26.1 反比例函数的概念 讲义-2025-2026学年 沪教版（五四制 )八年级数学下册精讲精练

26.1 反比例函数的概念 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于0的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，y是x的函数.非零常数k 称为比例系数. 要点：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点； （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的c. 例1 下列各表述中的两个变量是否成反比例?如果是，请用表达式表示两者的关系. (1)平行四边形的面积为20 cm², 变量分别是平行四边形的一条边长a (单位：cm) 和这条边上的高h (单位：cm); (2)在压力为10N的情况下，变量分别是物体承受的压强p(单位：Pa) 和它的受力面积S (单位：m²). 解 (1)因为平行四边形的面积等于其一条边长a和这条边上的高h的乘积，可知ah=20, 所以a与h 成反比例，其关系可表示为 (2)因为压力等于物体承受的压强p和受力面积S的乘积，当压力10N时，pS=10, 所以p与S 成反比例，其关系可表示为 二、确定反比例函数的表达式 确定反比例函数表达式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其表达式. 　用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤是： 　 （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数表达式 中. 题型1：判断反比例函数 1．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，属于反比例函数的是（      ） A． B． C． D． 5．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2：辨析反比例关系 6．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 7．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 题型3：根据反比例函数的概念求参数 8．若函数为反比例函数，则a的取值范围为________． 9．已知函数是反比例函数，则m的值为__________ 10．已知函数是反比例函数，则的值为________． 11．是反比例函数，那么____． 12．若是关于的反比例函数，则的值是_____． 题型4：判断经过反比例函数图像上的点 13．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 14．已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 15．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 16．若点在反比例函数的图象上，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 题型5：反比例函数自变量的取值范围；比例系数 17．反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 18．在反比例函数中，比例系数_____________，自变量的取值范围是_____________． 19．反比例函数中，其比例系数是___________，自变量的取值范围是___________ 题型6：根据经过反比例函数图像上的点求参数 20．已知反比例函数 的图象经过点，则k的值为 （ 　  ） A．2 B． C．1 D． 21．点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 题型7：求反比例函数的值或自变量的值 24．已知反比例函数，当时，________． 25．反比例函数中，，y的值是______． 26．已知与成反比例关系，并且当时，，则时，的值为_____． 27．反比例函数中，比例系数是________，当时，________． 题型8：表格题 28．如表，如果x和y两个量成反比例关系，那么“？”处应填____． 29．已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为______________． x a y 8 32 题型9：根据反比例关系求解 30． 已知y与成反比例，且当时，，那么当时，______． 31． 已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式． 32．已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式． 33．已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 34．已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则的值为______． 一、单选题 1．下列函数是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 4．下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 5．下列数表中分别给出了变量与之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是（   ） A． 1 2 3 4 5 8 7 6 B． 1 2 3 4 8 5 4 3 C． 1 2 3 4 6 8 9 7 D． 1 2 3 4 1 6．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（    ） A．0 B． C．2 D．8 二、填空题 7．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 8．用函数表达式表示下列问题中的两个变量之间的关系，其中是反比例函数的关系是 ______． （1）长为的绳子剪下m米后，还剩下n米； （2）买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元； （3）矩形的面积为，相邻两边的边长是； （4）家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟； 9．当三角形的面积为时，它的底边长与底边上的高之间的函数表达式为_____． 10．若函数是反比例函数，则________． 11．已知点与点在反比例函数的图象上，则m的值为________． 12．若与成正比例关系，与成正比例关系，则与成_____________关系． 三、解答题 13．下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 14．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 15．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，并且当x＝1与x＝2时，y的值都等于7，求x＝－1时，y的值． 16．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． (1)求y的表达式； (2)求当时的值． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1 反比例函数的概念 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于0的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，y是x的函数.非零常数k 称为比例系数. 要点：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点； （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的c. 例1 下列各表述中的两个变量是否成反比例?如果是，请用表达式表示两者的关系. (1)平行四边形的面积为20 cm², 变量分别是平行四边形的一条边长a (单位：cm) 和这条边上的高h (单位：cm); (2)在压力为10N的情况下，变量分别是物体承受的压强p(单位：Pa) 和它的受力面积S (单位：m²). 解 (1)因为平行四边形的面积等于其一条边长a和这条边上的高h的乘积，可知ah=20, 所以a与h 成反比例，其关系可表示为 (2)因为压力等于物体承受的压强p和受力面积S的乘积，当压力10N时，pS=10, 所以p与S 成反比例，其关系可表示为 二、确定反比例函数的表达式 确定反比例函数表达式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其表达式. 　用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤是： 　 （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数表达式 中. 题型1：判断反比例函数 1．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为 （k为常数， ）或 （k为常数， ）． 【详解】解：∵反比例函数的定义为：形如 （ 为常数， ， ）的函数， ∴A选项 是正比例函数，不符合反比例函数定义， B选项 符合反比例函数的形式，是反比例函数， C选项 是二次函数，不符合反比例函数定义， D选项 是一次函数与反比例函数的和，不是反比例函数． 综上，故答案选B． 2．下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据反比例函数的定义：满足 形式的函数是反比例函数，可知选项A是反比例函数； 选项B，C，D满足 的形式，是一次函数， 故选：A． 3．下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为 ， 或 ，其中k为常数且 ，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、 ，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、 ，即 ，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、 ，即 ，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、 ，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 4．下列函数中，属于反比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数的解析式的形式为： 且k为常数， ， ， 为一次函数， 为二次函数， 为反比例函数， 因而可知选项D是反比例函数，其余选项均不是反比例函数． 故选：D． 5．有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ， 是 的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如 （ 为常数， ）或 （ 为常数， ）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：∵反比例函数的定义为 （ 为常数， ）或可变形为该形式， ① ，符合 （ ），是反比例函数； ② ，是正比例函数，不是反比例函数； ③ ，符合 （ ），是反比例函数； ④ 可变形为 ，符合 （ ），是反比例函数； ⑤ ，分母为 不是 ，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ⑥ ，不是 的形式，不是反比例函数； ∴是反比例函数的有①③④，共3个． 故选：B． 题型2：辨析反比例关系 6．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系的判断，需依据“两个相关联的量乘积一定则成反比例关系”的知识点，逐项分析各选项的数量关系即可求解． 【详解】解：A：设进价为定值 ，售价为 ，利润为 ，则 ，是差的数量关系，乘积非定值，不成反比例关系； B：身高与体重无固定的乘积或比值关系，不成比例关系； C：设路程为定值 ，速度为 ，时间为 ，则 ， 为定值，即 与 的乘积一定， 与 成反比例关系； D：设工作效率为定值 ，工作总量为 ，工作时间为 ，则 ， 为定值，即 与 的比值一定，成正比例关系； 故选：C． 7．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 题型3：根据反比例函数的概念求参数 8．若函数 为反比例函数，则a的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为 （ 为常数，且 ）． 根据反比例函数的定义，比例系数不能为零． 【详解】解：∵函数 为反比例函数， ∴ ， 即 ． 故答案为： ． 9．已知函数 是反比例函数，则m的值为__________ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，关键是将一般式 转化为 的形式．根据反比例函数的定义，即 ，只需令 且 即可． 【详解】解：根据题意 ， ， 又 ， ， 所以 ． 故答案为： ． 10．已知函数 是反比例函数，则 的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式 转化为 的形式．根据反比例函数的定义，则 且 即可求解． 【详解】解：∵函数 是反比例函数， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ， 故答案为： ． 11． 是反比例函数，那么 ____． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的定义．形如 的式子为反比例函数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ 是反比例函数， ∴ ， ∴ ， 解得 ， 故答案为：0 12．若 是关于 的反比例函数，则 的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数形式可表示为 （ ），因此指数部分需为 ，且系数不为零 【详解】解：∵函数 是关于 的反比例函数， ∴ 且 ． 由 得 ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为 ． 题型4：判断经过反比例函数图像上的点 13．反比例函数 的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据计算判断点是否在反比例函数上是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，逐一计算验证各选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为 对于 A：当 时， ，∴点 不在图象上，∴不符合题意； 对于B：当 时， ，∴点 不在图象上，∴不符合题意； 对于C：当 时， ，∴点 在图象上，∴符合题意； 对于 D：当 时， ，∴点 不在图象上，∴不符合题意； 故选： C． 14．已知反比例函数 ，则下列各点在该反比例函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数上的点的特征，熟练掌握反比例函数上的点的特征是解题的关键． 由 ，得到 ，再逐一运算判断即可． 【详解】∵ ， ∴ ， A： ，故A点不在图像上； B： ，故B点不在图像上； C： ，故C点不在图像上； D： ，故D点在图像上； 故选：D． 15．反比例函数 的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数 （ 为常数， ）的图象上的点满足横纵坐标的乘积等于 ，据此计算各选项横纵坐标的乘积，与 对比即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为 ， ∴在该反比例函数的图象上的点的横纵坐标的乘积一定要为 ， ∵ ， ∴四个点中，只有点 在该反比例函数的图象上， 故选：C． 16．若点 在反比例函数 的图象上，则点 的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点 在反比例函数 的图象上，则其坐标满足 ，计算各选项横纵坐标之积，等于 者即为正确答案． 【详解】解：A、 ，符合条件； B、 ，不符合条件； C、 ，不符合条件； D、 ，不符合条件； 故点 的坐标可能是 ， 故选：A． 题型5：反比例函数自变量的取值范围；比例系数 17．反比例函数 中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，自变量x的取值范围是 ． 【详解】解：∵函数 是反比例函数， ∴ ，即自变量x的取值范围是 ． 故答案为： ． 18．在反比例函数 中，比例系数 _____________，自变量 的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的标准形式确定比例系数，依据分式分母不为0的条件确定自变量的取值范围． 【详解】解：将给定的函数 变形为 ，由此可得比例系数 ， 由于分式的分母不能为0，所以 ， 解得 ， 即自变量 的取值范围是 ． 19．反比例函数 中，其比例系数 是___________，自变量的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，一般地，形如 （k是常数，且 ）的函数称为反比例函数，其中k是比例系数．据此即可求出k的值，再根据分母不为0求出自变量的取值范围． 【详解】解：反比例函数 中，其比例系数 是 ，自变量的取值范围是 ． 故答案为： ； ． 题型6：根据经过反比例函数图像上的点求参数 20．已知反比例函数 的图象经过点 ，则k的值为 （ 　  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入反比例函数即可得出结论． 【详解】解： 反比例函数 的图象经过点 ， ，解得 ． 故选：B． 21．点 在反比例函数 的图象上，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求反比例函数值， 将点A的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出纵坐标m的值． 【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上， ∴当 时， ． 故选：D． 22．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过 ，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数图象上的点满足横纵坐标之积等于k，代入点坐标求解． 【详解】解：∵点 在函数 的图象上， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 23．反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的求解，解决本题的关键是将点代入求解． 将点坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ， ∴将 代入解析式，得 ． 故答案为： ． 题型7：求反比例函数的值或自变量的值 24．已知反比例函数 ，当 时， ________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 直接把 代入反比例函数求出相应x的值即可． 【详解】解：当 时， ， ∴ ． 故答案为：2． 25．反比例函数 中， ，y的值是______． 【答案】 / 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，能理解函数图像上点的坐标特征是解此题的关键． 将 代入 求解即可． 【详解】解：当 时， ， 故答案为： ． 26．已知 与 成反比例关系，并且当 时， ，则 时， 的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系，先根据反比例函数的定义设出函数关系式，带入已知的 和 的值求出比例系数 ，得到函数解析式后，再将 代入解析式求出 的值. 【详解】解：设 ， 当 时， 解得 ； ； 当 时， 故答案为： ． 27．反比例函数 中，比例系数是________，当 时， ________． 【答案】 【分析】将函数解析式变为 ，根据反比例函数的定义即可得出答案，再将 代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴反比例函数的比例系数是 ， 当 时， ； 故答案为： ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义．形如 的函数称为反比例函数，其中 为自变量， 为函数， 为反比例系数，还考查了反比例函数的函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型8：表格题 28．如表，如果x和y两个量成反比例关系，那么“？”处应填____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的性质与应用，即两个量 和 成反比例关系时，它们的乘积是一个定值， （ 为常数）．由于 和 成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知数据 ， ，求出该定值，再代入求出 的值即可解答． 【详解】由反比例关系可知， （ 为常数）， 取 ， ，得 ， 验证 ， ， ，符合， 当 时，则 ，解得 ， 故答案为： ． 29．已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为______________． x a y 8 32 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，掌握相关知识是解题的关键．根据反比例关系设 ，求出 ， ，再将 ， 代入 即可求解． 【详解】解：由题意设 ， 当 ， 时， ， 解得： ， ， 当 ， 时， ， 解得： ， 故答案为： ． 题型9：根据反比例关系求解 30．已知y与 成反比例，且当 时， ，那么当 时， ______． 【答案】 【分析】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握反比例函数的形式． 利用待定系数法设解析式，然后代入数据进行求解即可． 【详解】解： 与 成反比例， 设 ． 代入 ，得 ， ， ． 当 时， ． 故答案为： . 31．已知 ，其中 与 成正比例， 与 成反比例．当 时， ；当 时， ，求 关于 的函数解析式． 【答案】 【分析】题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数与反比例函数的性质，根据题意，设 ，根据当 时， ；当 时， ，待定系数法求得 ，即可求解． 【详解】解：设 ， ∴ ， ∵当 时， ；当 时， ， ∴ ， 解得： ； ∴ 关于 的函数解析式为 ． 32．已知 ，并且 与 成正比例， 与 成反比例．当 ，当 ， ；求 关于 的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，设 ， ，则有 ，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式 【详解】解：设 ， ，则 ， 把 和 ， 代入得： ，解得 ， ∴ ． 33．已知 ，若 与 成正比例关系， 与x成反比例关系，且当 时， ； 时， ． (1)求y与x的函数关系式： (2)求 时，y的值． 【答案】(1) ； (2) 时， ． 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由 与 成正比例关系， 与x成反比例关系．分别设 ，并把 、 代入 中，然后把所给两组数分别代入求出 、 ，即可求出 与 的函数关系式． （2）把 代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当 时， ． 34．已知 与x成正比例（比例系数为 ）， 与x成反比例（比例系数为 ），若函数 的图象经过点 ， ，则 的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查利用一次函数和反比例函数的待定系数法求解析式，以及解二元一次方程组，根据题意设 ， ，则 ，再代入点 、 ，然后解方程组，即可作答． 【详解】解：设 ， ， ∴ ， ∵函数 的图像经过点 、 ， ∴ ，解得： ， ∴ 故答案为： ． 一、单选题 1．下列函数是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如： 或 或 其中 的函数是反比例函数． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、变形为 ，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不符合题意； D、是反比例函数，故本选项符合题意； 故选：D 2．下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的概念，掌握反比例函数概念，即可解题． 【详解】解：A、 是反比例函数，不符合题意； B、 EMBED Equation.DSMT4 是反比例函数，不符合题意； C、 可化为 是反比例函数，不符合题意； D、 是一次函数，不是反比例函数，符合题意． 故选：D． 3．若函数 为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D． 或2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为 且 ，因此指数需为 ，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数 为y关于x的反比例函数， ∴ ， ， 由 得 ， 解得： ， ， ∵ ， ∴ ， 综上所述， 的值为 ， 故选：A． 4．下列各点在反比例函数 的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据 得 ，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于 ，就在函数图象上． 【详解】解：∵ 点在该函数图象上需满足 ， A： ，∴不在图象上； B： ，∴不在图象上； C： ，∴ 不在图象上； D： ，∴ 满足方程，在图象上； 故选 ：D． 5．下列数表中分别给出了变量 与 之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是（   ） A． 1 2 3 4 5 8 7 6 B． 1 2 3 4 8 5 4 3 C． 1 2 3 4 6 8 9 7 D． 1 2 3 4 1 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，将反比例函数的解析式进行变形得到 ，再进行验证是解答本题的关键．反比例函数中，变量 与 的乘积为常数 ，通过计算各选项中 与 的乘积，判断是否恒定即可． 【详解】解：设函数解析式为 ，（ ）， 对于A、B、C选项，将对应的 、 的值代入函数解析式中，由于 值不相等，故选项A、B、C中 、 不是反比例函数关系，故不符合题意； 对于选项D，将对应的 、 的值代入函数解析式中，可得 值相等，故选项D中 、 是反比例函数关系，故符合题意． 故选：D． 6．若点 在反比例函数 的图象上，则代数式 的值为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先把点 代入反比例函数 ，求出 的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 二、填空题 7．下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ， 是 的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如 （ 为常数， ），或可转化为 （ ）、 （ ）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：① 是一次函数，不是反比例函数， ② 可变形为 ，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③ 中自变量 的次数为 ，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④ 可变形为 ，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤ 是二次函数，不是反比例函数， ⑥ 可变形为 ，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦ 是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 8．用函数表达式表示下列问题中的两个变量之间的关系，其中是反比例函数的关系是 ______． （1）长为 的绳子剪下m米后，还剩下n米； （2）买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元； （3）矩形的面积为 ，相邻两边的边长是 ； （4）家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟； 【答案】（3）（4）/（4）（3） 【分析】分别根据题意列出对应的函数关系式，再根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：（1）长为 的绳子剪下m米后，还剩下n米，则 ，这不是反比例函数，不符合题意； （2）买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元，则 ，这是正比例函数，不符合题意； （3）矩形的面积为 ，相邻两边的边长是 ，则 ，这是反比例函数，符合题意； （4）家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟，则 ，这是反比例函数，符合题意， 故答案为：（3）（4）． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． 9．当三角形的面积为 时，它的底边长 与底边上的高 之间的函数表达式为_____． 【答案】 【分析】根据等量关系“三角形的面积 底边 底边上的高”即可列出 与 的关系式． 【详解】解：∵三角形的面积 底边 底边上的高 ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键． 10．若函数 是反比例函数，则 ________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数 是反比例函数， ∴ ， 解得： ， 故答案为： ． 11．已知点 与点 在反比例函数 的图象上，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积相等，都等于比例系数k，然后问题可求解． 【详解】解：因为点 和点 在反比例函数 的图象上， 所以 ， 解得 ； 故答案为 ． 12．若 与 成正比例关系， 与 成正比例关系，则 与 成_____________关系． 【答案】反比例 【分析】根据题意写出y与x的关系及z与x的关系，消去x即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵ 与 成正比例关系， 与 成正比例关系， ∴ ， ， ， ，即 ， 将 ，代入 中可得， ， 即 ， ∴则 与 成反比例关系， 故答案为：反比例． 【点睛】本题考查正比例与反比例，解题的关键是用代入消元法消去x． 三、解答题 13．下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的三种等价形式： ( 为常数， ， )， ， ．判断函数是否为反比例函数，需看其能否化为上述形式，且满足 、自变量 的次数为 (或分母为单独的 )． （1）分析函数中 的次数，判断是否符合反比例函数对 次数的要求； （2）利用负整数指数幂的意义将函数转化为标准形式，验证是否符合定义； （3）识别函数为正比例函数形式，对比反比例函数定义进行判断； （4）直接对比反比例函数的标准形式，验证参数 是否不为0； （5）观察分母是否为单独的自变量 ，判断是否符合定义； （6）分析函数的结构，判断是否为纯粹的反比例式形式． 【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量 的次数为 ，而 中 的次数是 ，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵ ，符合反比例函数 的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵ ，是形如 的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵ 符合反比例函数 的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是 ，不是单独的自变量 ，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵ 是 与常数 的和，不是纯粹的 的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 14．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量 与单价x（元 ）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水 ，现用放水管 的速度排水，经过 排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1） ，y是x的反比例函数；（2） ，y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如 ，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量 单价 总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间 放水速度 蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得： ， ∴ ， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得 ， ∴y是x的反比例函数． 15．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，并且当x＝1与x＝2时，y的值都等于7，求x＝－1时，y的值． 【答案】1 【详解】设y1＝k1x(k1≠0)， (k2≠0)． ∵y＝y1＋y2， ∴ ， ∵当x＝1与x＝2时，y＝7 ∴ 解得 ∴ ． 当x＝－1时， 16．已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，当 时， ，当 时， ． (1)求y的表达式； (2)求当 时 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得出 ， ，根据 ，当 时， ，当 时， 得出 、 的函数关系式即可； （2）把 代入（1）中的函数关系式，求出 的值即可． 本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出 与 的函数关系式是解答此题的关键． 【详解】（1）解： 与 成正比例， 与 成反比例， ， ， ，当 时， ，当 时， ． EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ； （2）解：当 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $