专题07 动量　动量和能量观点的综合应用（4大核心考点，举一反三复习讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习

专题07 动量　动量和能量观点的综合应用 第一部分 思维导图 第二部分 核心考点精讲 【考点01】 动量定理的理解和应用 【考点02】 动量定理解决两类连续体问题 【考点03】 动量守恒定律及其应用 【考点04】 “碰撞”模型及其拓展 第三部分 题海精炼 考点01 动量定理的理解和应用 1．冲量的三种计算方法 公式法 I＝Ft适用于求恒力的冲量 动量定理法 多用于求变力的冲量或F、t未知的情况 图像法 F­t图线与时间轴围成的面积表示力的冲量。若F­t成线性关系，也可直接用平均力求解 2.应用动量定理时应注意的问题 (1)动量定理的研究对象可以是单一物体，也可以是一个系统，在研究系统问题时，受力分析只考虑系统的外力。 (2)动量定理的表达式是矢量式，使用时要关注力、初速度、末速度的方向，为了方便要规定正方向。 (3)动量定理是合力的冲量等于物体动量的改变量，要注意合力与单个力的区别。 【典例1】 （多选）（2025·天津·一模）汽车安全性能是当今衡量汽车品质的重要指标。汽车碰撞试验是综合评价汽车安全性能最有效的方法。汽车发生碰撞时，关于安全气囊对驾驶员的保护作用，下列说法正确的是 （　　） A．改变了驾驶员的惯性 B．减小了驾驶员的动量变化率 C．减小了驾驶员受到的冲力 D．减小了驾驶员的动量变化 【答案】BC 【详解】A．惯性大小由物体的质量决定，安全气囊对驾驶员的保护作用并没有改变驾驶员的惯性，故A错误； D．汽车发生碰撞过程中，驾驶员始末状态的速度一定，即驾驶员的动量变化一定，故D错误； BC．根据动量定理有 可得 由于安全气囊对驾驶员的保护作用，作用时间变大，减小了驾驶员受到的冲力，结合上述可知，减小了驾驶员的动量变化率，故BC正确。 故选BC。 【变式1-1】（2026·海南海口·二模）“抡大锤”游戏可以充分展示抡锤者的力量与智慧。如图所示，初始时跷板左端B点静置一小球，游戏时大锤竖直砸在跷板右端A点并与之共速，在跷板水平时，跷板右端接触支点并停止运动，小球被跷板竖直向上抛出，若小球击中其正上方的铃铛，则抡锤者获胜。某次游戏中，大锤被举起至与A点的竖直高度为的C点后由静止抡出，游戏者恰好获胜（小球与铃铛接触时速度可视为零）。已知O点为跷板的支点且，跷板水平时，铃铛到小球的距离为，大锤质量为，小球可视为质点，跷板质量及其摩擦不计，忽略空气阻力，重力加速度g取。 (1)求该次游戏中小球刚被抛出时的速度大小； (2)若该次游戏中大锤与跷板作用时受到的平均作用力大小为，大锤与跷板的碰撞时间为，碰撞过程中忽略人对大锤的作用力，大锤与跷板碰撞时的相互作用力可视为竖直方向，求： ①大锤刚接触A点时的速度大小； ②人对大锤做的功。 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）小球被抛出后做竖直上抛运动，由运动学公式可得 解得小球刚被抛出时的速度大小为 （2）①由题意可知，A、B两点绕O点转动，角速度相等，则有 解得小球离开跷板时大锤的速度大小为 对大锤，根据动量定理有 解得 ②该次游戏中，对大锤，根据动能定理有 解得人对大锤做的功为 【变式1-2】（2025·广东肇庆·一模）如图甲所示为滑雪运动员的一种训练设施，足够长的滑道倾角，滑道上有一名质量kg的运动员（含滑板）通过轻绳与电动机相连，轻绳对运动员的拉力F随时间变化的关系如图乙所示。时刻，运动员由静止出发，沿滑道做直线运动，已知运动员的滑板与滑道间的动摩擦因数，重力加速度g取10m/s2，，。求： (1)时，运动员的速度大小； (2)1~3s内拉力F的冲量大小； (3)运动员从开始运动到最低点所用的时间。 【答案】(1)4m/s；(2)480N·s；(3)4s 【详解】（1）0~1s内，由牛顿第二定律，有 时速度大小 代入数据解得 （2）F-t图线与坐标轴所围的面积表示冲量，可知1~3s内拉力F的冲量大小 （3）设s时，运动员速度大小为，由题图乙可知，此时N，由动量定理有 设时，运动员速度大小为0，即到达最低点 联立解得s 【变式1-3】（2025·四川成都·一模）篮球从离地一定高度处静止释放，与地面碰撞后反弹上升到最高点的过程中，所受空气阻力大小与速度大小成正比，碰撞过程无能量损失，篮球在该过程中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】空气阻力大小与速度大小成正比，设空气阻力为 下落过程由牛顿第二定律可得，故随着速度增大，加速度越来越小，下落时做加速度逐渐减小的加速运动 与地面碰撞后上升阶段，由牛顿第二定律可得，故随着速度减小，加速度越来越小，上升时做加速度逐渐减小的减速运动。 设小球下落高度为，上升高度为，则下落时空气阻力冲量的大小为 上升时空气阻力冲量的大小为 规定向下为正方向，由动量定理，下落时 上升时，故。 故选D。 考点02 动量定理解决两类连续体问题 模型一：流体类问题 流体及其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ 分析 步骤 1 如图，建立“柱状”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl＝vΔt，对应的质量为Δm＝ρSvΔt 3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体，即FΔt＝ΔmΔv，分两种情况：(以原来流速v的方向为正方向) (1)作用后流体微元停止，有Δv＝－v，代入上式有F＝－ρSv2； (2)作用后流体微元以速率v反弹，有Δv＝－2v，代入上式有F＝－2ρSv2 模型二：微粒类问题 微粒及其特点 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n 分析 步骤 1 建立“柱状”模型，沿运动的方向选取一段柱形微元，柱体的横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形微元的长度为Δl＝vΔt，对应的体积为ΔV＝SvΔt，则微元内的粒子数N＝nvSΔt 3 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算 【典例2】【改编】（2025·北京石景山·一模）神秘宇宙散发着无尽魅力，吸引着人们不断追寻和探索。 (1)某深空探测器在远离星球的宇宙深处航行时，由于宇宙中的星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计，此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。当探测器驶入一片分布均匀、静止的宇宙尘埃区域时，为了保持原有的速率v，必须开启发动机。若该区域单位体积内有质量为m0的尘埃，尘埃碰到探测器后立即吸附在上面，探测器可视为半径为R的球体。求发动机的推力大小F； 【答案】 【详解】（1）探测器t时间内撞上的尘埃总质量 由动量定理有 解得 【变式2-1】（2025·广东佛山·模拟预测）悬浮床是一种基于气体流动悬浮原理设计的医疗设备，通过向床内充入高压气体，使重症烧伤患者的身体悬浮在空中，从而减少创面受压，促进创面愈合。人体下方的床板源源不断的往上喷出气体，设气体遇到人体后速度大小变为原本的十分之一，方向向下。已知人体质量为M，喷出气体的速率为v，重力加速度为g，则t时间内喷出气体的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设极短时间内喷出气体的质量为，以喷出气体为对象，根据动量定理可得 又 联立可得 根据 可得t时间内喷出气体的质量为 故选D。 【变式2-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）图为环卫工人用高压水枪冲洗马路情景：射向地面的水看成横截面积为S的水柱，以速度大小为v（方向与地面成53°角）喷到水平地面，随即以与地面成37°角被溅起，溅起时的速率为，设水对地面作用力与地面成θ角，则θ的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选取质量为Δm的水为研究对象，设水与地面的作用时间为Δt，取向右为正方向，水平方向根据动量定理得 取竖直向上为正方向，竖直方向根据动量定理得 解得 故选C。 【变式2-3】【改编】（2025·江西南昌·二模）如图所示，将一充满水的皮球放置在水平地面上，之后在皮球上扎个洞，水流从洞口喷出后在空中形成一段稳定的水柱，水流从洞口出射的速度方向与竖直方向成37°，洞口面积为，洞口到地面的高度为，水柱最高点离地高度为，水流与地面碰撞后沿水平方向散开，水的密度为，重力加速度大小g取。求： (1)水从喷出到落地所用时间； (2)水流对地面的冲击力； (3)空中水柱的机械能（以地面为零势能面）。 【答案】(1)0.5s；(2)0.6N，方向竖直向下；(3) 【详解】（1）水柱喷出后上升到最高点所用时间为，从最高点落到地面时间为，则 上升    下降    解得 全过程   水喷出速度为，则 （2）水落地时的竖直速度，水流对地面的冲击力为F 落地时根据动量定理可知   解得，方向竖直向下； 考点03 动量守恒定律及其应用 1．应用动量守恒定律分析问题的关键步骤 2．碰撞现象满足的规律 (1)动量守恒定律。 (2)动能之和不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。 (3)若碰后同向，后方物体速度不大于前方物体速度。 3．两种碰撞特点 (1)弹性碰撞 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。 以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性正碰为例，有 m1v1＝m1v1′＋m2v2′ m1v＝m1v1′2＋m2v2′2 解得v1′＝，v2′＝。 结论： ①当两球质量相等时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。 ②当质量大的球碰质量小的球时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都沿速度v1的方向运动。 ③当质量小的球碰质量大的球时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。 (2)完全非弹性碰撞 动量守恒、末速度相同：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共，机械能损失最多，机械能的损失：ΔE＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v。 【典例3】（2026·四川雅安·一模）如图所示，静置于光滑水平面的底座上固定有内壁光滑的U型管道（管道在竖直面内），半径比管道内径略小的小球以某一初速度沿水平方向进入管道。小球在管道内运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球对管道的弹力始终不做功 B．小球对管道的弹力的冲量始终为零 C．小球、管道与底座构成的系统动量守恒 D．小球、管道与底座构成的系统机械能守恒 【答案】D 【详解】A．小球在管道弯曲部分运动时，会对管道产生一个作用力（弹力）。由于底座放置在光滑水平面上，这个弹力在水平方向的分力会使管道和底座发生水平位移。因此，小球对管道的弹力在位移方向上有分量，会对管道做功。故A错误； B．小球在管道弯曲部分运动时，小球对管道的弹力在水平方向的分力不为零，根据动量定理，这个弹力的冲量等于管道（及底座）动量的变化量。由于管道（及底座）从静止开始运动，其动量发生变化，所以弹力的冲量不为零。故B错误； C．小球、管道与底座构成的系统在水平方向上动量守恒。故C错误； D．小球、管道与底座构成的系统，整个过程中，只有重力和系统内的弹力做功，则系统的机械能守恒。故D正确。 故选D。 【变式3-1】（多选）（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n＝1，2，3…）。每人只有一个沙袋，x>0一侧的每个沙袋质量为m＝14kg，x<0一侧的每个沙袋质量，一质量为M＝58kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行，不计轨道阻力，当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。则（　　） A．空车出发后，车上堆积了3个沙袋时车就会反向滑行 B．空车出发后，车上堆积了4个沙袋时车就会反向滑行 C．车上最终共有大小沙袋11个再次反向 D．车上最终共有大小沙袋14个再次反向 【答案】BD 【详解】AB．在小车朝正x方向滑行的过程中，第（n－1）个沙袋扔到车上后的车速为，第n个沙袋扔到车上后的车速为，由动量守恒定律 解得 小车反向运动的条件是，即， 代入数据解得 n应为整数，故n＝4 即车上堆积4个沙袋后车就反向滑行，故B正确，A错误； CD．车自反向滑行直到接近x<0一侧第1人所在位置时，车速保持不变，而车的质量为M＋4m。若在朝负x方向滑行过程中，第（n－1）个沙袋扔到车上后车速为，第n个沙袋扔到车上后车速为，现取在图中向左的方向（负x方向）为速度、的正方向，则由动量守恒定律有车不再向左滑行的条件是 若反向有 解得n＝10 n＝10时，车反向滑行，即在x<0一侧第10个沙袋扔到车上后车就反向，所以车上最终共有大小沙袋14个，故D正确，C错误。 故选BD。 【变式3-2】（2025·吉林·三模）如图是古代奥林匹克立定跳远的陶瓷画，图中的运动员手持一种负重物起跳，这可以使运动员跳得更远。若某位运动员的质量为60kg，两手各持一个质量为3kg的负重物，在某次立定跳远练习过程中，起跳离地时速度大小为5m/s，方向与水平方向成37°夹角，在最高点沿水平方向将两个负重物相对于地面速度为零扔出，不计空气阻力，扔出重物时间极短，重力加速度大小取。与在最高点不扔出负重物相比，运动员可以多跳的距离是多少？（，） 【答案】0.12m 【详解】运动员起跳时，竖直方向的速度 水平方向的速度 运动员在空中运动的时间 设运动员质量为，负重的质量为，运动员在最高点将两个负重物相对于地面速度为零扔出的过程中，根据水平方向动量守恒有 解得 运动员多跳的距离为 解得 【变式3-3】（多选）（2026·河北·一模）如图甲所示，a、b两个粒子都带正电，带电荷量均为q，a的质量为m，b的质量为2m。t=0时刻，a、b间距离为L，a速度大小为v，方向沿a、b连线指向b，b速度为0，仅在彼此静电力作用下，它们靠近后又被弹开，经过足够长时间，最终均做匀速直线运动。粒子运动轨迹在同一直线上，两粒子组成系统的电势能Ep与两粒子间距离r的关系为，Ep-r图像如图乙所示。当两个粒子间的距离趋于无限远时，静电力可忽略，则（　　） A．a、b距离最近时，a的速度大小为 B．a、b距离最近时，系统的电势能等于 C．当a、b距离再次等于L时，b的速度大小为 D．当r趋于无穷大时，a的速度大小为，方向与初速度相反 【答案】AC 【详解】A．a、b距离最近时，二者速度相等，根据动量守恒定律可得 所以，故A正确； B．根据能量守恒定律可得 所以，故B错误； C．当a、b距离再次等于L时，即系统的电势能不变，则， 联立解得， 即b的速度大小为，故C正确； D．由以上分析可知，当a、b距离再次等于L时，a的速度大小为，方向与初速度相反，之后a将继续做加速运动，所以当r趋于无穷大时，a的速度大于，方向与初速度相反，故D错误。 故选AC。 考点04 “碰撞”模型及其拓展 模型归纳 “弹簧类”模型 (1)系统动量守恒； (2)系统机械能守恒； (3)共速时弹簧最长或最短，系统动能损失最大，弹簧的弹性势能最大，类似于完全非弹性碰撞； (4)弹簧再次恢复原长时弹簧的弹性势能再次为零，系统动能最大，整个过程类似于弹性碰撞，此时m2速度最大 “轨道类”模型 (1)水平方向动量守恒； (2)系统机械能守恒； (3)最高点：m与M共速。mv0＝(M＋m)v共；mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为m上升的最大高度(完全非弹性碰撞拓展模型)； (4)最低点：mv0＝mv1＋Mv2；mv＝mv＋Mv(弹性碰撞拓展模型) 滑板滑块模型 (1)系统动量守恒； (2)系统机械能不守恒，损失的动能等于产生的内能：－ΔEk＝Q＝fx相 电磁感应中的“双杆”模型(水平导轨都光滑) 达到共速时相当于完全非弹性碰撞，动量满足mv0＝(m＋M)v共，损失的动能最大，转化为电能 【典例4】（多选）（2026·福建·一模）如图所示，三小球a、b、c的质量分别为m、2m、6m，放于光滑的水平面上，小球b、c中间的轻质弹簧此时为原长（弹簧与小球均没有连接，可以分离），小球c右侧有一固定挡板。现让小球a以速度v0向右运动，与小球b碰后黏在一起，a、b两小球碰撞时间极短，当ab整体向右运动速度为时撤去挡板，则（　　） A．此后的运动过程中弹簧的最大弹性势能为 B．此后的运动过程中弹簧的最大弹性势能为 C．此后的运动过程中小球c的最大速度为 D．运动全过程中，弹簧的最大弹性势能可能为 【答案】AC 【详解】ABD．小球a、b碰后黏在一起，根据动量守恒有 可得小球a、b碰后黏在一起的速度为 撤去挡板后，当a、b、c速度相同时弹簧弹性势能最大，设a、b、c共同速度为，以a、b、c整体为研究对象，根据动量守恒定律 解得 根据能量守恒定律可得弹簧的最大弹性势能为 所以运动全过程中，弹簧的最大弹性势能不可能为，故A正确，BD错误； C．当弹簧恢复原长时，小球的速度最大，根据动量守恒定律有 根据能量守恒有 联立解得小球c的最大速度为，故C正确。 故选AC。 【变式4-1】（多选）（2026·湖南湘潭·二模）如图所示，将两个质量分别为、的小球甲、乙叠放在一起，中间留有微小空隙，从初始高度处由静止释放。甲球与地面碰撞后立即以原速率反弹，并与乙球发生弹性碰撞，所有的相互作用和运动都发生在竖直方向上，不计空气阻力，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．若，则乙球回弹的高度为 B．若，则乙球回弹的最大高度为 C．若在乙球上方以同样方式放置一个质量为的小球丙且满足，则丙球回弹的最大高度为 D．若以相同方式共放置个小球且满足，则第个球弹回时的速度 【答案】BD 【详解】AB．小球下降过程做自由落体运动，由匀变速直线运动的速度一位移公式 解得触地时两球速度相同，为 甲球碰地之后，速度瞬间反向，大小相等，选两球碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，设碰后甲球、乙球速度大小分别为、，选向上为正方向，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 反弹后高度 若，则，若，则趋近于，则近似有，则乙球回弹的最大高度为，故A错误，B正确； C．若在乙球上方以同样方式放置一个质量为的小球，同样三个小球落地的速度 对甲、乙两个小球根据动量守恒定律有 由能量守恒定律得 对乙、丙两个小球根据动量守恒定律有 由能量守恒定律得 反弹后的高度 若满足，则丙球回弹的速度为，最大高度为，故C错误； D．根据数学归纳的方法可知，若以相同方式共放置个小球且满足，则第个球回弹时的速度，故D正确。 故选BD。 【变式3-2】（2026·山西晋城·一模）如图所示，间距为L的足够长光滑平行金属导轨固定在水平面上，在垂直于导轨的虚线MN右侧空间有竖直向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两个长度均为L、质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b垂直放在MN左侧的导轨上，同时给两金属棒向右的大小为的初速度，当金属棒a进入磁场后速度刚好为零时，金属棒b刚好进入磁场，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计。则下列说法正确的是（    ） A．金属棒b进入磁场前，通过金属棒b截面的电荷量为 B．金属棒b进入磁场后，安培力对a、b两金属棒做功的绝对值相等 C．金属棒b进入磁场后，金属棒a上产生的热量为 D．两金属棒间的最终距离为 【答案】ACD 【详解】A．金属棒b进入磁场前，设通过金属棒b截面的电荷量为q，对金属棒a研究，由动量定理 即 解得，A正确； D．当b刚进入磁场时，a的速度刚好为零，对a研究，根据动量定理 即 解得 b进入磁场后，a、b组成的系统动量守恒，设最后共同速度为v，则 解得 设b进入磁场后，a、b间最终减少的距离为，对金属棒a研究，则 解得 因此a、b间的最终距离为，D正确； B．金属棒b进入磁场后，金属棒b克服安培力做功 安培力对金属棒a做功，B错误； C．金属棒b进入磁场后，金属棒a上产生的热量设为E，则，C正确。 故选ACD。 【变式3-3】（多选）（2026·江西九江·一模）如图，a、b、c三个小球质量分别为3m、2m、m，杆长均为L，地面光滑。甲图中a、c两个小球与轻杆固定连接，乙图中a、b两球与轻杆的一端固定，轻杆另一端通过铰链与c球固定，现c受到扰动。 (1)甲图中，当c球着地时，求a、c两球的位移大小和速度大小； (2)乙图中，a、b分别向左右两侧移动，当c球着地时，求a、b、c三球的位移大小和速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由杆长约束和水平方向动量守恒，有 解得， a球位移大小 c球位移大小 由机械能守恒 水平方向动量守恒 由约束关系 解得 （2）由杆长约束和水平方向动量守恒，有， 解得，， a球位移大小 b球位移大小 c球位移大小 由机械能守恒 水平方向动量守恒 由约束关系 解得 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在光滑水平面上静置一质量为M、长为L的木板，质量为m的物块以速度水平向右从左端滑上木板。若物块在木板上运动过程中受到的阻力恒定，大小为f，物块可看作质点，改变物块的初速度大小，下列说法中正确的是（　　） A．越大，木板的末速度就越大 B．越大，物块与木板损失的总动能就越多 C．越大，物块与木板相对运动的时间就越短 D．无论取何值，木板的末速度都不可能大于 【答案】D 【详解】ABC．当物块未从木板上滑离，系统水平方向动量守恒，物块的初速度越大时，木板的末速度越大，两者相对位移也就越大；因物块与木板损失的总动能等于系统产热，满足 可知物块的初速度越大时，物块与木板损失的总动能就越多，木板加速度恒定，物块与木板相对运动达到共速的时间越长。当物块从木板上滑离，物块的初速度越大时，木板的末速度越小，物块与木板损失的总动能不变，物块与木板相对运动的时间越短，故ABC错误； D．当物块从木板的最左端恰好滑到木板的最右端时，物块与木板的速度相等时，木板的末速度最大，物块和木板动量守恒，根据动量守恒定律 根据能量守恒 联立解得，故D正确。 故选D。 2．（2026·江苏·一模）如图所示，小圆环A穿在光滑水平直杆上，通过细线与小圆环B相连，初始时细线恰好水平拉直。现将A、B从图示位置由静止释放，B的运动轨迹如图中虚线所示，Q点为右侧轨迹的最高点，不计空气阻力，则（    ） A．A做简谐运动 B．A、B的系统动量守恒 C．A的质量大于B的质量 D．仅增大B的质量，B能到达Q点的右侧 【答案】C 【详解】A．图示时刻，小圆环B释放瞬间，小圆环A只受支持力，不满足的情况，因此不是简谐运动，故A错误； B．在运动过程中，小圆环A与B构成的系统在竖直方向上受到的合外力不为零，因此系统动量不守恒，但是在水平方向上动量守恒，故B错误； C．由水平方向动量守恒可知 所以小圆环A与B的水平速度方向相反，大小满足 由图可知，当小圆环B运动到最高点Q时，水平方向运动的位移 即 因此，故C正确； D．由水平方向动量守恒可得，若只增大，则会减小，因此小圆环B向右摆动的水平位移会减小，无法到达Q点右侧，故D错误。 故选C。 二、多选题 3．（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，场强大小为。光滑绝缘的水平面上有、两个带电小球，开始时，球具有水平向右的速度，球速度为0。经过时间，小球的位移大小为，两小球的距离达到最小。已知、球质量均为，球带电量为，球带电量为。则在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．两球距离最小时，A球的速度为 B．匀强电场对球的功为 C．匀强电场对、球的总功为 D．匀强电场对、球的总功为 【答案】AD 【详解】A．球带负电，球带正电，且带电量大小相等，受到的库仑力及电场力的合力大小相等，方向相反，系统动量守恒，当两球距离最小时，两球的速度相同，满足 解得，故A正确； B．在任一时刻，由系统动量守恒可得 等式两边对时间求和可得 解得球的位移为 匀强电场对球的功为，故B错误； CD．从做功定义考虑，匀强电场对、球的总功为 由功能关系可知库仑力和匀强电场对、球做的总功为 此结果并非匀强电场对系统做的功，故C错误，D正确。 故选AD。 4．（2026·福建泉州·二模）如图，水平地面上固定有一竖直杆，杆上套有一小滑块P；小滑块Q放在地面上，P、Q间用一长为的轻杆通过铰链连接，一水平轻弹簧右端固定，左端与Q连接。已知P、Q质量均为m，重力加速度大小为g。初始时轻杆竖直，弹簧的伸长量为。P由静止释放，整个运动过程中P、Q可视为质点，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，则在P下降过程中（   ） A．P、Q组成的系统机械能一直增大 B．P落地前瞬间速度大小为 C．P速度最大时，Q受到地面的支持力大于2mg D．从P释放到弹簧恢复原长时，P所受的合力冲量小于Q所受的合力冲量 【答案】BD 【详解】A．在滑块P下降直至最低点的过程中，弹簧经历了从拉伸到原长再到压缩的过程，因此P、Q系统受到弹簧的作用力先做正功，后做负功，P、Q组成的系统机械能先增大后减小，故A错误； B．由几何关系可知，P落地前瞬间弹簧的压缩量为，因弹簧的弹性势能与弹簧的形变量有关，因此系统初末状态的弹性势能相等，P、Q系统的初始状态的机械能与末状态的机械能相等；滑块P落地瞬间沿轻杆方向的速度为0，可知滑块Q的瞬时速度为0，滑块P减少的重力势能全部转化为滑块P的动能，由动能定理 解得，故B正确； C．P速度最大时，加速度为0，此时滑块P在竖直方向上受力平衡，故轻杆对P的作用力的竖直向上分量大小为，根据牛顿第三定律可推得滑块Q受到轻杆的作用力的竖直向下分量大小也为，因滑块Q在竖直方向上受力平衡，地面对Q的支持力等于，故C错误； D．从P释放到弹簧恢复原长时，由几何关系可知，此时轻杆与水平方向夹角为，设此时滑块P、Q的速度大小分别为和，两滑块沿轻杆方向的速度大小相等，满足 化简得 由动量定理可知P、Q所受的合力冲量大小等于P、Q的动量变化量，因此P所受的合力冲量小于Q所受的合力冲量，故D正确。 故选BD。 5．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，一质量为的小球A从光滑固定的斜坡上由静止下滑，斜坡底端与足够长的光滑水平面平滑连接，水平面上静置一质量为的小球B。已知A的初始高度为，重力加速度为，A、B最终只发生了两次碰撞，且A、B间的碰撞均为弹性碰撞。两小球均可视为质点，碰撞时间和空气阻力不计，则（　　） A． B． C．小球的速度大小可能为 D．小球的速度大小不可能超过 【答案】BD 【详解】AB．小球A下滑过程，根据动能定理有 A、B第一次碰撞过程，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得， 若k小于或者等于1，则方向向右，大小小于，A、B只能够碰撞一次，不符合题意，可知，k一定大于1，此时，方向向左，A向左再次滑上斜坡后又返回，根据机械能守恒定律可知，速度大小为，为了使得A、B再次碰撞，则有 解得 A、B第二次碰撞过程，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得， 由于A、B最终只发生了两次碰撞，当方向向右，则有， 解得 当方向向左，A向左再次滑上斜坡后又返回，根据机械能守恒定律可知，速度大小为 则有， 解得 结合上述可知，为使A、B最终只发生两次碰撞，则有，故A错误，B正确； D．结合上述可知，第一次碰撞后小球B的速度 在范围内，上述函数为减函数。第二次碰撞后小球B的速度 根据对勾函数规律可知，在范围内，上述函数也为减函数。可知，由于k不等于、的最大值趋近于k等于3时的函数值，解得此时的函数值均为，即小球的速度大小不可能超过，故D正确； C．若小球的速度大小为，代入 解得不符合题意。 若小球的速度大小为，代入 可知，k值无解，不符合题意。即小球的速度大小不可能为，故C错误。 故选BD。 6．（2026·四川绵阳·二模）如图所示，物块、、、质量均为，、通过劲度系数为的轻质弹簧连接，竖直静止在水平桌面上。在的正上方某处由静止释放a，a与碰撞后一起向下运动，然后反弹，当运动到最高点时，对地面的压力恰好为零。已知轻质弹簧的弹性势能表达式，x是弹簧的形变量，重力加速度为。则（　　） A．物块分离时，的速度大小为 B．物块分离时，的速度大小为 C．物块静止释放时，距离的高度为 D．物块静止释放时，距离的高度为 【答案】BC 【详解】AB．物块分离时，共速设为，且的加速度均为g，方向竖直向下，此时弹簧处于原长，当运动到最高点时速度为零，对地面的压力恰好为零，则此时弹簧弹力大小为F=mg，且弹簧处于拉伸状态，弹簧伸长量 分离后，对和弹簧组成的系统由机械能守恒可得 解得，故A错误，B正确； CD．初始时对分析可知，弹簧压缩量 设a从距离高h处下落，设碰撞前a的速度为，则 碰撞后a与的共同速度为v，根据动量守恒定律有 解得 从碰撞后到分离过程以、弹簧为系统由机械能守恒可得 联立解得，故C正确，D错误。 故选BC。 三、解答题 7．（2026·安徽黄山·一模）如图所示，顺时针转动的水平传送带与右端水平面等高，质量为的物体A以从左端水平滑上传送带，离开传送带后与水平面上静止的物体发生弹性正碰，碰后将物体立即移走。水平面和曲面光滑且曲面足够高，与传送带间的动摩擦因数、，重力加速度。求： (1)当传送带的速度时，到达传送带右端时的速度大小； (2)当传送带的速度时，与碰后，沿曲面上升的最大高度，的质量； (3)已知碰后上升的最大高度与传送带的速度平方关系如图所示，求与的值。 【答案】(1)4m/s (2)3kg (3)，0.7m 【详解】（1）假设物块A在传送带上一直减速，则由运动学公式   ① 解得 可知，假设成立。 （2）A与B相碰时满足：    ②    ③ 由以上得④ 同时由机械能守恒得：  ⑤ 由④⑤可得： （3）由图像分析可知，当传送带速度大小为时，物块A在传送带上一直加速，则：   ⑥ 得 再结合④⑤得 8．（2025·湖南长沙·一模）如图所示，置于光滑水平面上的轻弹簧左端固定，右端放置质量为的小球，小球置于弹簧原长位置。质量为的小球和质量为、半径为的光滑四分之一圆弧体C静止在足够长的光滑水平面上，圆弧体C的水平面刚好与圆弧面的最底端相切。用力向左推动小球压缩弹簧，由静止释放小球后与小球发生弹性碰撞。小球运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止。两小球均可视为质点，重力加速度为。求： (1)小球压缩弹簧时弹簧所具有的弹性势能； (2)小球与圆弧体C第一次分离时小球的速度大小； (3)小球第一次返回到圆弧体底端时对圆弧面的压力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球A以速度跟小球B碰撞，碰后小球A、B的速度分别为、，以水平向右为正方向，根据动量守恒有 根据机械能守恒定律有 小球B滑上圆弧体C最高点过程中，根据水平方向动量守恒有 根据机械能守恒定律有 由静止释放小球A，弹簧对小球A做功，根据功能关系有 解得 （2）小球B第一次返回到圆弧体底端的过程中，根据小球与圆弧体C水平方向动量守恒有 根据机械能守恒定律有 解得小球B与圆弧体C第一次分离时小球B的速度大小 （3）由第（2）问可得小球B第一次返回到圆弧体底端时圆弧体C的速度大小 小球B第一次返回到圆弧体底端时，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，小球B对圆弧面的压力大小 9．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，以速度在光滑水平面上向物块B运动。时，弹簧与B接触；时，A、B速度相等为，弹簧压缩量为。A、B分离后，B滑上足够长的粗糙传送带，一段时间后再次与A碰撞。分离后，B再次滑上传送带，到达的最右侧位置与前一次相同。已知传送带速度大小为v，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，A始终在光滑水平面上运动，每次碰撞均发生在光滑水平面上。求： (1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值； (2)第一次碰撞过程中，A物体相对地面的位移； (3)全过程中系统产生的总摩擦热。 【答案】(1) (2)，水平向右 (3) 【详解】（1）当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时A、B速度相等，根据动量守恒定律 解得 根据能量守恒定律 解得 （2）方法一：压缩过程中，A、B动量守恒，有 对方程两边同时乘以微小时间，有 根据位移等于速度在时间上的累积，可得 将 代入可得 恢复原长的过程中具有对称性，时间仍为，形变量相等 该过程因物块B的速度更大，故 可得 总位移 方法二：全过程，由于对称性可知，总时间为 弹簧恢复原长，AB位移相等 可得 （3）取方向为正方向，设物块A、B第一次分离后速度分别为 由动量守恒定律 由机械能守恒 解得， 同理A、B第二次分离后速度分别为，因B物块到达最右侧的点相同，故 再次利用动量和能量关系得同理，第三次分离后速度分别为，，之后物块B不再滑上传送带。 传送带上，物块B向右减速到0的时间 所以 设B减速与加速过程中相对地面的位移大小为 物块B与传送带之间的相对位移 解得： 所以全过程中系统产生的总摩擦热为 解得 10．（2026·山西晋城·一模）如图所示，在光滑水平面上有两个完全相同的四分之一光滑圆弧体A、B，二者粘在一起，构成一个半径为R的光滑半圆弧体，CD是半圆弧的水平直径，A、B的质量均为2m，将质量为m的小物块在圆弧面的C点由静止释放，小物块可视为质点，重力加速度为g，求： (1)小物块第一次运动到圆弧面的最低点时速度大小； (2)小物块在圆弧面上运动过程中，圆弧体向左运动的最大距离； (3)若小物块刚好第一次滑过圆弧最低点时A、B分离，物块在B圆弧面上向上运动的最大高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块第一次运动到圆弧面的最低点时，速度大小为，圆弧体的速度大小为，根据水平方向动量守恒 根据机械能守恒 解得， 即小物块第一次运动到圆弧面的最低点时速度大小为。 （2）当物块向右滑到最高点时圆弧向左运动的距离最大。 当物块向右滑到最高点时，根据水平方向动量守恒可知，这时物块与圆弧体的速度均为0，根据机械能守恒可知，这时物块刚好到达最高处D点。 根据水平方向动量守恒可知 则 即 根据几何关系 解得 （3）设物块在圆弧体B上上滑的最大高度为h，物块到最高点时物块与B的共同速度为v，根据水平方向动量守恒 根据机械能守恒 解得 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 动量　动量和能量观点的综合应用 第一部分 思维导图 第二部分 核心考点精讲 【考点01】 动量定理的理解和应用 【考点02】 动量定理解决两类连续体问题 【考点03】 动量守恒定律及其应用 【考点04】 “碰撞”模型及其拓展 第三部分 题海精炼 考点01 动量定理的理解和应用 1．冲量的三种计算方法 公式法 I＝Ft适用于求恒力的冲量 动量定理法 多用于求变力的冲量或F、t未知的情况 图像法 F­t图线与时间轴围成的面积表示力的冲量。若F­t成线性关系，也可直接用平均力求解 2.应用动量定理时应注意的问题 (1)动量定理的研究对象可以是单一物体，也可以是一个系统，在研究系统问题时，受力分析只考虑系统的外力。 (2)动量定理的表达式是矢量式，使用时要关注力、初速度、末速度的方向，为了方便要规定正方向。 (3)动量定理是合力的冲量等于物体动量的改变量，要注意合力与单个力的区别。 【典例1】 （多选）（2025·天津·一模）汽车安全性能是当今衡量汽车品质的重要指标。汽车碰撞试验是综合评价汽车安全性能最有效的方法。汽车发生碰撞时，关于安全气囊对驾驶员的保护作用，下列说法正确的是 （　　） A．改变了驾驶员的惯性 B．减小了驾驶员的动量变化率 C．减小了驾驶员受到的冲力 D．减小了驾驶员的动量变化 【变式1-1】（2026·海南海口·二模）“抡大锤”游戏可以充分展示抡锤者的力量与智慧。如图所示，初始时跷板左端B点静置一小球，游戏时大锤竖直砸在跷板右端A点并与之共速，在跷板水平时，跷板右端接触支点并停止运动，小球被跷板竖直向上抛出，若小球击中其正上方的铃铛，则抡锤者获胜。某次游戏中，大锤被举起至与A点的竖直高度为的C点后由静止抡出，游戏者恰好获胜（小球与铃铛接触时速度可视为零）。已知O点为跷板的支点且，跷板水平时，铃铛到小球的距离为，大锤质量为，小球可视为质点，跷板质量及其摩擦不计，忽略空气阻力，重力加速度g取。 (1)求该次游戏中小球刚被抛出时的速度大小； (2)若该次游戏中大锤与跷板作用时受到的平均作用力大小为，大锤与跷板的碰撞时间为，碰撞过程中忽略人对大锤的作用力，大锤与跷板碰撞时的相互作用力可视为竖直方向，求： ①大锤刚接触A点时的速度大小； ②人对大锤做的功。 【变式1-2】（2025·广东肇庆·一模）如图甲所示为滑雪运动员的一种训练设施，足够长的滑道倾角，滑道上有一名质量kg的运动员（含滑板）通过轻绳与电动机相连，轻绳对运动员的拉力F随时间变化的关系如图乙所示。时刻，运动员由静止出发，沿滑道做直线运动，已知运动员的滑板与滑道间的动摩擦因数，重力加速度g取10m/s2，，。求： (1)时，运动员的速度大小； (2)1~3s内拉力F的冲量大小； (3)运动员从开始运动到最低点所用的时间。 【变式1-3】（2025·四川成都·一模）篮球从离地一定高度处静止释放，与地面碰撞后反弹上升到最高点的过程中，所受空气阻力大小与速度大小成正比，碰撞过程无能量损失，篮球在该过程中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 考点02 动量定理解决两类连续体问题 模型一：流体类问题 流体及其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ 分析 步骤 1 如图，建立“柱状”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl＝vΔt，对应的质量为Δm＝ρSvΔt 3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体，即FΔt＝ΔmΔv，分两种情况：(以原来流速v的方向为正方向) (1)作用后流体微元停止，有Δv＝－v，代入上式有F＝－ρSv2； (2)作用后流体微元以速率v反弹，有Δv＝－2v，代入上式有F＝－2ρSv2 模型二：微粒类问题 微粒及其特点 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n 分析 步骤 1 建立“柱状”模型，沿运动的方向选取一段柱形微元，柱体的横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形微元的长度为Δl＝vΔt，对应的体积为ΔV＝SvΔt，则微元内的粒子数N＝nvSΔt 3 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算 【典例2】【改编】（2025·北京石景山·一模）神秘宇宙散发着无尽魅力，吸引着人们不断追寻和探索。 (1)某深空探测器在远离星球的宇宙深处航行时，由于宇宙中的星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计，此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。当探测器驶入一片分布均匀、静止的宇宙尘埃区域时，为了保持原有的速率v，必须开启发动机。若该区域单位体积内有质量为m0的尘埃，尘埃碰到探测器后立即吸附在上面，探测器可视为半径为R的球体。求发动机的推力大小F； 【变式2-1】（2025·广东佛山·模拟预测）悬浮床是一种基于气体流动悬浮原理设计的医疗设备，通过向床内充入高压气体，使重症烧伤患者的身体悬浮在空中，从而减少创面受压，促进创面愈合。人体下方的床板源源不断的往上喷出气体，设气体遇到人体后速度大小变为原本的十分之一，方向向下。已知人体质量为M，喷出气体的速率为v，重力加速度为g，则t时间内喷出气体的质量为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）图为环卫工人用高压水枪冲洗马路情景：射向地面的水看成横截面积为S的水柱，以速度大小为v（方向与地面成53°角）喷到水平地面，随即以与地面成37°角被溅起，溅起时的速率为，设水对地面作用力与地面成θ角，则θ的正切值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】【改编】（2025·江西南昌·二模）如图所示，将一充满水的皮球放置在水平地面上，之后在皮球上扎个洞，水流从洞口喷出后在空中形成一段稳定的水柱，水流从洞口出射的速度方向与竖直方向成37°，洞口面积为，洞口到地面的高度为，水柱最高点离地高度为，水流与地面碰撞后沿水平方向散开，水的密度为，重力加速度大小g取。求： (1)水从喷出到落地所用时间； (2)水流对地面的冲击力； (3)空中水柱的机械能（以地面为零势能面）。 考点03 动量守恒定律及其应用 1．应用动量守恒定律分析问题的关键步骤 2．碰撞现象满足的规律 (1)动量守恒定律。 (2)动能之和不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。 (3)若碰后同向，后方物体速度不大于前方物体速度。 3．两种碰撞特点 (1)弹性碰撞 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。 以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性正碰为例，有 m1v1＝m1v1′＋m2v2′ m1v＝m1v1′2＋m2v2′2 解得v1′＝，v2′＝。 结论： ①当两球质量相等时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。 ②当质量大的球碰质量小的球时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都沿速度v1的方向运动。 ③当质量小的球碰质量大的球时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。 (2)完全非弹性碰撞 动量守恒、末速度相同：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共，机械能损失最多，机械能的损失：ΔE＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v。 【典例3】（2026·四川雅安·一模）如图所示，静置于光滑水平面的底座上固定有内壁光滑的U型管道（管道在竖直面内），半径比管道内径略小的小球以某一初速度沿水平方向进入管道。小球在管道内运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球对管道的弹力始终不做功 B．小球对管道的弹力的冲量始终为零 C．小球、管道与底座构成的系统动量守恒 D．小球、管道与底座构成的系统机械能守恒 【变式3-1】（多选）（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n＝1，2，3…）。每人只有一个沙袋，x>0一侧的每个沙袋质量为m＝14kg，x<0一侧的每个沙袋质量，一质量为M＝58kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行，不计轨道阻力，当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。则（　　） A．空车出发后，车上堆积了3个沙袋时车就会反向滑行 B．空车出发后，车上堆积了4个沙袋时车就会反向滑行 C．车上最终共有大小沙袋11个再次反向 D．车上最终共有大小沙袋14个再次反向 【变式3-2】（2025·吉林·三模）如图是古代奥林匹克立定跳远的陶瓷画，图中的运动员手持一种负重物起跳，这可以使运动员跳得更远。若某位运动员的质量为60kg，两手各持一个质量为3kg的负重物，在某次立定跳远练习过程中，起跳离地时速度大小为5m/s，方向与水平方向成37°夹角，在最高点沿水平方向将两个负重物相对于地面速度为零扔出，不计空气阻力，扔出重物时间极短，重力加速度大小取。与在最高点不扔出负重物相比，运动员可以多跳的距离是多少？（，） 【变式3-3】（多选）（2026·河北·一模）如图甲所示，a、b两个粒子都带正电，带电荷量均为q，a的质量为m，b的质量为2m。t=0时刻，a、b间距离为L，a速度大小为v，方向沿a、b连线指向b，b速度为0，仅在彼此静电力作用下，它们靠近后又被弹开，经过足够长时间，最终均做匀速直线运动。粒子运动轨迹在同一直线上，两粒子组成系统的电势能Ep与两粒子间距离r的关系为，Ep-r图像如图乙所示。当两个粒子间的距离趋于无限远时，静电力可忽略，则（　　） A．a、b距离最近时，a的速度大小为 B．a、b距离最近时，系统的电势能等于 C．当a、b距离再次等于L时，b的速度大小为 D．当r趋于无穷大时，a的速度大小为，方向与初速度相反 考点04 “碰撞”模型及其拓展 模型归纳 “弹簧类”模型 (1)系统动量守恒； (2)系统机械能守恒； (3)共速时弹簧最长或最短，系统动能损失最大，弹簧的弹性势能最大，类似于完全非弹性碰撞； (4)弹簧再次恢复原长时弹簧的弹性势能再次为零，系统动能最大，整个过程类似于弹性碰撞，此时m2速度最大 “轨道类”模型 (1)水平方向动量守恒； (2)系统机械能守恒； (3)最高点：m与M共速。mv0＝(M＋m)v共；mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为m上升的最大高度(完全非弹性碰撞拓展模型)； (4)最低点：mv0＝mv1＋Mv2；mv＝mv＋Mv(弹性碰撞拓展模型) 滑板滑块模型 (1)系统动量守恒； (2)系统机械能不守恒，损失的动能等于产生的内能：－ΔEk＝Q＝fx相 电磁感应中的“双杆”模型(水平导轨都光滑) 达到共速时相当于完全非弹性碰撞，动量满足mv0＝(m＋M)v共，损失的动能最大，转化为电能 【典例4】（多选）（2026·福建·一模）如图所示，三小球a、b、c的质量分别为m、2m、6m，放于光滑的水平面上，小球b、c中间的轻质弹簧此时为原长（弹簧与小球均没有连接，可以分离），小球c右侧有一固定挡板。现让小球a以速度v0向右运动，与小球b碰后黏在一起，a、b两小球碰撞时间极短，当ab整体向右运动速度为时撤去挡板，则（　　） A．此后的运动过程中弹簧的最大弹性势能为 B．此后的运动过程中弹簧的最大弹性势能为 C．此后的运动过程中小球c的最大速度为 D．运动全过程中，弹簧的最大弹性势能可能为 【变式4-1】（多选）（2026·湖南湘潭·二模）如图所示，将两个质量分别为、的小球甲、乙叠放在一起，中间留有微小空隙，从初始高度处由静止释放。甲球与地面碰撞后立即以原速率反弹，并与乙球发生弹性碰撞，所有的相互作用和运动都发生在竖直方向上，不计空气阻力，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．若，则乙球回弹的高度为 B．若，则乙球回弹的最大高度为 C．若在乙球上方以同样方式放置一个质量为的小球丙且满足，则丙球回弹的最大高度为 D．若以相同方式共放置个小球且满足，则第个球弹回时的速度 【变式3-2】（2026·山西晋城·一模）如图所示，间距为L的足够长光滑平行金属导轨固定在水平面上，在垂直于导轨的虚线MN右侧空间有竖直向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两个长度均为L、质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b垂直放在MN左侧的导轨上，同时给两金属棒向右的大小为的初速度，当金属棒a进入磁场后速度刚好为零时，金属棒b刚好进入磁场，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计。则下列说法正确的是（    ） A．金属棒b进入磁场前，通过金属棒b截面的电荷量为 B．金属棒b进入磁场后，安培力对a、b两金属棒做功的绝对值相等 C．金属棒b进入磁场后，金属棒a上产生的热量为 D．两金属棒间的最终距离为 【变式3-3】（多选）（2026·江西九江·一模）如图，a、b、c三个小球质量分别为3m、2m、m，杆长均为L，地面光滑。甲图中a、c两个小球与轻杆固定连接，乙图中a、b两球与轻杆的一端固定，轻杆另一端通过铰链与c球固定，现c受到扰动。 (1)甲图中，当c球着地时，求a、c两球的位移大小和速度大小； (2)乙图中，a、b分别向左右两侧移动，当c球着地时，求a、b、c三球的位移大小和速度大小。 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在光滑水平面上静置一质量为M、长为L的木板，质量为m的物块以速度水平向右从左端滑上木板。若物块在木板上运动过程中受到的阻力恒定，大小为f，物块可看作质点，改变物块的初速度大小，下列说法中正确的是（　　） A．越大，木板的末速度就越大 B．越大，物块与木板损失的总动能就越多 C．越大，物块与木板相对运动的时间就越短 D．无论取何值，木板的末速度都不可能大于 2．（2026·江苏·一模）如图所示，小圆环A穿在光滑水平直杆上，通过细线与小圆环B相连，初始时细线恰好水平拉直。现将A、B从图示位置由静止释放，B的运动轨迹如图中虚线所示，Q点为右侧轨迹的最高点，不计空气阻力，则（    ） A．A做简谐运动 B．A、B的系统动量守恒 C．A的质量大于B的质量 D．仅增大B的质量，B能到达Q点的右侧 二、多选题 3．（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，场强大小为。光滑绝缘的水平面上有、两个带电小球，开始时，球具有水平向右的速度，球速度为0。经过时间，小球的位移大小为，两小球的距离达到最小。已知、球质量均为，球带电量为，球带电量为。则在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．两球距离最小时，A球的速度为 B．匀强电场对球的功为 C．匀强电场对、球的总功为 D．匀强电场对、球的总功为 4．（2026·福建泉州·二模）如图，水平地面上固定有一竖直杆，杆上套有一小滑块P；小滑块Q放在地面上，P、Q间用一长为的轻杆通过铰链连接，一水平轻弹簧右端固定，左端与Q连接。已知P、Q质量均为m，重力加速度大小为g。初始时轻杆竖直，弹簧的伸长量为。P由静止释放，整个运动过程中P、Q可视为质点，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，则在P下降过程中（   ） A．P、Q组成的系统机械能一直增大 B．P落地前瞬间速度大小为 C．P速度最大时，Q受到地面的支持力大于2mg D．从P释放到弹簧恢复原长时，P所受的合力冲量小于Q所受的合力冲量 5．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，一质量为的小球A从光滑固定的斜坡上由静止下滑，斜坡底端与足够长的光滑水平面平滑连接，水平面上静置一质量为的小球B。已知A的初始高度为，重力加速度为，A、B最终只发生了两次碰撞，且A、B间的碰撞均为弹性碰撞。两小球均可视为质点，碰撞时间和空气阻力不计，则（　　） A． B． C．小球的速度大小可能为 D．小球的速度大小不可能超过 6．（2026·四川绵阳·二模）如图所示，物块、、、质量均为，、通过劲度系数为的轻质弹簧连接，竖直静止在水平桌面上。在的正上方某处由静止释放a，a与碰撞后一起向下运动，然后反弹，当运动到最高点时，对地面的压力恰好为零。已知轻质弹簧的弹性势能表达式，x是弹簧的形变量，重力加速度为。则（　　） A．物块分离时，的速度大小为 B．物块分离时，的速度大小为 C．物块静止释放时，距离的高度为 D．物块静止释放时，距离的高度为 三、解答题 7．（2026·安徽黄山·一模）如图所示，顺时针转动的水平传送带与右端水平面等高，质量为的物体A以从左端水平滑上传送带，离开传送带后与水平面上静止的物体发生弹性正碰，碰后将物体立即移走。水平面和曲面光滑且曲面足够高，与传送带间的动摩擦因数、，重力加速度。求： (1)当传送带的速度时，到达传送带右端时的速度大小； (2)当传送带的速度时，与碰后，沿曲面上升的最大高度，的质量； (3)已知碰后上升的最大高度与传送带的速度平方关系如图所示，求与的值。 8．（2025·湖南长沙·一模）如图所示，置于光滑水平面上的轻弹簧左端固定，右端放置质量为的小球，小球置于弹簧原长位置。质量为的小球和质量为、半径为的光滑四分之一圆弧体C静止在足够长的光滑水平面上，圆弧体C的水平面刚好与圆弧面的最底端相切。用力向左推动小球压缩弹簧，由静止释放小球后与小球发生弹性碰撞。小球运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止。两小球均可视为质点，重力加速度为。求： (1)小球压缩弹簧时弹簧所具有的弹性势能； (2)小球与圆弧体C第一次分离时小球的速度大小； (3)小球第一次返回到圆弧体底端时对圆弧面的压力大小。 9．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，以速度在光滑水平面上向物块B运动。时，弹簧与B接触；时，A、B速度相等为，弹簧压缩量为。A、B分离后，B滑上足够长的粗糙传送带，一段时间后再次与A碰撞。分离后，B再次滑上传送带，到达的最右侧位置与前一次相同。已知传送带速度大小为v，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，A始终在光滑水平面上运动，每次碰撞均发生在光滑水平面上。求： (1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值； (2)第一次碰撞过程中，A物体相对地面的位移； (3)全过程中系统产生的总摩擦热。 10．（2026·山西晋城·一模）如图所示，在光滑水平面上有两个完全相同的四分之一光滑圆弧体A、B，二者粘在一起，构成一个半径为R的光滑半圆弧体，CD是半圆弧的水平直径，A、B的质量均为2m，将质量为m的小物块在圆弧面的C点由静止释放，小物块可视为质点，重力加速度为g，求： (1)小物块第一次运动到圆弧面的最低点时速度大小； (2)小物块在圆弧面上运动过程中，圆弧体向左运动的最大距离； (3)若小物块刚好第一次滑过圆弧最低点时A、B分离，物块在B圆弧面上向上运动的最大高度。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $