第二十章 勾股定理 单元测试卷一2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理单元测试卷一卷面分 学校 班级 姓名 考号 考试时间 _ 装订线 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 2．在中，，且，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．7 3．如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（   ） （第3题） （第4题） A．5 B．12 C．13 D．25 4．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 5．在△ABC中，，，的对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．是钝角 6．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） （第6题图） （第7题图） A． B． C． D． 7．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． （第8题图） （第10题图） 9．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（    ） A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对 10．把等腰直角△ABC按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④△BDE的周长等于的长．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为 ． 12．一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是 ． 13．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． （第13题图） （第15题图） 14．若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的高为 ． 15．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题（共8小题，合计75分） 16．已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． (1)求a； (2)先化简再求值：． 17．在中，，，，求△ABC的面积． 18．如图，中，，求的面积． 19．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 20．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 21．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中是边上的点．请你利用等面积法验证勾股定理． 22．在《2025年中央广播电视总台春节联欢晚会》中，“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合，表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）“巳巳如意三角形”． (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，则该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据． (3)在中，三边长分别为，，，且，．若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值． 23．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十章勾股定理单元测试卷一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C A C B B C 1．解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．解：在中，，且，，∴，故选：B． 3．解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积；故选：D． 4．解：∵点D、E分别为中点，∴， 在中，，∴；故选C． 5．由可得，，是直角三角形，且是直角．故选：C． 6．解：如图，由题意得： ，， ∴． 故选：A． 7．解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是，∴； ∵于点，，∴是直角三角形，， 由勾股定理得：；∴， ∴点表示的数为，故选：C． 8．解：将玻璃杯侧面展开如图所示： 由题意可得：，，∠D=90°，∴，故选：B． 9．解：当m为最长边时，，解得：（负值已舍去）； 当24为最长边时，，解得：（负值已舍去），不是整数，不符合题意； 综上所述，，故选：B． 10．解：∵等腰直角△ABC中，∵，∴， ∵折叠∴，，，，，，， ∴，∴，∴是等腰三角形 中，，∴，∴， ∴∴，， △BDE的周长等于； ∵，∴不平分，∴①，③错误，②④正确，故选：C． 11．解：∵直角三角形的两直角边长为5和12，∴该三角形的斜边长为． 故答案为：13． 12．解：如图所示， 在中，，，， ， ，树折断之前高，故答案为：． 13．解：在中，为斜边，米， 少走的距离为：（米），故答案为：4． 14． 解：设斜边长为，斜边上的高为， 由勾股定理得：，∴． ∵直角三角形面积：，同时：． ∴，解得 ． 故答案为： 15．解：∵四边形是矩形，∴，，， ∴，由折叠的性质，可得，， ∴，∴，∴， 设，则，， ∵，即，解得，∴．故答案为：． 16．解：（1），，，， 当为直角三角形的斜边时， 当为直角三角形的一条直角边时， 综上所述，的值为或； （2）解：由题意得，，，， 17．解：在中，，， 根据勾股定理可得：，即，解得 因此。答：△ABC的面积为． 18．解：由题意得， ∵，∴，∴（负值舍去）， ∵，∴， ∴是直角三角形，且，∴的面积． 19．（1）解：，．在中， ，，． 是的中点，． （2）解：如图， ，是的中点，． ，，，，是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，，， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 20．（1）解：∵，∴．在中，， 由勾股定理得，即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下：由（1）得， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵，，，∴，∴，即， ∴是垂线段，∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 21．解：因为梯形的面积， 梯形的面积的面积的面积的面积， 所以，所以． 22．（1）解：是． ∵三角形为等腰直角三角形，∴设直角边为，则斜边为 ∵，∴该结果等于另一条直角边平方的倍，满足“巳巳如意三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”． （2）解：该三角形是“巳巳如意三角形”．理由如下： ，，， ∴该三角形是“巳巳如意三角形”． （3）解：∵在中，三边长分别为，，，且，， 或． 当时，，即， 此时这个三角形是“巳巳如意三角形”，（负值已舍去）； 当时，，，， 此时这个三角形不是“巳巳如意三角形”． 综上所述，的值为． 23．（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知，即， ，解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下：，，， ， ， ， ，； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $