专题05 三角形的中位线重难点题型专训（1个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题05 三角形的中位线重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 利用三角形中位线求线段长 题型二 利用三角形中位线求角度 题型三 三角形中位线与三角形面积 题型四 与三角形中位线有关的证明 题型五 三角形中位线的实际应用 题型六 中点四边形 题型七 直角梯形的定义 题型八 (等腰)梯形的定义 题型九 等腰梯形的性质定理 题型十 等腰梯形的判定定理 拓展训练一 三角形中位线辅助线的添加问题 拓展训练二 三角形中位线的大题综合 拓展训练三 利用三角形中位线求最值 知识点一：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，D，E分别是边的中点． ∴是的中位线， ∴． 故选C． 2．（2025·湖南·模拟预测）在周长为米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为 米． 【答案】400 【分析】本题考查三角形中位线的性质． 三角形中位线等于第三边的一半，所以三条中位线的和等于周长的一半． 【详解】解：如图，周长为米，分别为的中点， 则均为的中位线， （米）， 故答案为：400． 【经典例题一 利用三角形中位线求线段长】 【例1】 （25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，．连接，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B．13 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， ， 如图，取中点，连接， ， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， ， 在中，， ， （负值舍去）， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 ． 【答案】5 【分析】将Rt△ABC绕B点顺时针旋转60°得到Rt△EBD，首先证明Q随着P的运动在ED上运动，然后求解CQ的最小值即为求C到ED的距离，当CQ⊥ED时，CQ的长度即为最小，结合题意求解即可． 【详解】如图所示，将Rt△ABC绕B点顺时针旋转60°得到Rt△EBD， 则此时E、C、B三点在同一直线上， ∵∠ABC=60°，∠PBQ=60°， ∴∠ABP=∠EBQ， 随着P的运动，总有AB=EB，PB=QB， ∴总有△APB≌△EQB（SAS），即：E、Q、D三点在同一直线上， ∴Q的运动轨迹为线段ED， ∴当CQ⊥ED时，CQ的长度最小， ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝20， ∴BC=BD=10，EC=10，即：C为EB的中点， ∵CQ⊥ED，∠D=90°， ∴CQ∥BD，CQ为△EBD的中位线， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理等，解题关键是能够熟练运用旋转的性质，确定点Q的轨迹在线段ED上． 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图，点E是矩形的对角线的中点，点F是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．4.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 先由三角形中位线定理得到的长，再利用勾股定理求出的长，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为 ．    【答案】2 【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由此可解． 【详解】解：中，点D、E分别是边的中点， 是的中位线， ， ，点D是边的中点， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半；直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 3．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）如图，在中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，求线段的长？ 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理的应用、直角三角形斜边的性质等知识点，灵活运用三角形中位线的性质和直角三角形斜边的性质是解题的关键． 利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ， ∵，是的中点，， ， ∵， ， ． 【经典例题二 利用三角形中位线求角度】 【例1】（2025·广东深圳·二模）如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件得出为等腰三角形和顶角的度数，再根据三角形中位线的性质得出和，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵为的中位线， ，且， ， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·湖南永州·月考）如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是由菱形的性质得到，由三角形中位线定理推出，得到．连接，由菱形的性质推出，，判定，得到，求出，由三角形中位线定理推出，得到，即可求出． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为： 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线的性质．根据菱形对角线的性质得到，，进而推出是的中位线，根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在中，，，AD平分交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则的度数为 ． 【答案】119°/119度 【分析】由斜边上的中线得到AE=BE，由点E、F分别是AD、AC的中点得到EF是△ADC的中位线，可得EF∥BC，分别求出和的度数即可． 【详解】∵，AD平分 ∴ ∵ ∴ ∵点E是AD的中点 ∴AE=BE， ∴ ∴ ∵点E、F分别是AD、AC的中点 ∴EF∥BC ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查中位线的性质及直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是正确的处理已知条件中的两个中点． 3．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，点E，F分别为，的中点，点D为上一点，连结交于点G，已知．    (1)求证：平分； (2)已知，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得出，进而利用平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可； （2）根据平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质得出即可． 【详解】（1）解：证明：点，分别为，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ，即平分； （2），， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题考查三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，关键是根据三角形中位线定理得出解答． 【经典例题三 三角形中位线与三角形面积】 【例1】 （25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用是边上的中线，是的中点依次求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， 是的中点， ， ， ∴阴影部分的面积为12， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，D、E分别是，的中点，连接、，如果，那么的面积是 ． 【答案】84 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理的逆定理．根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：，分别是，的中点， ， ∴， ∵， ， ， ∴的面积， 故答案为：84． 1．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图所示，任意四边形，点，，，分别为、、、的中点，若四边形的面积为，那么四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，连接，过点作于，交于，根据三角形中位线定理得到，，得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于，交于， 点，分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， 点为的中点，， ， ， 同理可得：，， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，菱形对角线长分别为、，以菱形各边中点为顶点作矩形，然后再以矩形中点为顶点作菱形，，得到四边形，其面积用含、的代数式表示为 ．    【答案】 【分析】根据三角形中位线定理，逐步得到小长方形的面积，得到规律即可求解． 【详解】解：菱形的对角线长分别为、，， ， 以菱形各边的中点为顶点作矩形，根据中位线的性质可知 ， 由三角形中位线的性质可推得，每得到一次四边形面积就变成原来的一半， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是根据题意找到规律进行求解． 3．（24-25七年级·新疆乌鲁木齐·自主招生）如图，是长方形，其中，，．并且是线段的中点，是线段的中点．求三角形（阴影部分）的面积．    【答案】三角形（阴影部分）的面积为； 【分析】根据矩形的性质及中位线定理可知四边形是矩形，最后利用矩形的性质及中线的性质解答即可． 【详解】解：取的中点，连接，过点作，垂足为， ∵在四边形是矩形， ∴，， ∵是线段的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴是的中线， ∴．    【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，中线的性质，中位线定理，掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题四 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（24-25八年级下·四川南充·月考）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．当时则四边形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线、平行四边形和菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定方法是解题的关键； 根据三角形的中位线定理可得，进而可得，即可得出四边形是平行四边形，结合可得，得到四边形是菱形，即得答案． 【详解】解：∵点、、、分别是四边形边、、、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形； 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下： ∵分别是和边的中点， ∴都是△ABC的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2025·福建福州·模拟预测）已知D是中边上的点，连接并延长至点E，使得．当点D从点B运动到点C时，点E走过的距离d为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造三角形中位线定理，证明即可． 本题考查了三角形中位线定理的应用，正确构造三角形中位线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，延长到点M，使，延长到点N，使， ∵，， ∴是的中位线， 则， ∴点E在一条与平行的直线上运动． 当点D在点B时，点E在点M处；当点D在点C时，点E在点N处． ∴当点D从点B运动到点C时，点E从点M运动到点N． ∵B，C分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，点E在上运动， 当点D在点B时，点E在点M处；当点D在点C时，点E在点N处． ∴当点D从点B运动到点C时，点E从点M运动到点N． ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，顺次连接菱形四边的中点，，，，则四边形是 形． 【答案】矩 【分析】连接、交于点，由菱形的性质可得，再利用三角形中位线的性质证明四边形是平行四边形，，进而证明四边形是矩形． 【详解】如图，连接、交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵点，，，分别是菱形四边的中点， ∴，，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩． 【点睛】本题主要考查了中点四边形、菱形的性质、中位线的性质以及矩形的判定等知识，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 3．（2025九年级·浙江·学业考试）如图，在中，为斜边的中点，为上一点，连接，为的中点，平分． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线、直线平行的性质、等腰三角形的判定、勾股定理： （1）利用三角形中位线证明，利用直线平行的性质及角平分线即可得，据此即可证得结论； （2）根据中位线的性质求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：为斜边的中点，为的中点， 是的中位线， ， ． 平分， ， ， ； （2）解：， ， ． 在中，为斜边的中点． ． ， ． 【经典例题五 三角形中位线的实际应用】 【例1】（2025·湖南长沙·一模）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对边的长度的，因此新三角形周长是前一个三角形周长的． 【详解】解：△ABC周长为1， ∵每条中位线均为其对边的长度的， ∴第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为（）2； 第4个三角形对应的周长为（）3； … 以此类推，第n个三角形对应的周长为（）n﹣1； ∴第2022个三角形对应的周长为（）2021，即， 故选：C． 【点睛】此题考查了中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的是解决问题的关键． 【例2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为 ； 【答案】6 【分析】延长AF交BC于G，证明△ABF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝20，AF＝FG，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长AF交BC于G， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠GBF， 在△ABF和△GBF中， ∵， ∴△ABF≌△GBF（SAS）， ∴BG＝AB＝20，AF＝FG， ∴GC＝BC−BG＝12， ∵D为AB的中点， ∴DF是的中位线， ∴DE∥BC， ∴EF是的中位线， ∴EF＝CG＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ） A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，掌握由三角形中位线等于底边的一半成为解题的关键． 由三角形中位线定理得到，再结合米即可解答． 【详解】解：∵和的中点D、E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴米， ∴A、B两点间的距离为12米． 故选B． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在边长为4的正方形中，E是的中点，F是上一点，，连，，P，Q分别为和的中点，则 ． 【答案】 【分析】如图：连BP并延长交AD于G，连GF，先证明△APG≌△EPB可得BP=PG，AG=BE=2，再由Q为BF的中得PQ=GF，在AGDF中运用勾股定理求出GF，即可求得PＱ． 【详解】解：如图：连BP并延长交AD于G，连GF， ∵AD//BC ∴∠DAE=∠AEB ∵P为AE的中点， ∴AP=PE 在△APG与△EPB中， ∠DAE=∠AEB ，AP=PE，∠APG=∠EPB ∴△APG≌△EPB（ASA） ∴BP=PG，AG=BE=2， ∵Q为BF的中点 ∴PQ=GF ∵E是BC的中点 ∴AG=BE=BC=2， ∴DG=AD-AG=2， ∴GF= ∴PQ=． 故填． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等的判定与性质、中位线定理、勾股定理等知识点，正确运用中位线定理并作出辅助线BG成为解答本题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·周测）某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 【经典例题六 中点四边形】 【例1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，下列结论正确的是（   ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是矩形 B．若四边形是菱形，则四边形是矩形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查了中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E，F，G，H分别是四边形的边的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当四边形是平行四边形，此时无法证明四边形是矩形，故A说法错误，不符合题意； 当四边形是菱形时，则， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形，故B说法正确，符合题意； 若四边形是矩形，则， 又∵，， ∴，此时不能得到四边形是矩形，故C说法错误，不符合题意； 若四边形是正方形时，则，， 又∵，，，， ∴，此时不能四边形是正方形，故D说法错误，不符合题意； 故选：B. 【例2】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）如图，在四边形中，点、F、G、H分别为各边的中点，点A到C的距离、点B到的距离都等于，则四边形的周长是 ． 【答案】/8厘米 【分析】此题主要考查了中点四边形，得出四边形的周长与的关系是解题的关键，难度一般． 根据等腰梯形的性质和三角形的中位线定理有，可知四边形的周长，进而可得出四边形的周长． 【详解】解：如图，顺次连接点、、、，连接、． ∵、、、是四边形各边中点， ∴是的中位线，是的中位线． 即． ∴四边形是平行四边形． 同理， ∵点到的距离、点到的距离都等于， ∴， ∴． ∴平行四边形是菱形． ∴四边形的周长为：． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理可证四边形是矩形，再根据对角线互相垂直的四边形面积可求得的值，最后根据矩形的面积公式即可求解； 【详解】解：点，分别为边，的中点， 是的中位线， ，且， 同理可证，，且， ，且， 四边形为平行四边形， 点，分别为边，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，四边形中，E，F、G、H分别是边，、、的中点，请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等． 【详解】解：如图， ∵E，F分别是边，的中点， ∴，， 同理，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 同理可得：， 要使四边形是矩形，则需，即； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，解题关键是掌握中位线的定义和菱形的判定方法． 3．（25-26八年级上·江苏·假期作业）如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 【经典例题七 直角梯形的定义】 【例1】（2025八年级下·广东湛江·专题练习）如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，关键是根据同底等高的两个三角形面积相等解答．首先得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：由梯形的性质可知，， 由同底等高的两个三角形面积相等，可得：， ， 即， ． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）青青把梯形按照下图的方法转化成平行四边形，且面积保持不变．已知梯形的面积是，高是，平行四边形中的长是( )． 【答案】10 【分析】本题考查梯形和平行四边形的面积．可以判断，平行四边形的面积与梯形面积相等．只要知道平行四边形的高，就能结合面积公式求出底．根据条件可以判断，平行四边形的高是梯形高的一半，也就是4厘米．利用面积除以高即可得到答案． 【详解】由题意可知，平行四边形的高为，面积为， ∴平行四边形中底边的长是， 故答案为：10 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查梯形． 根据梯形的定义，确定点的位置即可． 【详解】解：若，且，则点可以位于、、的位置， 若，且，则点可以位于、的位置， ∴点共有种不同的选法． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）如图的梯形是由一张长方形纸片折叠而成的．这个梯形的面积是( )平方厘米．（单位：） 【答案】32 【分析】本题考查了梯形的面积，梯形的面积=（上底+下底）×高，据此解答此题．由题意可知，梯形的上底是5厘米，下底是厘米，高是4厘米，据此解答即可． 【详解】解：由题意得 （平方厘米） 故答案为：32． 3．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)等腰直角三角；等腰梯 (2)10；21 (3)4平方厘米 【分析】本题主要考查三角形、梯形的有关知识，考查学生应用运动观念，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想的能力和分类讨论、数形结合的思想方法． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状有两种情况，画出图形即可； （2）根据（1）中分析知，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积，利用梯形面积公式即可求解； （3）易得此时重叠部分为等腰直角三角形，计算出此等腰直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状如下： 开始是等腰直角三角形，当经过点D后，重叠部分变为等腰梯形； 故答案为：等腰直角三角；等腰梯； （2）解：如图，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积， 此时运动时间为：（秒）； 过点D作于点E， ∵， ∴ ∴， 故答案为：10；21； （3）解：等腰直角三角形运动4秒时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图，过点E作于点H， 则； ∵， ∴， ∴ 【经典例题八 (等腰)梯形的定义】 【例1】（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质． 根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质得：梯形的面积梯形的面积，， ∴阴影部分的面积梯形的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 答：阴影部分面积是 故答案为：． 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了平移性质，根据平移性质得，计算出即可，熟练掌握平移性质，梯形面积公式，是解题的关键． 【详解】由平移，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有 ．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了直角梯形、等腰梯形的定义和性质，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．根据梯形的定义和性质逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确． 故答案为②④． 3．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 【经典例题九 等腰梯形的性质定理】 【例1】（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，点是线段上一点，于点，四边形为矩形，若，的面积为，矩形的面积为，则下列图形中面积可以确定的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C．梯形的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据矩形的性质和梯形的性质利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， 则， ， ， 则， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， 的面积可以确定， 故选：D． 【点睛】此题考查梯形，解题的关键是根据矩形的性质得出解答． 2．（24-25八年级·江苏·假期作业）如图，在等腰梯形中，，，点P是上一点，，，，若，，则＝ ．    【答案】14 【分析】过P作，把分成两段，根据矩形得到，再证明和全等得到，继而可得出结论． 【详解】解：过P作，垂足为H，如图所示：    ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在等腰梯形中，， ∴， 又，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，利用“截长补短法”的截长，即把较长的线段截为两段，再分别证明线段相等，从而问题得以解决． 3．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知四边形是等腰梯形，其中，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作出四边形的对称轴； (2)如图2，M为上任意一点，在上找出点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查等腰梯形、等腰三角形的性质，轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质， （1）根据等腰梯形的性质和三角形的判定及性质可得直线即为等腰梯形的对称轴； （2）根据等腰梯形的性质得和，结合轴对称的性质得，即可知，则有成立． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作． 【经典例题十 等腰梯形的判定定理】 【例1】（2025·上海黄浦·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键． 【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 【例2】（2025八年级下·上海·专题练习）已知在梯形中，，，，那么等于 度． 【答案】108 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期末）在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形为矩形，故A正确，不符合题意； B、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴四边形为等腰梯形或矩形，故B错误，符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故C正确，不符合题意； D、如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海·月考）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，交于点E，求出，然后根据等边对等角得到，进而求出，然后结合求解即可； （2）如图所示，连接，利用等边对等角和平行线得到，求出，然后结合求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，延长，交于点E ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等腰梯形的判定，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【拓展训练一 三角形中位线辅助线的添加问题】 【例1】（2025·河北保定·一模）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．已知点D、点E分别为、的中点，求证：DEBC，．小丽在思考后尝试作了一种辅助线．如图．在试图证明时，小丽想到了两种作法，①通过证明得到；②通过证明四边形是平行四边形得到，则下列说法正确的是（    ） 小丽的辅助线作法： 延长到F，使， 连接、、． A．①、②作法都可以 B．①、②作法都不可以 C．①作法可以、②作法不可以 D．①作法不可以、②作法可以 【答案】A 【分析】试着按两种方法进行证明即可． 【详解】解：①∵点E分别为的中点， ∴， 在和中， ∴（SAS） ∴，故①可以； ②∵点E分别为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故②可以； 综上，①、②作法都可以， 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的证明，本题介绍的两种思路，作辅助线，证全等和构建平行四边形解决问题，熟练掌握平行四边形的性质和判定是关键． 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 1．（24-25八年级下·广东东莞·期末）如图，分别是的边的中点． (1)写出与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)作图与证明：添加辅助线作图并证明（1）中的结论（可选用但不限于以下辅助线的作法“延长至点，使得，连接”）． 【答案】(1)，； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出是的中位线，即可得解； （2）延长至点，使得，连接．证明四边形是平行四边形，得出，再证明四边形是平行四边形．得出．即可得证． 【详解】（1）解：∵分别是的边的中点 ∴是的中位线， ∴，； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接． ， ∵分别是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 又：， ∴，且． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，于点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，取中点，连接、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形．（不包括矩形和） 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由，推出，又，推出四边形是平行四边形，只要证明，即可推出四边形是矩形． （2）根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定即可找出图中的所有平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∵G、E分别为、的中点， ∴线段、线段、线段都是的中位线， ∴，，，，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形； ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ∵，， ∴四边形为平行四边形； ∵，， ∴四边形为平行四边形． 综上分析平行四边形有：，，，． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（24-25九年级上·山西长治·期中）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________________． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． …… （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________． 【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；（2）见解析；（3）18米 【分析】本题主要考查中位线的判定和性质及运用，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质， （1）根据中位线的性质即可求解； （2）点分别是的中点，则，，过点作，与的延长线交于点，可证，四边形是平行四边形，由此即可求证； （3）根据中位线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）已知：在中，点分别是的中点． 求证：． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点， ∴，且， ∴， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． （3）接，分别取的中点，测得的长度为9米， ∴米， 故答案为：18米． 【拓展训练二 三角形中位线的大题综合】 【例1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 1．（24-25八年级下·江西赣州·期中）已知等腰直角三角形，点分别为中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出三角形的中位线； (2)在图2中，画出点关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的中线及中位线定理，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图即可． （1）连接、交于点，连接并延长，与的交点即为中点，连接即可； （2）令与的交点为点，连接并延长至点，连接并延长至点，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作； 令与的交点为点，连接并延长至点，连接并延长至点，与的交点为． 是等腰直角三角形， ，， 点分别为中点， 、是的中位线，，， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， 即点和点关于对称． 2．（2025·广西南宁·一模）应用与探究 【情境呈现】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．    【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值； （2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； 【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为，此时的值为． 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系，掌握相关性质是解题的关键． （1）由，，得到，即可求解； （2）当四边形是矩形时，，求出旋转角，即可求解； （3）取中点，连接，当三点共线时，最大值，可求出最大值为，此时的值为． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）如图：    当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴旋转角， ∴（秒）， ∴的值为； （3）取中点，连接，如图：    ∵是中点， ∴中位线， 在中，， ∴， ∴ ， ∵是斜边上中线， ∴， 当不在同一直线上时， ， 当在线段上时， ， ， ∴三点共线时，最大值， 此时，如图，   ，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角为， ∴（秒）， 综上，存在最大值为，此时的值为． 3．（24-25八年级下·山西太原·期中）下面是小颖证明命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的过程，请阅读后完成相应任务． 已知：如图1，中，． 求证：_________ 证明：延长BC到点D，使，连接AD． ∵， ∴ ∵， ∴．∴． ∴是等边三角形．（依据：____________） ∴，∴． (1)上述过程中，求证的结论为____________；括号中的依据为_________________________________； (2)证明以上命题后，小颖运用它解决了下列问题． 请从A，B两题中任选一题补全图形并作答．我选择_________题． 如图2，在中，，点E是AB的中点． A．过点E作EF垂直于AC，垂足为点F，求EF的长． B．过点E作EF垂直于AB，垂足为点E，交AC于点F，求EF的长． 【答案】(1)，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 (2)A题：；B题： 【分析】(1)根据命题的结论写出答案即可，根据等边三角形的判定填写即可． (2)自主选择一题结合结论求解即可． 【详解】（1）已知：如图1，中，． 求证：． 证明：延长BC到点D，使，连接AD． ∵， ∴ ∵， ∴．∴． ∴是等边三角形．（依据：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） ∴，∴． （2）选A题： 如图2，补图如下： ∵，点E是AB的中点， ∴， ∴AE=EB=３， ∵EF⊥AC， ∴． 选B题： 如图3，补图如下： ∵， ∴，AE=EB=3， ∵EF⊥AB，E是AB的中点， ∴EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF， ∴∠A=∠ABF=30°， 设EF=x， ∴AF=2EF=2x， ∴， 解得(舍去) 故EF=． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【拓展训练三 三角形中位线的大题综合】 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 【例2】（2025·广东·模拟预测）如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点，点、分别为、的中点，连接，则长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．连接，证明是的中位线，则，根据题意得到当点M与点B重合时，最大，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，    ∵，分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点，分别在边，上， ∴当点M与点B重合时，最大， ∵ ∴此时， ∴长度的最大值为， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【答案】2.4 【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接．   ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】6.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，动点最值问题，掌握利用中位线定理将转化为的一半，通过分析的最大值来求的最大值是解题的关键． 连接，利用三角形中位线定理将转化为的一半，再分析的最大值，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当的值最大时，的值最大． 当点与点重合时，的值最大， 此时， 的最大值为． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． （定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程． （定理应用）（2）如图②，四边形中，分别为的中点，边延长线交于点，，则的度数是_______． （3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）长的最大值为，最小值为1． 【分析】（1）延长至F，使，连接，根据题意证明，然后证明四边形为平行四边形，即可得出，； （2）首先由三角形中位线的性质得到， 然后根据三角形外角的性质得到，可得到，由即可求出的度数． （3）延长至H，使，连接，，可得 ，可得当最小或最大时，最小或最大，由题意可得当点F在线段上时，最小，当点F在线段的延长线上时，最大，根据勾股定理求出的长度，然后即可求出线段长的最大值和最小值． 【详解】（1）证明：延长至F，使，连接， 在和中， ， ∴，， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，； （2）∵分别为的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ， 又∵， ∴ ， ∴ ； （3）解：延长至H，使，连接，， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， 当点F在线段上时，最小，最小值为， 当点F在线段的延长线上时，最大，最大值为， ∴长的最大值为4，最小值为1． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，勾股定理的运用，线段最值问题，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理． A基础训练 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：连接等边三角形各边中点得到的图形是等边三角形，共有三条对称轴； 连接平行四边形各边中点得到的图形是平行四边形，不是轴对称图形，没有对称轴； 连接矩形各边中点得到的图形是菱形，共有两条对称轴； 连接正方形各边中点得到的图形是正方形，共有四条对称轴； 所以对称轴条数最多的图形是D． 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，跷跷板的支柱经过它的中点，且垂直地面于点，．当它的一端着地时，另一端离地面的高度为（    ） A．0.6m B．1m C．1.2m D．1.5m 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 过点作交的延长线于，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：过点作交的延长线于， ， ， ， ， ∴是的中位线， ∴, 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在矩形中，点M，N分别是和的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质和三角形中位线的性质，灵活运用相关的知识是解题的关键． 根据中位线的性质和矩形的性逐一分析，判定即可． 【详解】∵点M，N分别是和的中点， ∴， 在矩形中，，， ∴，， 因此A、C是正确的， ∵，， ∴， ∴，因此D是正确的， B选项不能证明，是错误的， 故选：B． 5．（24-25八年级下·河北衡水·期中）数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（    ） 甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．    乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．    A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是 【答案】A 【分析】甲中，如图，连接，由矩形，可得，则、、、、分别是、、、的中位线，，，即，四边形是菱形；乙中，由折叠可知，，，由矩形，可得，，则，，，四边形是菱形． 【详解】解：甲中，如图，连接，    ∵矩形， ∴， ∴、、、、分别是、、、的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，符合要求； 乙中，由折叠可知，，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线，菱形的判定，折叠的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． B 提高训练 6．（24-25八年级下·湖北·期中）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件AC BD．就能保证四边形EFGH是菱形． 【答案】= 【分析】根据中点四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等． 【详解】解：∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形， ∴根据菱形的性质，只要再有一组邻边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可， 则AC=BD， 故答案为：=． 【点睛】本题考查菱形的判定，四边相等的四边形是菱形和中位线定理，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不大． 7．（24-25八年级下·山西长治·月考）如图所示（长度单位：），梯形是由一张长方形纸折叠而成的． （1）这个梯形的高是 . （2）梯形的面积是 ． （3），则 ． 【答案】 40 【分析】本题考查梯形的特征、长方形的特征、折叠的性质，（1）由图可得，长方形的宽和梯形的高相等，即可求解； （2）由图可得，梯形的底和长方形的长相同，再利用梯形的面积公式计算即可； （3）由折叠的性质，，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得，这个梯形的高是， 故答案为：； （2）由图可得，， 故答案为：40； （3）由折叠的性质可得，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC= ． 【答案】 【分析】根据平行线与等腰三角形证明，进而证明，得到AD=DF，再证明EF=CE，根据线段的和差关系求得CE，进而得到BE即可得出答案． 【详解】，， ∵梯形ABCD中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查梯形的性质，等腰三角形的性质与判断，互余的性质，求出CE的长是关键． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为 为正整数． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：在中，，由点分别是边的中点，点分别是的中点，， 点分别是的中点， 可得， 故． 故答案为：． C 培优训练 11．（2026八年级下·湖北荆州·专题练习）如图，点D，E，F分别是的三边，，的中点，，．求四边形的周长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、线段中点的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据三角形的中位线定理、线段中点的定义可得，，，，由此即可求解． 【详解】解：点D，E，F分别是的三边，，的中点，，， ，，，， ∴四边形的周长为． 12．（2025·陕西咸阳·二模）如图， 在中， D为边的中点， E为边上的点，， 且与的延长线交于点F， 使得． 求证： 【答案】见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．先证明，得到相应的边长相等，可得到是的中位线，即可得到答案； 【详解】证明: ∵, ∴， 在和中 ∴，                                     ∴, ∴是的中位线， 13．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 15．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可； （3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可； （4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可． 【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形； 由（3）可知：， ∴中点四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形的中位线重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 利用三角形中位线求线段长 题型二 利用三角形中位线求角度 题型三 三角形中位线与三角形面积 题型四 与三角形中位线有关的证明 题型五 三角形中位线的实际应用 题型六 中点四边形 题型七 直角梯形的定义 题型八 (等腰)梯形的定义 题型九 等腰梯形的性质定理 题型十 等腰梯形的判定定理 拓展训练一 三角形中位线辅助线的添加问题 拓展训练二 三角形中位线的大题综合 拓展训练三 利用三角形中位线求最值 知识点一：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·湖南·模拟预测）在周长为米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为 米． 【经典例题一 利用三角形中位线求线段长】 【例1】 （25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，．连接，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B．13 C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 ． 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图，点E是矩形的对角线的中点，点F是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．4.5 2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为 ．    3．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）如图，在中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，求线段的长？ 【经典例题二 利用三角形中位线求角度】 【例1】（2025·广东深圳·二模）如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖南永州·月考）如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是 ． 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在中，，，AD平分交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则的度数为 ． 3．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，点E，F分别为，的中点，点D为上一点，连结交于点G，已知．    (1)求证：平分； (2)已知，若，求的度数． 【经典例题三 三角形中位线与三角形面积】 【例1】 （25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，D、E分别是，的中点，连接、，如果，那么的面积是 ． 1．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图所示，任意四边形，点，，，分别为、、、的中点，若四边形的面积为，那么四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，菱形对角线长分别为、，以菱形各边中点为顶点作矩形，然后再以矩形中点为顶点作菱形，，得到四边形，其面积用含、的代数式表示为 ．    3．（24-25七年级·新疆乌鲁木齐·自主招生）如图，是长方形，其中，，．并且是线段的中点，是线段的中点．求三角形（阴影部分）的面积．    【经典例题四 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（24-25八年级下·四川南充·月考）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．当时则四边形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是 （写出一种情况即可）． 1．（2025·福建福州·模拟预测）已知D是中边上的点，连接并延长至点E，使得．当点D从点B运动到点C时，点E走过的距离d为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，顺次连接菱形四边的中点，，，，则四边形是 形． 3．（2025九年级·浙江·学业考试）如图，在中，为斜边的中点，为上一点，连接，为的中点，平分． (1)求证：． (2)若，求的长． 【经典例题五 三角形中位线的实际应用】 【例1】（2025·湖南长沙·一模）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为 ； 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ） A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在边长为4的正方形中，E是的中点，F是上一点，，连，，P，Q分别为和的中点，则 ． 3．（25-26八年级下·全国·周测）某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【经典例题六 中点四边形】 【例1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，下列结论正确的是（   ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是矩形 B．若四边形是菱形，则四边形是矩形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是正方形 【例2】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）如图，在四边形中，点、F、G、H分别为各边的中点，点A到C的距离、点B到的距离都等于，则四边形的周长是 ． 1．（25-26九年级上·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，四边形中，E，F、G、H分别是边，、、的中点，请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是 ． 3．（25-26八年级上·江苏·假期作业）如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【经典例题七 直角梯形的定义】 【例1】（2025八年级下·广东湛江·专题练习）如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）青青把梯形按照下图的方法转化成平行四边形，且面积保持不变．已知梯形的面积是，高是，平行四边形中的长是( )． 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）如图的梯形是由一张长方形纸片折叠而成的．这个梯形的面积是( )平方厘米．（单位：） 3．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【经典例题八 (等腰)梯形的定义】 【例1】（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【例2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是 ． 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有 ．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 3．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【经典例题九 等腰梯形的性质定理】 【例1】（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，点是线段上一点，于点，四边形为矩形，若，的面积为，矩形的面积为，则下列图形中面积可以确定的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C．梯形的面积 D．的面积 2．（24-25八年级·江苏·假期作业）如图，在等腰梯形中，，，点P是上一点，，，，若，，则＝ ．    3．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知四边形是等腰梯形，其中，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作出四边形的对称轴； (2)如图2，M为上任意一点，在上找出点，使． 【经典例题十 等腰梯形的判定定理】 【例1】（2025·上海黄浦·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【例2】（2025八年级下·上海·专题练习）已知在梯形中，，，，那么等于 度． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期末）在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 2．（24-25九年级上·上海·月考）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【拓展训练一 三角形中位线辅助线的添加问题】 【例1】（2025·河北保定·一模）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．已知点D、点E分别为、的中点，求证：DEBC，．小丽在思考后尝试作了一种辅助线．如图．在试图证明时，小丽想到了两种作法，①通过证明得到；②通过证明四边形是平行四边形得到，则下列说法正确的是（    ） 小丽的辅助线作法： 延长到F，使， 连接、、． A．①、②作法都可以 B．①、②作法都不可以 C．①作法可以、②作法不可以 D．①作法不可以、②作法可以 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 1．（24-25八年级下·广东东莞·期末）如图，分别是的边的中点． (1)写出与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)作图与证明：添加辅助线作图并证明（1）中的结论（可选用但不限于以下辅助线的作法“延长至点，使得，连接”）． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，于点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，取中点，连接、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形．（不包括矩形和） 3．（24-25九年级上·山西长治·期中）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________________． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． …… （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________． 【拓展训练二 三角形中位线的大题综合】 【例1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 1．（24-25八年级下·江西赣州·期中）已知等腰直角三角形，点分别为中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出三角形的中位线； (2)在图2中，画出点关于的对称点． 2．（2025·广西南宁·一模）应用与探究 【情境呈现】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．    【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值； （2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； 【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·山西太原·期中）下面是小颖证明命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的过程，请阅读后完成相应任务． 已知：如图1，中，． 求证：_________ 证明：延长BC到点D，使，连接AD． ∵， ∴ ∵， ∴．∴． ∴是等边三角形．（依据：____________） ∴，∴． (1)上述过程中，求证的结论为____________；括号中的依据为_________________________________； (2)证明以上命题后，小颖运用它解决了下列问题． 请从A，B两题中任选一题补全图形并作答．我选择_________题． 如图2，在中，，点E是AB的中点． A．过点E作EF垂直于AC，垂足为点F，求EF的长． B．过点E作EF垂直于AB，垂足为点E，交AC于点F，求EF的长． 【拓展训练三 三角形中位线的大题综合】 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东·模拟预测）如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点，点、分别为、的中点，连接，则长度的最大值为 ． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． （定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程． （定理应用）（2）如图②，四边形中，分别为的中点，边延长线交于点，，则的度数是_______． （3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值． A基础训练 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A． 条 B．条 C．条 D．条 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，跷跷板的支柱经过它的中点，且垂直地面于点，．当它的一端着地时，另一端离地面的高度为（    ） A．0.6m B．1m C．1.2m D．1.5m 4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在矩形中，点M，N分别是和的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北衡水·期中）数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（    ） 甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．    乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．    A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是 B 提高训练 6．（24-25八年级下·湖北·期中）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件AC BD．就能保证四边形EFGH是菱形． 7．（24-25八年级下·山西长治·月考）如图所示（长度单位：），梯形是由一张长方形纸折叠而成的． （1）这个梯形的高是 . （2）梯形的面积是 ． （3），则 ． 8．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC= ． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为 为正整数． C 培优训练 11．（2026八年级下·湖北荆州·专题练习）如图，点D，E，F分别是的三边，，的中点，，．求四边形的周长． 12．（2025·陕西咸阳·二模）如图， 在中， D为边的中点， E为边上的点，， 且与的延长线交于点F， 使得． 求证： 13．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 15．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $