精品解析：辽宁沈阳市虹桥中学教育集团2025-2026学年度九年级下学期线下假期限时作业反馈数学试卷

2025-2026学年度下学期沈阳市虹桥中学教育集团 九年级线下假期限时作业反馈数学学科 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 东北四城市 年 月份平均气温如下表所示，其中气温最低的城市是（ ） 城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春 月份平均气温 A. 沈阳 B. 大连 C. 哈尔滨 D. 长春 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 一个抽奖活动的中奖率是，则抽100次奖一定会中奖10次 B. 了解某批灯泡的使用寿命，采取普查方式 C. 一组数据1、2、3、4的中位数是2.5 D. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，若则甲组数据比乙组数据稳定 7. 如图，点E在正方形 的内部，且 为等边三角形， 与 交于点M，则为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其人意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形 各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线 ．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____________ ． 12. 连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都反面朝上的概率为___________． 13. 如图， 为 的直径，点C，D是 上位于 异侧的两点，连接 ， ．若，则 的度数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数 的图像上，轴于点C，，将 沿 翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 15. 如图，四边形 中，，，， ．以点 为圆心，以 长为半径作图，与 相交于点 ，连接 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 ，作射线，与 相交于点 ，则的长为______（用含 的代数式表示）． 三、解答题：本题共10小题，共97分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）计算： （2）解分式方程： 17. 某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元． （1）求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ （2）若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑． 18. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩 均为不小于60的整数，分为四个等级：D： ，C： ，B： ，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的学生成组为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 19. 如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一直线上， 测得 （1）连接 ， 求证： （2）求雕塑的高（即点E到直线 的距离）． （精确到， 参考数据： 20. 某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． （1）①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 21. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 在上，， 在 的延长线上，． （1）如图1，求证： 是 的切线； （2）如图2，若，，求的长． 22. 综合与实践 【了解定义】 如图1，在 和中，，点在底 的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中 和是腰角，线段 是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1， 和是同位等腰三角形，连接 ．求证：，直线 是线段 的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在 中，，点 在 上，，，垂足为 ， 的延长线与 相交于点 ，点 在线段上，且，连接 ．求证： 和是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3， 和是同位等腰三角形，，点 在 的延长线上，且的延长线与分别交于点 ，点 在上，．若 ，，求的长． 23. 已知抛物线的顶点为 ，且，对称轴与 轴相交于点 ，点在抛物线上，为坐标原点． （1）当时，求该抛物线顶点 的坐标； （2）当时，求 的值； （3）若 是抛物线上的点，且点 在第四象限，，点 在线段 上，点 在线段上，，当取得最小值为时，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期沈阳市虹桥中学教育集团 九年级线下假期限时作业反馈数学学科 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转 得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转 得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 3. 东北四城市 年 月份平均气温如下表所示，其中气温最低的城市是（ ） 城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春 月份平均气温 A. 沈阳 B. 大连 C. 哈尔滨 D. 长春 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴气温最低的城市是长春， 故选：． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质逐项分析判断即可即可求解． 本题考查了判断命题的真假，掌握平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题，故该选项不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原命题是真命题，故该选项符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故该选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，不相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选B． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 一个抽奖活动的中奖率是，则抽100次奖一定会中奖10次 B. 了解某批灯泡的使用寿命，采取普查方式 C. 一组数据1、2、3、4的中位数是2.5 D. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，若则甲组数据比乙组数据稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率、普查、中位数、方差的概念，即可解答． 【详解】解：A、一个抽奖活动的中奖率是10%，则抽100次奖可能中奖10次，故不合题意； B、了解某批灯泡的使用寿命，采取抽样调查方式，故不合题意； C、一组数据1、2、3、4的中位数是2.5，故符合题意； D、若甲组数据的方差是s甲2，乙组数据的方差是s乙2，若s甲2＞s乙2则乙组数据比甲组数据稳定，故不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了概率、普查、中位数、方差，解决本题的关键是熟记概率、普查、中位数、方差的定义． 7. 如图，点E在正方形 的内部，且 为等边三角形， 与 交于点M，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正方形和等边三角形的性质可求得，由 得，结合运用三角形内角和定理可求出，从而可得出． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ∵ 为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ 是正方形 的对角线， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其人意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设有x人，y辆车， 依题意得 ， 故选：A 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 如图，矩形 各顶点的坐标分别为，，，，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意 横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 10. 如图，抛物线与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线 ．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可知函数与 轴的交点在负半轴， ，故①正确； ∵抛物线与 轴的一个交点 的坐标为， ∴当 时， ，即，故②错误； ∵点都在该抛物线上，且， ∴点关于直线 对称， ，故③正确． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：x3-4x2+4x =x（x2-4x+4） =x（x-2）2． 故答案为：x（x-2）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 12. 连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都反面朝上的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两次都是反面朝上的结果数为1， ∴两次都是反面朝上的概率=． 故答案为：． 13. 如图， 为 的直径，点C，D是 上位于 异侧的两点，连接 ， ．若，则 的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理， 先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接 ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数 的图像上，轴于点C，，将 沿 翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数 的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点 作轴于点 ．根据，，设 ，则，由对称可知 ，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点 作轴于点 ． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设 ，则， 由对称可知 ，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形 中，，，， ．以点 为圆心，以 长为半径作图，与 相交于点 ，连接 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别与， 相交于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 ，作射线，与 相交于点 ，则的长为______（用含 的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用基本作图得到， 平分，，接着证明 得到，然后利用求解． 【详解】解：由作法得， 平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共97分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）计算： （2）解分式方程： 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数和负整数指数幂、特殊角的三角函数等知识，也考查了分式方程的求解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算0指数和负整数指数幂、代入特殊角的三角函数、化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）原方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 去分母，得， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解. 17. 某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元． （1）求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ （2）若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑． 【答案】（1）A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元 （2）该公司至少要采购5台A型电脑 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用．解题关键在于准确找出题目中的等量关系和不等关系，通过合理设未知数，列出方程组和不等式，进而求解得出答案． （1）已知两种不同的采购组合及对应的花费，通过设未知数，利用这两个等量关系列出二元一次方程组．方程组中表示“1台 型电脑和2台 型电脑花费万元” ，表示“3台 型电脑和1台 型电脑花费万元” ．然后通过解方程组得出 、 两种型号电脑的单价． （2）已知要采购两种电脑共 台，设采购 型电脑 台，则采购 型电脑台．根据“总费用不超过万元”这一不等关系列出一元一次不等式．不等式左边表示采购 、 两种电脑的总费用，通过解不等式得出 的取值范围，进而得到 型电脑最少的采购数量． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电脑每台的售价分别为 万元和 万元． 解得． 答：A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元． 【小问2详解】 解：设该公司要采购A型电脑a台． ． 解得． 答：该公司至少要采购5台A型电脑． 18. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩 均为不小于60的整数，分为四个等级：D： ，C： ，B： ，A： ），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的学生成组为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）7人 （2）85 （3）120人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可； （2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：； （3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， ∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）； 【小问2详解】 解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数， ∵C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数， ∴中位数为：； 【小问3详解】 解：成绩为A等级的人数为：（人）， 答：成绩为A等级的人数为120． 19. 如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一直线上， 测得 （1）连接 ， 求证： （2）求雕塑的高（即点E到直线 的距离）． （精确到， 参考数据： 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∵ 即 ∴即 ． （2）雕塑的高约为米 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出 ，即可得证； （2）过点 作，交 的延长线于点 ，在中，得出，则，在中，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点 作，交 的延长线于点 ， 在中， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴ （米）． 答：雕塑的高约为米． 20. 某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． （1）①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】（1）①；②一次函数解析式 （2）这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求得一次函数的解析式是解题的关键． （1）①根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数，利用待定系数法即可解答； ②根据题意可得y与x之间的函数关系式为一次函数，利用待定系数法即可解答； （2）根据题意，利用一次函数的性质求得最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设S与x之间的函数关系式为， 把代入可得， S与x之间的函数关系式为， 故答案为：； ②根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设 与 之间的函数关系式为， 把代入可得，， ， 一次函数解析式； 【小问2详解】 解：由题意，得， 将代入得， 解得， ， 随 的增大而增大， 当时，， 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为． 21. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 在上，， 在 的延长线上，． （1）如图1，求证： 是 的切线； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 为直径， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，则，故，由，得到，而 ，则，由，得，因此，故，则 是 的切线； （2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键． 22. 综合与实践 【了解定义】 如图1，在 和中，，点在底 的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中 和是腰角，线段 是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1， 和是同位等腰三角形，连接 ．求证：，直线 是线段 的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在 中，，点 在 上，，，垂足为 ， 的延长线与 相交于点 ，点 在线段 上，且，连接 ．求证： 和是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3， 和是同位等腰三角形，，点 在 的延长线上，且的延长线与分别交于点 ，点 在 上，．若 ，，求的长． 【答案】 （1）证明：和是同位等腰三角形， ． ， 即． ， 点 在线段 的垂直平分线上． ， 点 在线段 的垂直平分线上． 直线 是线段 的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线 交 于点 ． ，垂足为 ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是同位等腰三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）利用同位等腰三角形的性质得，得 ，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线 交 于点 ．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）作，垂足为 ，过点 作 的平行线与 延长线于点 ．利用解直角三角形可求得，再利用勾股定理求得 ；再证明，从而求得 ；再证明，求得；再证明，由对应边成比例可求得 ，从而求得最后结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，作，垂足为 ，过点 作 的平行线与 延长线于点 ． ． 和是同位等腰三角形， 垂直平分 ． 由题意知． 在中，． 在Rt中，，， ． ． ， ． ， ． ， ， ． ． ． 垂直平分 ， ． ， ． ， ． ． ，， ． ． 即． 解得． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；题目有一定的难度，构造辅助线并证明三角形全等与相似是解题的关键． 23. 已知抛物线的顶点为 ，且，对称轴与 轴相交于点 ，点在抛物线上，为坐标原点． （1）当时，求该抛物线顶点 的坐标； （2）当时，求 的值； （3）若 是抛物线上的点，且点 在第四象限，，点 在线段 上，点 在线段上，，当取得最小值为时，求 的值． 【答案】（1）该抛物线顶点 的坐标为 （2）10 （3）1 【解析】 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点 的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点 作轴，证明，求得点 的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点 落在线段上时，取得最小值，求得点 的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点 的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点 的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为 ． 对称轴与 轴相交于点 ，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点 的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； 【小问3详解】 解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点 作轴，垂足为 ，则． ，又， ． ∴，， ∴点 的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点 落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点 的坐标为，点 的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $