1.5 第2课时 三角形的三条内角平分线-导学案--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学导学案聚焦“三角形三条内角的平分线”，通过“学校到三角形居住区三边距离相等”的情境导入，复习角平分线性质与判定，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生归纳性质并解决实际问题。 以动手探究（画角平分线、量垂线段）培养几何直观，通过证明与例题应用发展推理意识，习题设计兼顾基础与综合，助力学生用数学眼光观察、用数学思维思考，提升模型意识与应用能力，适合课堂教学与自主学习。

第一章 三角形的证明 1.5 角平分线 第2课时 三角形三条内角的平分线 【素养目标】 1. 在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质。(重点) 2. 能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题。(难点) 【情境导入】 在一个三角形居住区内修有一个学校到 、 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 的位置， 在何处？ 问题：角平分线的性质和判定是什么？ 【合作探究】 探究点、三角形的角平分线 例1 如图，在中，已知 ， ，是的角平分线， ，垂足为 . (1) 如果，求的长； (2) 求证： . 例2 如图，已知， ，垂足分别为， 相交于点 . 若 ，求证：是的平分线。 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线， 你发现了什么？ 结论： _________________________________. 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段， 你发现了什么？ 结论： _________________________________. 你能证明以上两个结论吗？ 例3 已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点 . 求证：的平分线经过点 . 【归纳总结】 结论： 三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这一点到三条边的距离相等。 例4 如图，在直角中， ， ，平分 ， 平分 ；， 交于点，过点作 ，若 ， (1) 点到 三边的距离和为_________. (2) 若的周长为32，求的面积。 例5 如图，在中，点是 内一点，且点到三边的距离相等。若，则的度数为 ( ) A. 110° B. C. D. 当堂反馈 1.如图，BO与CO分别是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线。若∠BAC＝52°，则∠BAO＝( 　) A.25° B.26° C.30° D.32° 第1题图　　 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是(　 　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 3.如图，△ABC的三条角平分线交于点O，且三边AB，BC，CA的比为4∶6∶7，S△ABO＝8，则S△CAO＝___________. 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.点P是△ABC三个内角平分线的交点，PD⊥BC于点D，求线段PD的长。 参考答案 复习导入 问题： 性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 探究点、三角形的角平分线 例1 (1) 解：是的角平分线， ， (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。 , ( 等边对等角 ). . (等角对等边)。在等腰 中， . . (2)证明：由(1)的求解过程易知， ( ). . , . 例2 证明： . 在 和 中， (AAS). . 又 , 是的平分线。 活动1 结论：三角形的三条角平分线相交于一点。 活动2 结论：过交点作三角形三边的垂线段相等。 例3 证明： 如图，过点分别作 , ，垂足为 . 是的角平分线， (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理 . . 点在的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即的平分线经过点 . 例4 (1) 12. (2) 解： 如图，过点作于点 于点 ，连接 . 例5 A. 当堂反馈 1. B. 2. C. 3. 14 . 4.解：如图，过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F. ∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，且PD⊥BC，∴PE＝PF＝PD. 设PD＝ x，则S△ABC＝ BC∙PD＋ AB∙PE＋ AC∙PF＝AB∙BC， 即 ×24x＋×7x＋×25x＝×7×24，解得x＝3， ∴ PD=3. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $