精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高三下学期开学测试数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高三年级开学测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知i为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算即可求解. 【详解】. 故选：C． 2. 若，则是复数为纯虚数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念和充分、必要条件的概念进行判定即可. 【详解】设, 当时,是纯虚数， 当为纯虚数时，，∴, 故是复数为纯虚数的充分必要条件. 故选：C. 3. 中，角所对的边分别是，下面判断错误的是（ ） A. 若，则三角形是钝角三角形 B. 若，则 C. ，若所求有两个，则的取值范围为 D. 中，恒有. 【答案】C 【解析】 【分析】A选项借助正弦定理和余弦定理进行判断；B选项正弦定理边化角即可判断；C选项画出图形，数形结合进行判断； D选项两角和的正切公式和诱导公式进行判断. 【详解】A选项：，由正弦定理得，，即角C为钝角，三角形是钝角三角形，A正确； B选项：若，则，由正弦定理得，B正确； C选项：如图，过点作，由知，当时，有两个，而，C错误； D选项： ，D正确. 故选：C. 4. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（ ） A. 该组数据的平均数为7，众数为 B. 该组数据的第60百分位数为6 C. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 【答案】D 【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数，众数，中位数，方差的定义计算可得. 【详解】选项A,这组数据从小到大排列为， 故平均数为， 众数为和，中位数为，故A错误； 选项B，，则第百分位数为，故B错误； 选项C：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故C错误； 选项D，方差为， 如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7， 此时的方差为，故D正确. 5. 已知圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出圆锥被截的上面小圆锥和下面剩下的圆台部分的体积，计算比值即可. 【详解】圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为. 故选：A. 6. 已知均为锐角，，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用同角的三角函数的基本关系式可求的值，再利用两角差的正弦可求的值. 【详解】因为均为锐角，故， 因为， 所以， 所以 . 故选：A. 【点睛】方法点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，有，利用导数求的单调性并确定值域，再研究的单调性求最小值即可. 【详解】由题设且， 令，则， 由，在上，则递减；在上，则递增； 所以，易知：， 又，令，则， 上，即递减；上，即递增； 所以. 故选：A 8. 化简（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质化简即可. 【详解】由组合数性质可得： ， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象可以得到，求出的解析式，可判断A，B，由奇偶函数的判断方法可以判断C，由平移变化和诱导公式可以判断D. 【详解】由图象可知：，则； 又，故，又，所以，所以A项正确； ，由五点作图法可知：，解得：，所以B项正确； 因此可得，则， 设， 则， 所以函数是偶函数，故C项错误； 由，所以D项正确； 故选：ABD. 10. 已知直线过抛物线：的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，.则下列选项正确的是（ ） A. B. 以线段为直径的圆与直线相离 C. 当时， D. 面积的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出抛物线C的焦点、准线，设出直线l的方程，与抛物线C的方程联立，再逐一分析各个选项，计算判断作答. 【详解】抛物线：的焦点，准线，显然直线斜率存在，设直线的方程为， 由消去y并整理得：，于是得：， ，A不正确； ， 线段AB中点到准线的距离为， 因此，以线段AB为直径的圆与直线相切，该圆与直线相离，B正确； 当时，则点F是线段AB的中点，，，C不正确； 设抛物线C在点处切线方程为：， 由消去y并整理得：，则，解得， 于是得抛物线C在A处切线方程为：，同理在B处切线方程为：， 联立两切线方程解得，，即点， 点G到直线AB的距离为，而， 因此，面积的，当且仅当时取“=”， 所以面积的取值范围为，D正确. 故选：BD 11. 在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确的是（ ） A. 为直角三角形 B. 平面 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 三棱锥外接球的半径为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直证明平面，然后可判断A；连接相交于点，连接，证明为的重心即可判断B；利用基本不等式求面积的最大值即可判断C；利用补形法求解可判断D. 【详解】对A，因平面，平面，所以， 又是平面内的两条相交直线，所以平面， 因平面，所以，所以为直角三角形，正确； 对B，连接相交于点，连接， 若平面，平面平面，平面，则， 因为为的中线，所以为的重心，， 因为为的中点，所以，与矛盾，故B错误； 对C，因为，得， 所以， 所以，当且仅当时等号成立，正确； 对D，将三棱锥补形成长方体，易知即为外接球的直径， 易得，外接球半径，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线的一条切线与直线垂直，则该切线方程为 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】由直线垂直得到切线斜率为1，再根据导数的几何意义求切点，即可得切线方程. 【详解】由已知， 设切点为，故切线斜率为， 所以，故切点为， 所以该切线方程为. 故答案为： 13. 双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意列出圆的方程和双曲线的渐近线方程，然后将这两者联立，得到的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式列出等式，求得，最后根据面积公式得到等式，从而可求出，进而得到双曲线的方程. 【详解】由题意可知，，双曲线渐近线方程为. 以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为. 因为以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，所以联立方程 ，得，化简得， 所以，所以. 因为，所以，解得. 由于四边形的面积为，所以. 由得，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 14. 在中，是边上一点，，若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据题意及相似三角形性质得.，，利用正弦定理求得及，利用长度关系得，利用二倍角公式及同角三角函数关系化简得，求出，代入求解即可. 【详解】设，，则，， 因为，所以， 又，所以∽， 所以，则， 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 又，所以，所以， 所以，所以， 即，则（负根舍去）， 所以，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦定理及三角恒等变换的应用，解题的关键是在两个三角形中利用正弦定理，结合找到角的关系，另外本题还要注意运算技巧. 四、解答题 15. 已知数列各项均为正数，且，. （1）证明：为等差数列，并求出通项公式； （2）设，求. 【答案】（1）证明见解析， （2）20 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义证明等差数列，再根据通项公式计算即可； （2）分组求和计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，， 因为数列各项均为正数，即， 所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，其公差为，所以， 所以，. 16. 如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，，点E是棱上的一点（与，不重合）. （1）求证：； （2）若二面角余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据线面垂直的性质可得，即可证得平面，进而证得线线垂直； （2）设.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.设，写出各点的坐标，得到平面以及平面的法向量，根据已知可得.然后用向量求出结果即可. 【小问1详解】 证明：如图1，连结. 由已知可得，平面，平面，所以. 又因为四边形是菱形，所以. 又平面，平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 【小问2详解】 解：设，连接交于点. 由已知可得，为等边三角形，则，，. 以为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，如图2建立空间直角坐标系，则，，，， 设，故， 所以，，，. 设平面的一个法向量，所以，即， 令，解得，，所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量，所以，即 令，解得，.所以平面的一个法向量， 所以，整理可得， 又，解得，所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． （1）求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； （2）记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 【答案】（1）； （2）①；②或或． 【解析】 【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）①由条件可得，再结合独立重复试验概率公式及互斥事件概率加法公式求结论； ②根据条件，得到，再由为不等式组的解，即可求. 【小问1详解】 甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次， 所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为. 【小问2详解】 ①． ②由①知，由题知， 所以， 由， 得到且， 整理得到，即， 得到，所以， 由题有，所以，得到，又， 所以或或. 18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，，，，分别是椭圆上不同的四点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与直线交于点，且，，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，，联立，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，同理求出，再结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 根据题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 小问2详解】 因为，所以点在椭圆内， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得， 设， 则， 所以 ， 同理， 所以 ， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 当时，， 综上所述，实数的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，记函数的极小值为，若恒成立，求满足条件的最小整数. 【答案】（1）若，故在单调递减， 若，在单调递减，在，单调递增 若，在单调递增， 若，故在单调递减，在，单调递增 （2）0 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域和导数，讨论的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可． （2）根据（1）求出函数的极小值为,若 恒成立，转化为恒成立，构造函数设 根据导数和函数的函数，求出 即可求出满足条件的最小整数 【小问1详解】 的定义域为， ①若，当时，， 故在单调递减， ②若，由，得， （ⅰ）若，当时，， 当时，， 故在单调递减，在，单调递增 （ⅱ）若，，在单调递增， （ⅲ）若，当时，， 当时，， 故在单调递减，在，单调递增 【小问2详解】 由（1）得：若，在单调递减， 在，单调递增 所以时，的极小值为 由恒成立， 即恒成立 设， 令， 当时， 所以在单调递减， 且， 所以，， 且，，， 所以， 因为 得其中， 因为在上单调递增 所以 因为，，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高三年级开学测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知i为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则是复数为纯虚数的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 中，角所对的边分别是，下面判断错误的是（ ） A. 若，则三角形钝角三角形 B. 若，则 C. ，若所求有两个，则的取值范围为 D. 中，恒有. 4. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（ ） A. 该组数据的平均数为7，众数为 B. 该组数据的第60百分位数为6 C. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 5. 已知圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知均为锐角，，则（ ） A. B. 或 C. D. 7. 函数最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 化简（   ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 10. 已知直线过抛物线：的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，.则下列选项正确的是（ ） A. B. 以线段为直径的圆与直线相离 C. 当时， D. 面积的取值范围为 11. 在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确的是（ ） A. 为直角三角形 B. 平面 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 三棱锥外接球的半径为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线的一条切线与直线垂直，则该切线方程为 ___________ 13. 双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______. 14. 在中，是边上一点，，若，且，则______. 四、解答题 15. 已知数列各项均为正数，且，. （1）证明：为等差数列，并求出通项公式； （2）设，求. 16. 如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，，点E是棱上的一点（与，不重合）. （1）求证：； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． （1）求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； （2）记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，，，，分别是椭圆上不同的四点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与直线交于点，且，，求实数的最大值. 19 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，记函数极小值为，若恒成立，求满足条件的最小整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $