第4章 因式分解 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 专题特训七因式分解的方 类型一因式分解的常规方法 (一)提取公因式法 1.下列各式中，运用提取公因式法分解因式正 确的是 () A.12abc-9a2b2=3abc (4-3ab) B.3x2y-3xy=3y(x2-x) C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c) D.x2y+5xy-y=y(x2+5x) 2.分解因式：(1)a(2a+1)-4a-2= (2)10a(x-y)2+5a.x(y-x)= (二)公式法 3.用公式法分解因式：①x2十xy+y2=(x十 y)2;②-x2+2xy-y2=-(x-y)2;③x2+ 6xy-9y2=(x-3y);④-x2+1 (号+x)号-x人其中，正确的有 （) A.1个B.2个C.3个D.4个 4.分解因式： (1)(x+3)2-16. (2)4(x+y)2-20(x+y)+25. (三)先提再套法 5.下列因式分解中，正确的是 A.a'b-9ab2=a(a+3b)(a-3b) B.2a2-4b2=2(a+2b)(a-2b) C.a-2ab+ab2=a(a-b)2 D.a2b2-4a2b+4a2=a2(b-2)2 90 拍照批改 法、技巧及应用 “答案与解析”见P34 6.分解因式： (1)(2024·宁波海曙期末)m2(n一3)+ 4(3-n). (2)-16a.xy-8a.x2-8ay2. (四)先套再提法 7.分解因式： (1)(x+y十z)2-(x-y+之)2. (2)(a+2b)2+6(a+2b)(a-2b)+9(a 2b)2. (五)多次运用公式法 8.分解因式： (1)-16+x4y4. 答案讲解 (2)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81. (3)(a+b)4-2(a+b)2+1. 类型二因式分解的技巧 (一)先展开再分解法 9.分解因式： (1)a2-5(2a-5). (2)8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy. (二)先局部再整体法 10.分解因式：(x十3)(x+4)+(x2-9) (三)分组分解法 11.(2025·杭州钱塘期末)【基础巩 固】从课本中我们学习了因式分解 的常见方法：提取公因式法和公答案讲解 式法 (1)因式分解：3x2-6x+3= 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在 某些多项式既没有公因式，也不能直接运用 公式法分解因式，但是某些项通过适当的调 整能构成可分解的一组，用分组来分解一个 多项式的因式，这种方法叫分组分解法.例 如：“x2-y2+3x十3y”,细心观察这个式子 就会发现，前两项可以因式分解，后两项也 可以因式分解，前后两部分分别分解因式后 第4章因式分解 产生了新的公因式，然后即可提取公因式， 具体过程为x2一y2十3x十3y=(x2 y2)+(3x+3y)=(x+y)(x-y)+3(x+ y)=(x+y)·(x-y+3). (2)请在上述方法的启发下，分解下列 因式： ①x2-xy+6x-6y. ②m2-n2+6m+9. 【应用尝试】 (3)已知实数a,b满足2a2-4a十4+2ab+ b=0,求a一b的值 类型三因式分解的应用 (一)判断整除性 12.已知k为正整数，试判断(2k+1)2一1能否 被8整除，并说明理由. (二)化简求值 13(1)已知6-a=-3b=-2.求克0b+ a2b2- 2ab3的值. (2)已知4m十n=40,2m一3m=5,求(m+ 2m)2-（3m一n)2的值. 91所以a-b=2-(-2)=2+2=4. 12.(2k十1)2-1能被8整除. 理由：(2k+1)2-1=(2k+1+1)· (2k+1-1)=(2k+2)·2k=4k(k+1). 因为k为正整数， 所以k,k十1为两个相邻的正整数. 所以其中必有一个数为偶数，即2的 倍数. 所以4k(k+1)为8的倍数，即(2k+ 1)2一1能被8整除。 1B.1)原式=-2ab(a2-2a6+ 62)=-1 ab(a-b)2. 当b一a=一3，ab=一2时，原式= 2×(-2)X32=9. (2)原式=(m+2n+3m-n)(m+ 2-3m+n）=(4m+n)(3n- 2m)=(4m+n)(2m-3). 当4m+n=40,2m-31=5时，原 式=-40×5=-200. 第4章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D [变式]A 典例2(1)原式=-7x2[2x(x十 5)-y]=-7x2(2.x2+10x-y. (2)原式=1062(a-2)-5b(a 2)2=5b(a-2)[2b-(a-2)]= 5b(a-2)(2b-a+2). (3)原式=(m-n)-n(m-n)3十 m(m-n)3=(m-n)3 (m-n-n+ m)=(m-n)3(2m-21)=2(m-n). 易错警示 运用提公因式法分解因式的 几个常见注意点 运用提公因式法分解因式时， 需注意以下几点：1.必须将多项式 中每一项都含有的公因式全部提 出；2.当一个多项式的首项的系数 为负数时，一般要将“一”提出，使 括号内首项的系数为正数：3.当幂 的底数互为相反数时，要转化成同 底数幂：4.结果中若出现相同的因 式，则要写成幂的形式 [变式](1)原式=y(2a-b)- x(2a-b)=(2a-b)(y-x. (2)原式=-a”(3a2-a+1). (3)原式=(2x+3)2-(2x+3)= (2x+3)(2.x+3-1)=2(2x+3)· (x+1). 典例3(1)原式=(a十b)2+2× 合a+o+(份)》-(a+6+2）月 (2)原式=[(y十2x)+(x+2y)]· [(y+2x)-(x+2y)]=(y+2x+ x+2y)(y+2x-x-2y)=(3x+ 3y)(x-y)=3(x+y)(x-y). (3)原式=(2x+y)2-2(2x十y)· 3y+(3y)2=[(2x+y)-3y]= (2x+y-3y)2=(2x-2y)2=[2(x y)]=4(x-y)2. 一方法归纳一 遇到底数为多项式的幂时进行 因式分解的方法 分解因式时，若遇到底数为多 项式的幂，一般不必用乘法公式展 开，而是把底数看作一个整体来分 解，如第(1)小题的a十b.第(2)(3) 小题也可以先通过整式运算展开， 然后分解因式，不过运算量较大， 不可取， [变式](1)原式= [3(2m-3m) 3]‘=(m--3) (2)原式=[2(a+2b)-3a]2=(4b a)2 (3)原式=[5(a+b)-3(a-b]· [5(a+b)+3(a-b]=(2a+8b)· (8a+2b)=2(a+4b)×2(4a+b)= 4(a+4b)(4a+b). 典例4(1)原式=a(x4一8.x2y2十 16y)=a(x2-4y2)2=a[(x+2y)· (x-2y)]2=a(x+2y)2(x-2y)2. (2)原式=m2(m-81n4)=m2· (m2+9n2)(m2-9n2)=m2(m2+ 35 9n2)(m+3n)(m-3). (3)原式=x[16ab2一(a2+ 4b2)2]=x[4ab+(a2+4b2)][4ab (a2+4b2)]=-x(a2+4ab+4b2)· (a2-4ab+4b2)=-x(a+2b)2(a- 2b)2 [变式](1)原式=(x2-4)2= [(x+2)(x-2)]=(x+2)2(x-2)2. (2)原式=[(a2+4)+4a][(a2 4)-4a]=(a2+4+4a)(a2+4 4a)=(a+2)2(a-2)2 (3)原式=2x3(a-1)-8x(a-1)= 2x(a-1)(x2-4)=2x(a-1)(x+ 2)(x-2). (4)原式=[(x2-3)-6]=(x2 9)2=[(x+3)(x-3)]2=(x+3)2· (x-3)2 典例5所得的差一定能被9整除 理由：设该两位数个位上的数字是b, 十位上的数字是a,且a>b,b≠0，则 这个两位数是10a+b. 所以将十位上的数字与个位上的数字 对调后得到的数是10b+a. 所以较大的数减去较小的数的差是 (10a+b)-(10b+a)=9a-9b= 9(a-b). 因为9(a-b)是9的倍数， 所以所得的差一定能被9整除 [变式]8解析：(4m十5)2-9= (4m+5+3)(4m+5-3)=(4m+ 8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1),所以 (4m+5)2-9一定能被8整除。 典例612解析：因为m2十n2十 m2n2+8m+9=m2+2mn+n2+ m2n2+6m1+9=(m+n)2+(mn+ 3)2,所以(m十n)2+(m十3)2=0.因 为(m十n)2≥0，(mm+3)2≥0，所以 m+n=0,m1+3=0.所以mn=-3. 所以(m-n)2=m2+n2-2mn= m2+n2+2m1-4m1=(m+n)2 4m=02-4×(-3)=0+12=12. 方法归纳 运用配方法求字母的值的方法 解决这类题目的两种常见方 法：①先把字母、常数项一起移到 等式的左边，再把平方项及其可能 的2ab项放到一起，据此把常数项 拆成需要的另一个平方项，并把等 式左边运用因式分解法写成完全 平方式，最后根据非负数的性质得 到关于字母的方程，解之可求得字 母的值，②若题中的常数项为平方 数，则一般先分析题中的平方项， 然后把题中的一次项拆成需要的两 项，并把等式左边运用因式分解法 写成完全平方式，最后根据非负数 的性质得到关于字母的方程，得到 字母的数量关系或求出字母的值 [变式]4解析：因为口+子6 2a-b-2,所以(a2-2a+1)+ (262+b+1)=0.所以(a-1)2+ (2b+1）=0.因为(a-1)2≥0， (3b+1)°≥0，所以a-1=0,2b+ 1=0.所以a=1,b=-2.所以3a- 26=8×1-2×(-2》=3+1=4 [综合素能提升] 1.B解析：-2a2+4a=-2a(a 2),故选项A错误；3ax2-6axy+ 3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(.x y)2,故选项B正确；2x2+3x3十x x(2.x十3.x2十1)，故选项C错误： m2十n2不能进行因式分解，故选项D 错误 2.D解析：(a+b-c)(a十c-b)+ (b-a+c)(b-a-c)=(a+b-c)· (a+c-b)-(b-a+c)(a+c-b)= (a+c-b)[(a+b-c)-(b-a+ c)=(a-b+c)(a+b-c-b+a- c)=2(a-c)(a-b+c),所以M(a b+c)=2(a一c)(a一b+c).所以 M=2(a-c). 3.C解析：(a十b)2-4(a2-b2)+ 4(a-b)2=(a+b)2-2(a+b)· [2(a-b)]+[2(a-b)]2=(a+ b-2a+2b)2=(3b-a)2. 4.C解析：因为a=m十2024，b= m+2025,c=m+2026,所以a b=-1,b一c=-1,a一c=-2.所以 1 a2+62+c2-ab-bc-ac=2X (2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)= 7×[(a-b)2+(a=c)2+(b c)2]=2 ×[(-1)2+(-2)2+ (-1)2]=3 5.1解析：因为(a+2b)2-2a 4b+1=0,所以(a+2b)2-2(a+ 2b)+1=0.所以(a+2b一1)2=0.所 以a+2b一1=0.所以a+2b=1.所 以(a+2b)225=1205=1. 6.a(a-1)+a(a-1)+(a-1) (a一1)(a2+a+1)解析：因为题图 ②中的几何体可以看作是棱长为a 的正方体减去一个棱长为1的正方 体，所以题图②中几何体的体积为 a3一1.因为题图②中的几何体的体积 也可以看作三个长方体的体积相加， 所以题图②中几何体的体积为a× (a-1)×a+a×(a-1)×1+(a 1)×1×1=a2(a-1)+a(a-1)+ (a-1).所以a3-1=a2(a-1)+ a(a-1)+(a-1).从式子a2(a- 1)+a(a一1)+(a-1)中提取出(a 1),可得a2(a-1)+a(a-1)+(a 1)=(a-1)(a2+a+1). 7.0解析：因为a2+b2=1,c2十 d2=1,所以ab+cd=abX1+cdX 1=ab(c2+d2)+cd(a2+b2)= abc2+abd2+cda2+cdb2 =abc2+ cdb+abd2+cda=bc (ac+bd)+ ad(bd-ac)=(ac+bd)(bc+ad). 为ac+bd=0,所以ab+cd=0. 8.(1)a2-M. (2)因为a+b=10,a-b=5, 所以A比B多出的使用面积为(a2 36 M)-(b2-M)=a2-b2=(a+ b)(a-b)=10×5=50. 9.(1)原式=x4+4x2y2+4y4 4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(.x2+ 2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). (2)原式=x2-2ax十a2-a2-b2 2ab=(x-a)2-(a+b)2=(.x-a+ a+b)(x-a-a-b)=(x+b)(x- 2a-b). 第5章分式 5.1分式的意义 1.A2.B3.A4.-4 5.2解析：因为当x=1时，分式 ，3一无意义，所以当x=1时， x2+x-a 分母x2+x-a=0.所以1+1一a= 0,解得a=2. 7 6.(1)x=2 (2)x=5 (3)当x=一1时，原式 5×(-1)-1_2 2X(-1)-73· 7.A解析：因为不论x取何值， x2≥0，所以x2+2>0.所以分式 x+2一定有意义 8.C解析：由题意，得x一1=0， 2x十y≠0，解得x=1,y≠-2. 9.C解析：当x=一1，m=2时， x2-4x十m≠0，所以分式有意义.故 ①正确.当x=3时，x2一4x十m= m一3，此时当m=3时，其值为0，所 以分式可能无意义.故②错误.当x= 1,m=3时，x2一4.x+m=0,所以分 式没有意义.故③正确.当x一3且 m≠3时，x2-4x+m=9-12+ m=-3十m≠0.因为x-3=0,所以 原式=0.故④正确.综上所述，正确的 有3个. 10.12一6解析：由题意，得小林这 天到学校所用的时间为(12-b)mim. 所以他为了按平时的时间准时到校，