专题06 四边形章末易错必刷题型专训（72题24个考点）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题06 四边形章末易错必刷题型专训（72题24个考点） 【易错必刷一 添一个条件成为平行四边形】 1．（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，，要判断四边形一定是平行四边形，应增加一个条件是 ．（只填一个） 3．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 【易错必刷二 判断能否构成平行四边形】 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025九年级·广东·专题练习）平行四边形的判定： （1）用定义判定 ． （2）两组对边分别 的四边形是平行四边形． （3）一组对边 的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别 的四边形是平行四边形． （5）对角线 的四边形是平行四边形． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 【易错必刷三 利用平行四边形的判定与性质求解】 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 8．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，那么光线与纸板左上方所成的的度数为 ． 9．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个面积为6的平行四边形． (2)在图②中，作以为一边的平行四边形，满足平行四边形的面积为11． 【易错必刷四 平行四边形的对角线性质】 10．（24-25八年级下·广西南宁·月考）平行四边形一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线平分一组对角 11．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件 ，使四边形是矩形． 12．（24-25八年级下·天津·月考）如图，在中，已知对角线相交于点O，若的周长为32，，求对角线与的和． 【易错必刷五 矩形性质理解】 13．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来 盆花． 15．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，在矩形中，点E、F分别在和上，若．求证：四边形是平行四边形． 【易错必刷六 矩形的判定定理理解】 16．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是 ． 18．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明家新装修了房子，他不确定新安装的门框是不是矩形，请你帮助他检查门框是不是矩形，设计你的方案，并说明道理． 【易错必刷七 求矩形在坐标系中的坐标】 19．（24-25九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为 ． 21．（24-25八年级上·浙江宁波·月考）在直角坐标系中，长方形的边可表示为，边可表示为．求： (1)长方形各顶点的坐标； (2)长方形的周长． 【易错必刷八 证明四边形是矩形】 22．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 24．（24-25八年级下·北京平谷·期末）如图，中，于，，交的延长线于点，求证：四边形为矩形． 【易错必刷九 求平行线间的距离】 25．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 26．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，直线，，且，则直线与直线之间的距离是 ．    27．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，直线，，，a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，求a与c的距离. 【易错必刷十 添一个条件使四边形是菱形】 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（　　）． A． B． C．平分 D． 29．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 30．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加一个条件 ，并说明理由． 【易错必刷十一 证明四边形是菱形】 31．（25-26九年级上·广东佛山·月考）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，且，，若，则四边形的周长为 ． 33．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，正五边形的两条对角线相交于点，试猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【易错必刷十二 正方形性质理解】 34．（2025八年级下·全国·专题练习）正方形的边上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 35．（24-25九年级上·浙江金华·期末）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形、小明发现可以将五巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型．在“飞机”模型中宽与高的比值 ． 36．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在正方形ABCD中，E为CD上点，F为BC延长线上一点，CE=CF， （1）猜想线段BE与DF的关系，并证明你的结论． （2）连接EF，若∠BED=120°，求∠EFD的度数． 【易错必刷十三 证明四边形是正方形】 37．（24-25九年级上·山东青岛·月考）下列说法正确的有（    ） ①有一组邻边相等的矩形是正方形        ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ②有一个角是直角的菱形是正方形        ④对角线相等的菱形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个   38．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形． 39．（2025八年级下·全国·专题练习）已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 【易错必刷十四 正方形的判定定理理解】 40．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在特殊平行四边形章节小结时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①有一个角是直角 B．②有一组对边相等 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 41．（24-25八年级下·北京·期中）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别相等；b一组对边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式 ：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c．你认为能得到正方形的是 ．（填写你认为正确的序号） 42．（24-25八年级下·吉林·期末）如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上． (1)在图①中画出以线段AB为对角线的格点正方形； (2)在图②中画出以线段AB为边的矩形，且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上． 【易错必刷十五 添一个条件使四边形是正方形】 43．（2025·河南周口·一模）如图，在矩形中，对角线与相交O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，要使矩形成为正方形，需添加一个条件为 ． 45．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形. 【易错必刷十六 与三角形中位线有关的求解问题】 46．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）工作人员要测算池塘两端A，B之间的距离，他们先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到和的中点D，E，并测得的长为10米，则池塘两端A，B之间的距离是（   ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 47．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）在项目式学习课堂上，老师布置了一道题：测量紫金山晴雪湖边（类似椭圆）两点B，C之间的距离．班级学习小组设计如下方案：如图所示，同一平面上取，点D，E分别为，边上的中点，测得长为350米，则湖边B，C两点的距离为 ． 48．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，求的长． 【易错必刷十七 与三角形中位线有关的证明】 49．（24-25九年级上·广东梅州·月考）如图，顺次连接长方形四边中点，得四边形，则这个四边形是（    ）    A．一般四边形 B．正方形 C．菱形 D．长方形 50．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是 ． 51．（24-25八年级下·四川广安·期末）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上，且平行四边形的一条边的长度等于长度的一半．可以怎样裁？请说明理由． 【易错必刷十八 中点四边形】 52．（24-25八年级下·上海普陀·期中）四边形中，点E、F、G、H分别是的中点，下列条件中能使四边形为矩形的是（      ） A． B． C． D． 53．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在四边形中，于点，点，，，分别为边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形是 . 54．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点． (1)证明：四边形EFGH为平行四边形． (2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是，则四边形EFGH的面积是________ 【易错必刷十九 (等腰)梯形的定义】 55．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 56．（2025·陕西·模拟预测）如图， 在梯形中，，．若，，则这个梯形的面积是 ． 57．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）下面是正方形点子图，请你在图中选一个点作为点D，使四边形成为一个梯形，至少画出两种情况 (1) (2) 【易错必刷二十 等腰梯形的性质与判定定理】 58．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）下列三角形纸片中，用一条平行于三角形一边的直线，把它分割成一个四边形和一个小三角形，得到的四边形可能是等腰梯形的是（    ） A．   B．   C．   D．   59．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在梯形中，，若再加上一个条件 ，则可得梯形是等腰梯形． 60．（2026八年级下·山东·专题练习）如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【易错必刷二十一 （特殊）平行四边形的动点问题】 61．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2019次相遇地点的坐标是（　　）    A．（1，﹣1） B．（2，0） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 62．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    63．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、，设点P、Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是菱形． 【易错必刷二十二 矩形的性质与判定综合应用】 64．（24-25八年级上·陕西西安·月考）为迎接国庆，学校准备从教学楼楼顶挂一条彩带下来，营造一些节日气氛．小华想了解彩带的长度，发现彩带从楼顶垂下来末端刚好碰到地面，然后小华拿着彩带末端走到距离教学楼处，此时彩带末端距离地面，则彩带的长度为（    ） A． B． C． D． 65．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ．    66．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 【易错必刷二十三 菱形的性质与判定综合应用】 67．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 68．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，已知矩形ABCD的两条邻边的长分别为6和8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 ． 69．（24-25九年级上·河北廊坊·开学考试）如图，在ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)连接DE交AB于点F，若，，求AD的长. 【易错必刷二十四 正方形的性质与判定综合应用】 70．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG．下列判断正确的是（　   ） A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 71．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 72．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 四边形章末易错必刷题型专训（72题24个考点） 【易错必刷一 添一个条件成为平行四边形】 1．（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，，要判断四边形一定是平行四边形，应增加一个条件是 ．（只填一个） 【答案】或AD=BC 【分析】根据平行四边形的判定定理，即可解答 【详解】解：， 或AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：或AD=BC． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握和运用平行四边形的判定方法是解决本题的关键． 3．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 【答案】①，证明见解析 【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题． 【详解】①或②． 添加①BE＝DF，理由如下： 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AE∥CF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键． 【易错必刷二 判断能否构成平行四边形】 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 5．（2025九年级·广东·专题练习）平行四边形的判定： （1）用定义判定 ． （2）两组对边分别 的四边形是平行四边形． （3）一组对边 的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别 的四边形是平行四边形． （5）对角线 的四边形是平行四边形． 【答案】 两组对边分别平行 平行 平行且相等 相等 互相平分 【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答． 【详解】解：平行四边形的判定方法有： （1）用定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 故答案为：（1）两组对边分别平行；（2）平行；（3）平行且相等；（4）相等；（5）互相平分 【点睛】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理即可填空，属于基础题，熟记定理即可． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 【答案】见解析 【分析】设E、F、G、H分别为的中点，连接，根据三角形中位线定理，推出，，得出四边形是平行四边形． 【详解】解：先找出平行四边形铁皮各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮；理由如下： 设E、F、G、H分别为的中点， 连接，如图所示： 则是的中位线， ∴，， 是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【易错必刷三 利用平行四边形的判定与性质求解】 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 8．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，那么光线与纸板左上方所成的的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图所示，    根据题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个面积为6的平行四边形． (2)在图②中，作以为一边的平行四边形，满足平行四边形的面积为11． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质： （1）根据题意，画出平行四边形即可； （2）根据题意，画出平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； 由图可知：平行四边形的面积为，满足题意； （2）如图，平行四边形即为所求； 由图可知，平行四边形的面积为，满足题意． 【易错必刷四 平行四边形的对角线性质】 10．（24-25八年级下·广西南宁·月考）平行四边形一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线平分一组对角 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出答案即可． 【详解】解：A、平行四边形对角线互相平分，故此选项符合题意； B、平行四边形对角线不一定互相垂直，故此选项不符合题意； C、平行四边形对角线不一定相等，故此选项不符合题意； D、平行四边形对角线不一定平分一组对角，故此选项不符合题意． 故选：A． 11．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件 ，使四边形是矩形． 【答案】答案不唯一， 【分析】先证明四边形是平行四边形．结合，得证，即可证明四边形是矩形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是平行四边形的对角线，且对角线交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 12．（24-25八年级下·天津·月考）如图，在中，已知对角线相交于点O，若的周长为32，，求对角线与的和． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质对角线互相平分． 根据平行四边形的性质得到，根据的周长为32得到，即可求出答案． 【详解】解：在平行四边形中，对角线和相交于点O， ∴， ∵的周长为32， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【易错必刷五 矩形性质理解】 13．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴不一定正确，故A不符合题意； ，不一定正确，故B不符合题意； 不一定正确，故C不符合题意； 一定正确，故D符合题意， 故选：D． 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来 盆花． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的对角线性质在实际生活中的应用，分类讨论的数学思想．根据矩形的对角线相等且互相平分可知当一条对角线有偶数盆花时，另一条对角线要有相同盆数；当一条对角线有奇数盆花时，另一条对角线的盆数要少一盆． 【详解】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有24盆花时，另一条对角线要有相同盆数即24盆； 如果一条对角线用了35盆花，因为两对角线的交点处有一盆，所以还需要从花房运来34盆花． 如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来盆花． 故答案为：，，． 15．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，在矩形中，点E、F分别在和上，若．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定．根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． 【易错必刷六 矩形的判定定理理解】 16．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是 ． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 18．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明家新装修了房子，他不确定新安装的门框是不是矩形，请你帮助他检查门框是不是矩形，设计你的方案，并说明道理． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的判定（有两组对边分别相等的四边形是平行四边形）判断是否是平行四边形，再根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）判断是否是矩形． 【详解】解：①先用线测量，，则四边形是平行四边形， ②再用线测量， 则四边形就是矩形，否则就不是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定，注意：有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形． 【易错必刷七 求矩形在坐标系中的坐标】 19．（24-25九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标． 20．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为 ． 【答案】（0，4），（0，0）． 【详解】试题分析：连接EF，∵OA=3，OC=2，∴AB=2，∵点E是AB的中点，∴BE=1，∵BF=AB，∴CF=BE=1，∵FE=FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，∴PC=BF=2，∴P点坐标为（0，4）或（0，0），即图中的点P和点P′．故答案为（0，4），（0，0）． 考点：1．正方形的性质；2．坐标与图形性质；3．全等三角形的判定与性质． 21．（24-25八年级上·浙江宁波·月考）在直角坐标系中，长方形的边可表示为，边可表示为．求： (1)长方形各顶点的坐标； (2)长方形的周长． 【答案】(1)，，， (2)18 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，是解题的关键． （1）根据边、的公共点为A，首先求出点A的坐标，从而得到点B、D的坐标，再根据点B的纵坐标与点D的横坐标求出点C的坐标即可； （2）根据x、y的取值范围求出、的长度，再根据长方形的周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵边可表示为，边可表示为， ∴点A的坐标为， ∵， ∴点B的坐标为， ∵， ∴点D的坐标为， ∵四边形是长方形， ∴点C的坐标为； （2）解：∵，，，， ∴，， ∴长方形的周长． 【易错必刷八 证明四边形是矩形】 22．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故A符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； 由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意． 故选D． 23．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 24．（24-25八年级下·北京平谷·期末）如图，中，于，，交的延长线于点，求证：四边形为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，由得出，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形； 【易错必刷九 求平行线间的距离】 25．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是6． 故选：C． 26．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，直线，，且，则直线与直线之间的距离是 ．    【答案】12 【分析】设直线与直线之间的距离是h，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， 由题意得，， ∴， ∴直线与直线之间的距离是12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，解题的关键在于根据等面积法求三角形的高． 27．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，直线，，，a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，求a与c的距离. 【答案】6cm 【分析】依据AB=10cm，BC=4cm，可得AC=6cm，进而得出a与c的距离为6cm． 【详解】解：∵a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，AB⊥a，AB⊥b， ∴AB=10cm，BC=4cm， ∴AC=6cm， 即a与c的距离为6cm． 【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【易错必刷十 添一个条件使四边形是菱形】 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（　　）． A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用． 【详解】 解：四边形是平行四边形， A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； B、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； C、当平分时，，在中，，可得，可得，则有，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； D、当时，是矩形，故本选项符合题意； 故选：D． 29．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 30．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加一个条件 ，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定． 利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形是菱形． 【详解】解：添加． 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【易错必刷十一 证明四边形是菱形】 31．（25-26九年级上·广东佛山·月考）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 32．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，且，，若，则四边形的周长为 ． 【答案】10 【分析】据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵是矩形， ∴ ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 33．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，正五边形的两条对角线相交于点，试猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】菱形，证明见解析 【分析】本题考查了正五边形的性质、平行四边形及菱形的判定，解题的关键是利用正五边形内角和与边的关系，结合角度计算推导平行关系，再依据判定定理证明． 先根据正五边形性质得出边与角的关系，计算相关角度，推导对边平行证明是平行四边形，再结合邻边相等证明是菱形． 【详解】证明：∵五边形是正五边形， ∴， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形． 【易错必刷十二 正方形性质理解】 34．（2025八年级下·全国·专题练习）正方形的边上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接由面积关系进行转化是解题的关键．连接，的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，则矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接， ∵，， ∴矩形与正方形的面积相等． 故选：D． 35．（24-25九年级上·浙江金华·期末）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形、小明发现可以将五巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型．在“飞机”模型中宽与高的比值 ． 【答案】 【分析】设图形1中小正方形①的边长为，根据图中的图形找到与的关系即可求解． 【详解】解：设图形1中小正方形①的边长为， 根据题中图形拼凑的方式可知，， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形面积、解题的关键是观察图象，利用图形1中小正方形①的边长来表示“飞机”模型的宽和高． 36．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在正方形ABCD中，E为CD上点，F为BC延长线上一点，CE=CF， （1）猜想线段BE与DF的关系，并证明你的结论． （2）连接EF，若∠BED=120°，求∠EFD的度数． 【答案】（1）BE=DF，BE⊥DF，证明见解析；（2）∠EFD的度数是15°． 【分析】（1）可利用边角边证明BE、DF所在的两个直角三角形全等，进而证明这两条线段相等且垂直； （2）由（1）中的全等可得∠DFC=∠BEC=60°，易得∠CFE=45°，相减即可得到所求角的度数． 【详解】解：（1）BE=DF．BE⊥DF，理由如下： 如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°， 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF， ∴BE=DF，∠EBC=∠FDC， 延长BE交DF于点G， ∵∠BEC=∠DEG， ∴∠DGE=∠BCE=90°， ∴BE=DF．BE⊥DF； （2）∵△BCE≌△DCF，∠BED=120°， ∴∠BEC=60°， ∴∠DFC=∠BEC=60°， ∵∠DCF=90°，CE=CF， ∴∠CFE=45°， ∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=15°． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质．用到的知识点为：考查两条线段的大小关系，一般考虑相等，证明这两条线段所在的三角形的全等是常用的方法． 【易错必刷十三 证明四边形是正方形】 37．（24-25九年级上·山东青岛·月考）下列说法正确的有（    ） ①有一组邻边相等的矩形是正方形        ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ②有一个角是直角的菱形是正方形        ④对角线相等的菱形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据 正方形的判定定理依次分析判断． 【详解】解：①有一组邻边相等的矩形是正方形，故该项正确；         ②对角线互相垂直的矩形是正方形，故该项正确； ②有一个角是直角的菱形是正方形，故该项正确；        ④对角线相等的菱形是正方形，故该项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的判定定理，正确掌握正方形与矩形菱形的特殊关系及对应添加的条件证得正方形是解题的关键． 38．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 39．（2025八年级下·全国·专题练习）已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出四边形是矩形，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 【易错必刷十四 正方形的判定定理理解】 40．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在特殊平行四边形章节小结时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①有一个角是直角 B．②有一组对边相等 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，根据矩形，菱形，正方形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：A、①有一个角是直角的平行四边形是矩形，填写正确，不符合题意； B、②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，填写错误，符合题意； C、③有一组邻边相等的矩形是正方形，填写正确，不符合题意； D、④对角线相等的菱形是正方形，填写正确，不符合题意； 故选B． 41．（24-25八年级下·北京·期中）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别相等；b一组对边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式 ：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c．你认为能得到正方形的是 ．（填写你认为正确的序号） 【答案】①② 【分析】由a和b都可断为平行四边形，①②③中至少有一个a或者b，所以在平行四边形的基础上判定正方形，根据需要加条件． 【详解】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确； ②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确； ③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键． 42．（24-25八年级下·吉林·期末）如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上． (1)在图①中画出以线段AB为对角线的格点正方形； (2)在图②中画出以线段AB为边的矩形，且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据正方形的性质找到另一条对角线，从而确定各边； （2）根据矩形的定义结合题目要求画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，正方形ACBD即为所求； （2）如图，四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，矩形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【易错必刷十五 添一个条件使四边形是正方形】 43．（2025·河南周口·一模）如图，在矩形中，对角线与相交O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意； B、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意； C、正确．∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴矩形为正方形，故不符合题意； D、正确，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法． 44．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，要使矩形成为正方形，需添加一个条件为 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】解：添加的条件可以是AB=BC．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形． 故答案为：AB=BC（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD． 45．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形. 【答案】(1)证明见详解；（2）∠BAC=45. 【分析】(1) 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等, 有BE=EC, BF=FC, 根据四边相等的四边形是菱形即可判断; (2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45时,∠EAF=90,则菱形AECF为正方形. 【详解】证明: (1) AC的垂直平分线EF交AC于点D CD=AD,∠ADF=90，EC=AE,CF=AF, 又∠ACB=90°，EF∥BC, △ADF∽△ACB, AF:AB=AD:AC, CD=AD,D为AC的中点， AF:AB=AD:AC=1：2， F为AB中点, BF=AF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°, CF=AF, 又CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF CE= CF= AF= AE 四边形BECF是菱形. （2）当∠BAC=45时, 四边形AECF是正方形. 证明:∠BAC=45,四边形AECF是菱形, ∠EAC=∠BAC=45, ∠EAF =∠EAC+∠BAC =90, 菱形AECF是正方形. 【点睛】本题主要考查垂直平分线、菱形与正方形的性质及三角形相似的判定与性质，综合性大，需综合运用所学知识求解. 【易错必刷十六 与三角形中位线有关的求解问题】 46．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）工作人员要测算池塘两端A，B之间的距离，他们先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到和的中点D，E，并测得的长为10米，则池塘两端A，B之间的距离是（   ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，由题意可得是的中位线，再由三角形中位线定理即可得解，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：∵和的中点分别为D，E， ∴是的中位线， ∵的长为10米， ∴米， 故选：D． 47．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）在项目式学习课堂上，老师布置了一道题：测量紫金山晴雪湖边（类似椭圆）两点B，C之间的距离．班级学习小组设计如下方案：如图所示，同一平面上取，点D，E分别为，边上的中点，测得长为350米，则湖边B，C两点的距离为 ． 【答案】700米 【分析】本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解决本题的关键． 应用三角形的中位线定理，计算得结论． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线． ∴（米）． 故答案为：米． 48．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中位线定理，由直角三角形中线可得，再由中位线定理得，最后通过线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵，为的中点， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴． 【易错必刷十七 与三角形中位线有关的证明】 49．（24-25九年级上·广东梅州·月考）如图，顺次连接长方形四边中点，得四边形，则这个四边形是（    ）    A．一般四边形 B．正方形 C．菱形 D．长方形 【答案】C 【分析】连接，，根据矩形的性质可得，然后根据三角形的中位线定理可得，，，，从而证明，最后根据菱形的判定方法即可解答． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 故可得：，同理，，， 在矩形中，， ， 四边形是菱形． 故选：C．    【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，中点四边形，熟练掌握三角形的中位线定理，以及菱形的判定是解题的关键． 50．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质，根据已知条件证明是解题关键． 根据题中所给的中点关系，由中位线定理可得，，进而可得，即是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】点是对角线的中点，点分别是的中点， 是的中位线，即， 同理，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：． 51．（24-25八年级下·四川广安·期末）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上，且平行四边形的一条边的长度等于长度的一半．可以怎样裁？请说明理由． 【答案】先找出铁皮零料各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮；见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；设E、F、G、H分别为、、、的中点，连接，则是的中位线，得出，是的中位线，得出，，推出，，得出四边形是平行四边形． 【详解】解：先找出铁皮零料各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮． 理由：如图，分别取、、、的中点E，F，G，H．连接， 则是的中位线， ，． 同理是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形． 【易错必刷十八 中点四边形】 52．（24-25八年级下·上海普陀·期中）四边形中，点E、F、G、H分别是的中点，下列条件中能使四边形为矩形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使四边形为矩形，依题意可知其为平行四边形，只需对角线互相垂直即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴在与中， ，且，， ∴四边形为平行四边形， 若要使其为矩形，只需对角线互相垂直， 题中D选项，即在四边形中，， 故选D．    【点睛】此题考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形性质和判定，及应用到三角形中位线定理等相关知识是解题的关键． 53．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在四边形中，于点，点，，，分别为边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形是 . 【答案】矩形 【分析】首先根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的，即可判定四边形EFGH为平行四边形，然后根据，可得出四边形EFGH一个内角为90°，即可判定其为矩形. 【详解】∵点，，，分别为边，，，的中点， ∴EF∥AC，FG∥BD，GH∥AC，EH∥BD，EF=AC，FG=BD，GH=AC，EH=BD ∴EF∥GH，EF=GH，FG∥EH，FG=EH ∴四边形EFGH为平行四边形 又∵ ∴∠ABO+∠BAO=90° 又∵∠ABO=∠AEH，∠BEO=∠BAO ∴∠AEH+∠BEO=90° ∴∠FEH=90° ∴平行四边形EFGH为矩形. 故答案为矩形. 【点睛】此题主要考查三角形中位线定理、平行四边形以及矩形的判定，熟练掌握，即可解题. 54．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点． (1)证明：四边形EFGH为平行四边形． (2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是，则四边形EFGH的面积是________ 【答案】(1)见解析 (2)3.5 【分析】（1）连接BD，由三角形中位线定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四边形的判定可得出结论； （2）由矩形的判定与性质得出答案． 【详解】（1）证明：连接BD， ∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF=BD，EF∥BD， 同理，GH=BD，GH∥BD， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点， ∴DH=AF=CH=BF， ∴四边形AFHD和四边形HFBC都是矩形， ∴AD=HF=BC，DC=EG=AB， ∴S四边形EFGH=EG•HF＝AB•BC， ∵四边形ABCD的面积是7cm2， ∴AB•BC=7cm2， ∴四边形EFGH的面积是3.5cm2， 故答案为：3.5． 【点睛】本题主要考查中点四边形以及矩形的性质，解题时利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键． 【易错必刷十九 (等腰)梯形的定义】 55．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．根据梯形的面积公式以及单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：梯形的面积等于 ． 故选：A 56．（2025·陕西·模拟预测）如图， 在梯形中，，．若，，则这个梯形的面积是 ． 【答案】42 【详解】如图，作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F． ∴四边形CDEF为矩形 ∴DE=CF ∵AD=BC ∴△ADE≌△BCF ∴CD=EF=4 ∴AE=BF=1/2（AB-CD）=3 ∵tan A=" DE/" AE=2 ∴DE=6 ∴这个梯形的面积是1/2（AB-CD）?DE=42． 57．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）下面是正方形点子图，请你在图中选一个点作为点D，使四边形成为一个梯形，至少画出两种情况 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查梯形作图，只有一组对边平行的四边形是梯形，据此解答． 【详解】（1） （2） 【易错必刷二十 等腰梯形的性质与判定定理】 58．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）下列三角形纸片中，用一条平行于三角形一边的直线，把它分割成一个四边形和一个小三角形，得到的四边形可能是等腰梯形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求得第三个角的度数，结合等腰梯形的性质即可求解． 【详解】解：A、，没有相等的角，故不合题意， B、，有2个的角，符合题意； C、，没有相等的角，故不合题意； D、，没有相等的角，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰梯形的性质，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 59．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在梯形中，，若再加上一个条件 ，则可得梯形是等腰梯形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据等腰梯形的定义：有两腰相等的梯形是等腰梯形，推出即可． 【详解】解：添加条件是，理由如下： ∵梯形，，， ∴梯形是等腰梯形， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了对等腰梯形的定义，题目比较好，是一个开放性的题目，熟练掌握等腰梯形的定义是解本题的关键． 60．（2026八年级下·山东·专题练习）如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①或② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由梯形性质，三角形边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角边角的证明方法即可证明与全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角角边的证明方法即可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：选择①，理由： ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴， ∴； 选择②，理由： ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴， ∴． 故答案为：①或②． 【易错必刷二十一 （特殊）平行四边形的动点问题】 61．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2019次相遇地点的坐标是（　　）    A．（1，﹣1） B．（2，0） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 【答案】B 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】如图所示，    由题意可得：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2， 由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇； 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵2019÷3=673， ∴两个物体运动后的第2019次相遇地点的是A点， 此时相遇点的坐标为：（2，0）. 故选B. 【点睛】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题． 62．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    【答案】3 【分析】由运动时间为秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解． 【详解】解：设秒后，四边形是平行四边形， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， 秒时四边形是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是由，得到． 63．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、，设点P、Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1)当时，四边形为矩形 (2)当时，四边形为菱形 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质解决此题注意结合方程的思想解题． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，， 当时，四边形为矩形， ， 得 故当时，四边形为矩形． （2）由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 【易错必刷二十二 矩形的性质与判定综合应用】 64．（24-25八年级上·陕西西安·月考）为迎接国庆，学校准备从教学楼楼顶挂一条彩带下来，营造一些节日气氛．小华想了解彩带的长度，发现彩带从楼顶垂下来末端刚好碰到地面，然后小华拿着彩带末端走到距离教学楼处，此时彩带末端距离地面，则彩带的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据题目画图后找到对应线段，证明四边形是矩形后，利用其性质，结合勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，、为彩带长度，，， 作交于点， ，，， 四边形是矩形， ，， 设，则， 则中，， 即， 解得， 即， 彩带的长度为． 故选：． 65．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，过点D作于点E，根据矩形的性质分别求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：．    66．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质．延长至，使得，证明四边形是矩形，可得，即可求证． 【详解】证明：如图，延长至，使得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【易错必刷二十三 菱形的性质与判定综合应用】 67．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故选：B． 68．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，已知矩形ABCD的两条邻边的长分别为6和8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 ． 【答案】20 【分析】根据矩形的性质可证得△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，从而得到EF=FG=GH=EH，可得到四边形EFGH是菱形，再由勾股定理可得EH=5，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴AH=DH=BF=CF=4，AE=BE=CG=DG=3， ∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH， ∴EF=FG=GH=EH， ∴四边形EFGH是菱形， ∵AE=3，AH=4，∠A=90°， ∴EH=5， ∴四边形EFGH的周长等于4×5=20． 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 69．（24-25九年级上·河北廊坊·开学考试）如图，在ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)连接DE交AB于点F，若，，求AD的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证四边形AEBD是平行四边形，再因为BE＝BD，即可由菱形的判定定理得出结论； （2）连接DE交AB于F，根据四边形AEBD是菱形，得出AB⊥DE，从而证得∠EDC ＝∠EFB＝90°.得用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∵DB＝DA， BE＝BD， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵BE＝BD， ∴四边形AEBD是菱形 （2）解：如图，连接DE交AB于F， ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB⊥DE， ∴∠EFB＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABDC. ∴∠EDC ＝∠EFB＝90°. ∵DC＝，DC：DE＝1：3， ∴DE＝. 在Rt△EDC中，根据勾股定理可得 ∴AD＝. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质是解题词的关键． 【易错必刷二十四 正方形的性质与判定综合应用】 70．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG．下列判断正确的是（　   ） A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 【答案】C 【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出∠BAD＝∠EAG＝90°，然后根据同角的余角相等可得∠1＝∠2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE＞AB，从而得到AG＞AB，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出∠3＜∠4． 【详解】解：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∵∠BAD＝∠2＋∠DAE＝90°， ∠EAG＝∠1＋∠DAE＝90°， ∴∠1＝∠2， 在Rt△ABE中，AE＞AB， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG， ∴AG＞AB， ∴∠3＜∠4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用． 71．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 72．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为 【分析】（1）由等边三角形的性质得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC， ∵△ACE是等边三角形， ∴EO⊥AC （三线合一）， 即BD⊥AC， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAC＝60° 由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC ∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形， ∵∠AED＝2∠EAD， ∴∠EAD＝15°， ∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°， ∵▱ABCD是菱形， ∴∠BAD＝2∠DAO＝90°， ∴菱形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $