第25章 一次函数 单元综合检测-2025-2026学年 沪教版（五四制 )八年级数学下册精讲精练

第25章 一次函数 单元综合检测 一、单选题 1．下列函数中，为一次函数的是（    ） A． B． C． D．（是任意常数）． 2．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 3．下列四个点中，不在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．正比例函数和一次函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 6．已知一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 二、填空题 7．一次函数在y轴上的截距是____________． 8．函数中，自变量的取值范围是______． 9．一次函数的图象经过点和，则该函数解析式为________． 10．如果把直线沿轴向上平移3个单位，那么平移后的表达式为_____ 11．一条直线经过原点，且与直线平行，则这条直线的解析式为______． 12．已知关于的正比例函数．若值随值的增大而增大，则的取值范围是_______________． 13．如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为_____． 14．已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而___________． 15．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶_______千米． 16．如图，直线经过两点，则不等式的解集为__________． 17．我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线上的“加倍点”坐标是_______． 18．点在一次函数的图象上，一次函数与轴相交于点，、两点关于轴对称．将沿轴左右平移到，在平移过程中，将该角绕点旋转，使它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为________． 三、解答题 19．已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)试判断点是否在（1）中的函数图象上，请说明理由． 20．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 21．已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时，y的值． 22．如图中的折线是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系的图像．    (1)通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？ (2)如果通话3分钟以上，电话费（元）与时间（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的电话费是多少元？ 23．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 24．若正比例函数的图象经过点．    (1)求出这个函数的解析式；并画出它的图象； (2)点B的坐标为，上述正比例函数图象上有一动点P，若点P在第二象限内，且设的面积为S，当S的值为2时，求出点P的坐标． 25．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)以点A为直角顶点作，射线交x轴的负半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D．当绕着点A旋转时，的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围； (3)如图2，点M是x轴上的一个点，点P是坐标平面内一点．若A、B、M、P四点能构成菱形，请写出满足条件的所有点P的坐标（不要解题过程）． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一次函数 单元综合检测 一、单选题 1．下列函数中，为一次函数的是（    ） A． B． C． D． （ 是任意常数）． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如 （ ， 是常数）的函数，叫做一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义对各项进行分析即可得到答案． 【详解】解：A． 中，自变量在分母上，不是一次函数，故此选项不符合题意； B． 是一次函数，故此选项符合题意； C． 中，自变量 的次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； D． （ 是任意常数），当 时，是一次函数， 时，不是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．在圆的周长公式 中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A． 、 、 均是变量，2是常量 B． 和 是变量，2和 是常量 C． 是变量，2， 和 是常量 D． 是变量， 是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式 中，2是固定系数， 是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径 可取不同值，对应的周长 会随之改变，故 和 是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在 中，2和 是固定不变的量，为常量； 随 的变化而变化，因此 和 是变量． 故选：B． 3．下列四个点中，不在正比例函数 的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入函数解析式，对比计算出的纵坐标与点的纵坐标是否一致，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：正比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式 ． A选项：当 时， ，与点 的纵坐标相等，故该点在图象上． B选项：当 时， ，与点 的纵坐标相等，故该点在图象上． C选项：当 时， ，与点 的纵坐标相等，故该点在图象上． D选项：当 时， ，与点 的纵坐标不相等，故该点不在图象上． 故选：D． 4．一次函数 的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，利用一次函数的图象与性质即可确定直线经过的象限，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴直线经过第一、三、四象限，图象不经过第二象限， 故选： ． 5．正比例函数 和一次函数 的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质、正比例函数的性质，分两种情况：当 时，当 时，分别结合一次函数的性质和正比例函数的性质分析即可得解，熟练掌握一次函数与正比例函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：当 时，正比例函数 图象经过第一、三象限，此时 ， ，即一次函数 的图象经过第二、三、四象限； 当 时，正比例函数 图象经过第二、四象限，此时 ， ，即一次函数 的图象经过第一、二、三象限； 故选：A． 6．已知一次函数 的图象如图所示，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C．当 时， D．当 时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象的性质．利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可． 【详解】解：将 ， 代入一次函数解析式 ， 得 ， 解得 ， 所以解析式为 ； ，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； 观察图象可知，当 时， ，故C选项符合题意； 观察图象可知，当 时， ，故D选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．一次函数 在y轴上的截距是____________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质及截距的定义，通过令自变量x等于零求函数值y，即可得到y轴上的截距． 【详解】解：对于一次函数 ，令 ，则 ， 因此该函数在y轴上的截距为 ． 故答案为： 8．函数 中，自变量 的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由 得 ， 解得： 且 ， 故答案为： 且 ． 9．一次函数 的图象经过点 和 ，则该函数解析式为________． 【答案】 / 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 将两点坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将点 和 代入 ， 得 ， 解得 ， 故函数解析式为 ． 故答案为： ． 10．如果把直线 沿 轴向上平移3个单位，那么平移后的表达式为_____ 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像变换，注意上下移动改变的是y，左右移动改变的是x，规律是上加下减，左加右减．根据上加下减，左加右减的法则可得出答案． 【详解】解：把直线 沿 轴向上平移3个单位，那么平移后的表达式为 故答案为： ． 11．一条直线经过原点，且与直线 平行，则这条直线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象平行的问题，解题的关键是熟练掌握一次函数图象平行，则 相同． 设所求直线解析式为 ，由于与直线 平行，则 ，再根据图象经过原点即可得到 ，即可求解函数解析式． 【详解】解：设所求直线解析式为 ． ∵与直线 平行， ∴ ． ∵经过原点， ∴ ． ∴解析式为 ． 故答案为： ． 12．已知关于 的正比例函数 ．若 值随 值的增大而增大，则 的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数中，当 时 随 的增大而增大是解题的关键． 根据正比例函数的性质，当比例系数大于 时， 随 的增大而增大． 【详解】解：∵正比例函数 中， 随 的增大而增大， ∴ ，解得 ． 故答案为： ． 13．如果直线 与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则 的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成图形的面积，掌握一次函数图象与坐标轴的交点的计算，图形面积的计算是关键．根据一次函数与坐标轴的交点得到当 时， ，当 时， ，结合图形面积的计算即可求解． 【详解】解：直线 ， 当 时， ，当 时， ， 直线 与两坐标轴所围成的三角形面积是4， 当 时， ， 解得， ， ∴ ， 当 时， ， 解得， ， ∴ ， 综上所述， ， 故答案为： ． 14．已知一次函数 与 轴交于正半轴，则函数值 随 的增大而___________． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据直线与y轴的正半轴相交可得 ，即可得出 ，再根据一次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：当 时， ， 即直线 与y轴的交点为 ． ∵一次函数 与y轴交于正半轴， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数 的函数值y随着x的增大而增大． 故答案为：增大． 15．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶_______千米． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设出函数关系式，待定系数法求出函数解析式，再令 ，求出自变量的值即可． 【详解】解：设某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）的函数关系式为 ， 由题意，得： ，解得： ， ∴ ， 当 时， ， 解得： ， ∴这辆汽车加满油最多能行驶 千米， 故答案为： ． 16．如图，直线 经过 两点，则不等式 的解集为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，注重数形结合，是解答本题的关键．先在坐标系中画出 、 的图象，再数形结合，找到在 图象下方且在 图象上方区域内，函数 的自变量的范围，即可作答． 【详解】解：在坐标系中画出 、 的图象，如图， 直线 经过 两点，且 过 ， 则结合图象可知： 的解集为： ， 故答案为： ． 17．我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线 上的“加倍点”坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据加倍点的定义设出加倍点的坐标是解题的关键． 根据加倍点的定义，设出加倍点的坐标，代入直线的解析式，即可求解． 【详解】解：设加倍点为： ， 代入直线的解析式得： ， ∴ ， ∴加倍点的坐标为： ． 故答案为： ． 18．点 在一次函数 的图象上，一次函数与 轴相交于点 ， 、 两点关于 轴对称．将 沿 轴左右平移到 ，在平移过程中，将该角绕点 旋转，使它的一边始终经过点 ，另一边与直线 交于点 ．若 为等腰直角三角形，且 ，则点 的坐标为________． 【答案】 或 【分析】分别过A、B和C作y轴、x轴的垂线并相交于M、N点，则由题意可得△B'MA≌△ANC'，再由全等的性质和已知条件可以得到B'坐标． 【详解】解：由题意可得：AB'=AC'，∠B'AC'= 90°， Ⅰ．当 '在 下方时， ， 将 代入 Ⅱ．当 在 上方时， 此时， 与 关于 点对称， ∴B''为[-2×2-(-8)，6×2-（-12）]即（4，24）， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、直角三角形全等的判定是解题关键． 三、解答题 19．已知 关于 的函数 ，且该函数是正比例函数． (1)求 的值； (2)试判断点 是否在（1）中的函数图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题考查正比例函数的定义、正比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数的一般形式： ． （1）利用正比例函数的定义求解即可； （2）根据满足函数表达式的点在其图象上进行判断即可． 【详解】（1）解：∵ 关于 的函数 是正比例函数， ∴ 且 ， 解得 ； （2）解：不在，理由： 由 得 ， 当 时， ， ∴点 不在（1）中的函数图象上． 20．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 【答案】(1)变量是印刷收费与印刷数量 (2)增加 (3)150（元） 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）解：由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为 （元）， 所以印刷1000张宣传单，收费 （元）． 21．已知 ，其中 与x成正比例， 与 成正比例，且当 时， ；当 时， ． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当 时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意设 ，则 ，然后利用待定系数法求得a、b的值，即可解答； （2）根据（1）中的结论，把 代入计算，即可解答． 【详解】（1）解：设 ， ， ， 当 时， ；当 时， ． ， 解得 ， ； （2）解：当 时， ． 22．如图中的折线 是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费 （元）与通话时间 （分钟）之间的关系的图像．    (1)通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？ (2)如果通话3分钟以上，电话费 （元）与时间 （分钟）的关系式是 ，那么通话4分钟的电话费是多少元？ 【答案】(1)通话1分钟，要付电话费 元；通话5分钟，要付电话费 元 (2)通话4分钟的电话费是 元 【分析】（1）观察图像，可得答案； （2）把 代入关系式，即可解答． 【详解】（1）解：观察图像，可知当 时， ；当 时， ， 通话1分钟，要付电话费 元，通话5分钟要付 元； （2）解：当 时， ， 通话4分钟的电话费是 元． 【点睛】本题考查了从图像中获取信息，求因变量的值，仔细观察得到所要的数据是解题的关键． 23．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）直线y=kx+b中，y随x的增大而减小可得 ，即可求解； （3）根据图象第一，三，四象限，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴ ， 解得： ； （2）解：∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小， ∴ ， 解得： ； （3）解：∵函数图象经过第一，三，四象限， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，能够熟练运用待定系数法确定待定系数的值，还要熟悉在直线y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小、能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限． 24．若正比例函数 的图象经过点 ．    (1)求出这个函数的解析式；并画出它的图象； (2)点B的坐标为 ，上述正比例函数图象上有一动点P，若点P在第二象限内，且设 的面积为S，当S的值为2时，求出点P的坐标． 【答案】(1) ，图象见解析 (2) 或 【分析】（1）将点A代入函数解析式，求出k值，可得解析式，再根据正比例函数的特征画图即可； （2）设 ，分点P在点A右侧，点P在点A左侧两种情况，根据点的坐标和三角形面积公式列出方程，求出a值即可得解． 【详解】（1）解：∵正比例函数 的图像经过点 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 画图如下：    （2）由题意可设： ， 当点P在点A右侧时， ， 解得： ； 此时 ； 当点P在点A左侧时， 解得： ； 此时 ； 综上：点P的坐标为 或 ．    【点睛】本题考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形面积的计算方法，分情况讨论问题． 25．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (1)求直线 的解析式； (2)以点A为直角顶点作 ，射线 交x轴的负半轴于点C，射线 交y轴的负半轴于点D．当 绕着点A旋转时， 的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围； (3)如图2，点M是x轴上的一个点，点P是坐标平面内一点．若A、B、M、P四点能构成菱形，请写出满足条件的所有点P的坐标（不要解题过程）． 【答案】(1) ； (2)不变，理由见解析 (3)点P的坐标为 ， ， ， 【分析】（1）由A、B两点的坐标利用待定系数法可求得直线 的解析式； （2）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E、F，可证明 ，可得到 ，从而可把 转化为 ，再利用线段的和差可求得 ； （3）分 为对角线、 为对角线和 为对角线，分别利用菱形的性质，画出图形，求出 点的坐标，进而即可求出 的坐标． 【详解】（1）解：设直线 的解析式为： . 点 ，点 在直线 上， ，解得 ， 直线 的解析式为： ； （2）不变，理由如下： 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，如图， 则 ， 又 ， ， ， ， ， . ， . 在 和 中 ， ， . . 故 的值不发生变化，值为8； （3）① 为对角线时，连接 交 于点H，连接 、 ，如图， 四边形ABMP为菱形， ，且 ， ， ， ， 点坐标为 ； ② 为对角线时，如图， 设 ， 四边形ABPM为菱形， ， 即： ，解得： 或 ， 或 ， 或 ； ③ 为对角线时，如图， 四边形 为菱形， ， 即： ，解得： ， ， ； 综上可知满足条件的所有点P的坐标为 ， ， ， ． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质、菱形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中确定出 点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 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