 故选：D． 2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 3．将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则进行判断即可． 【详解】解：A、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； B、根据添括号的法则可知，，故本选项正确，符合题意； C、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； D、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可． 【详解】解：；； 故甲、乙的结果都正确． 故选A． 5．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 6．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意． 故选：D． 7．下列多项式是完全平方式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，解题关键是掌握完全平方式并能运用求解． 根据完全平方式，对5个式子逐一分析，再作判断． 【详解】解：，是完全平方式，故①符合； ，因为首项，末项，而中间项应为，不等于题目中的，不是完全平方式，故②不符合； ，是完全平方式，故③符合； 不是完全平方式，故④不符合； ，是完全平方式，故⑤符合， 其中①、③、⑤是完全平方式的共有3个， 故选：C． 8．对因式分解，嘉嘉的解答为：；琪琪的解答为：，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的结果对 B．只有琪琪的结果对 C．两人的结果都对 D．两人的结果都不对 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的正确步骤，需先提取公因式，再利用平方差公式分解，同时要保证因式分解结果与原式等价且分解彻底． 【详解】解：∵原式为 ∴先提取公因式4，得 又∵符合平方差公式（其中，） ∴ ∴最终因式分解结果为，即嘉嘉的结果正确 ∵琪琪的结果展开后为，与原式不相等 ∴琪琪的结果错误， ∴只有嘉嘉的结果对． 故选：A． 9．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答． 【详解】a2-6ab+5b2 =a2-6ab+9b2-4b2 =(a-3b)2-(2b)2 =(a-3b+2b)(a-3b-2b) =(a-b)(a-5b)； 故选：D． 【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 10．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 二.填空题(每题3分.共计18分) 11．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 12．如果，那么括号内的整式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将右边因式分解后判断即可． 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 故答案为：． 13．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据长方形的周长和面积公式，得出和的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 【详解】解：长方形的周长为，面积为， ，即，． 则． 故答案为：． 14．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用已知条件求出和的值，代入原式计算即可． 【详解】解：由，，得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．若，则代数式的值为________． 【答案】0 【分析】此题考查的是因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式因式分解是解决此题的关键． 将因式分解变形为，然后代入求值即可． 【详解】解： ∵， 将代入，得 原式 故答案为：0． 16．若x、y满足的，则m的最小值______． 【答案】66 【分析】依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键． 【详解】解：由题意得， ，， 的最小值为66； 故答案为：66． 三.解答题(每题6分.共计42分) 17．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )． 【答案】 【分析】本题考查了添括号． （1）（2）（3）添括号时，括号前面为加号，则括号内各项不变号，括号前面是减号，则括号内各项均变为原来的相反数，据此即可依次作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 18．下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) 不正确，因为结果不是乘积的形式 (2) 正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 【详解】（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 19．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 20．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用提公因式进行因式分解，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可； （2）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 21．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了分解因式，选择合适的方法进行因式分解是解题的关键． （1）综合提公因式以及公式法分解因式即可． （2）公式法分解因式． （3）综合提公因式以及公式法分解因式即可． （4）综合提公因式以及公式法分解因式即可． （5）利用平方差公式分解因式即可． （6）综合提公因式以及公式法分解因式即可． （7）综合提公因式以及公式法分解因式即可． （8）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 22．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 23．已知多项式，，，为任意实数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由． (2)化简：． 【答案】(1)不可能为负数，见解析 (2) 【分析】本题考查了平方差公式的应用和非负数的性质，掌握用平方差公式简化多项式运算，结合完全平方的非负性判断代数式的正负是解题的关键． （1）代入的表达式，用平方差公式展开，化简后得到完全平方加正数的形式，利用非负数的性质判断值的正负 （2）利用平方差公式分解，再代入的表达式计算合并． 【详解】（1）解：不可能为负数．理由如下： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴的值不可能为负数． （2）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章因式分解单元测试卷 一.单选题(每题4分.共计40分) 1．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 5．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 6．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 7．下列多项式是完全平方式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．对因式分解，嘉嘉的解答为：；琪琪的解答为：，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的结果对 B．只有琪琪的结果对 C．两人的结果都对 D．两人的结果都不对 9．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 10．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 二.填空题(每题3分.共计18分) 11．分解因式：______． 12．如果，那么括号内的整式是_____． 13．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 14．已知，，则______． 15．若，则代数式的值为________． 16．若x、y满足的，则m的最小值______． 三.解答题(每题6分.共计42分) 17．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )． 18．下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 19．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．用简便方法计算： (1)； (2)． 21．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 22．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 23．已知多项式，，，为任意实数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由． (2)化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $