1.3 第1课时 直角三角形的性质与判定-导学案--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.3 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 【素养目标】 1. 复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定。 (难点) 2. 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.(重点) 3. 理解逆命题、互逆命题的概念，能准确写出命题的逆命题，判断其真假，通过实例体会互逆命题的应用，提升逻辑推理能力 4. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯。 【复习导入】 问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 【合作探究】 探究点一、利用角判定直角三角形 问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 已知： 是直角三角形， . 求证： . 问题2: 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 已知：在 中， . 求证：是直角三角形。 【知识要点】 定理 直角三角形的两个锐角互余。 ① 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 ② 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 探究点二、利用三边数量关系判定直角三角形 我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理。 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 即 . 勾股定理的证明： 如图，在 中，分别以Rt 的三边为边长作正方形 , CBFG. 连接 . 过点作的垂线，分别交 和于点 . 证法 赵爽弦图 大正方形的面积可以表示为_______ ; 也可以表示为 ___________ . 勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？ 【典例精析】 例1 证明此命题： 已知：如图，在中， . 求证：是直角三角形。 【知识要点】 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 ③ 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。④ 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 【练一练】 1.如图，在四边形中， , ，求四边形 的面积。 探究点三、互逆命题与互逆定理 【合作探究】 观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？ 第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流。 说出下列命题的条件和结论： 1.如果两个角是对顶角， 那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 2.如果 ，那么 ; 如果 ，那么 . 3.一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。 观察上面三组命题， 你发现了什么？ 【知识要点】 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件， 那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 【想一想】你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？ 它们都是真命题吗？ 【练一练】 1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ (1) 两条直线平行，内错角相等； (2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 【归纳总结】 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理的逆定理。如：“定理①与定理②”，“定理③与定理④”都为互逆定理。 注意：(1) 命题有真有假，而定理都是真命题； (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系。 当堂反馈 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是(　　) A.66° B.36° C.56° D.46° 2.已知a，b，c是△ABC的三条边长，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是 (　　) A.a2=1, b2 =2, c2 = 3 B.a∶b∶c = 3∶4∶5 C.∠A+∠B=∠C D.∠A∶∠B∶∠C = 3∶4∶5 3.写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：______________________. 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB.若∠1＝50°，则∠B＝_________. 5.如果一个三角形的三边长a，b，c满足(c－24)2＋｜2a－20｜＋(b－26)2＝0，那么这个三角形的形状是_________. 6.如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，求阴影部分的面积。 参考答案 复习导入 问题：直角三角形的两个锐角互余。 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 探究点一、利用角判定直角三角形 问题1：证明： 是直角三角形， ，又 , . 问题2: 证明： ，又 , . 是直角三角形 探究点二、利用三边数量关系判定直角三角形 勾股定理的证明： , , (SAS)，又 , ，同理 . 证法 赵爽弦图 大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 . . 例1 证明：如图，作 ，使 , ，则 (勾股定理). , . . (SSS). (全等三角形的对应角相等). 因此，是直角三角形。 【练一练】1. 解： , . 是直角三角形且是直角。 .是直角三角形且是直角。 探究点三、互逆命题与互逆定理 【想一想】 逆命题： 如果两个有理数的平方相等， 那么这两个有理数相等。 举特例：命题： 真命题逆命题： 假命题 总结：一个命题是真命题；逆命题不一定是真命题。 【练一练】1. (1) 内错角相等，两条直线平行。 成立 (2) 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等。不成立 当堂反馈 1.　B　 2. D. 3.有两个角互余的三角形是直角三角形。 4.　40°. 5.　直角三角形　. 6.解：如图，连接AB. ∵∠ACB = 90°,∴AB ==5. ∵AD = 13, BD = 12, ∴AB2+BD2=132=AD2. ∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°. ∴S阴影＝AB∙BD－AC∙BC＝×5×12－×4×3＝24. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $