专题25.1 变量与函数（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题25.1 变量与函数 教学目标 1. 理解常量、变量的意义，能在实例中区分常量与变量； 2. 掌握函数的核心概念：变化过程中两变量x与y，对x的每一个确定值，y都有唯一确定值与其对应，明确自变量、函数、函数值的概念； 3. 能写出简单函数的表达式，确定自变量的取值范围（兼顾解析式与实际意义），会求函数值； 4. 能用表达式、表格、图象三种形式描述简单函数关系，建立初步的函数模型。 教学重难点 1.重点 函数概念的理解；能在实例中写出函数表达式，准确确定自变量取值范围；掌握函数的三种表示法，能实现简单的形式转换。 2.难点 函数概念的理解与应用. 知识点01 常量与变量 1.概念：在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量. 2.说明： (1)在很多问题中，一个变量往往依赖于另外一个变量. (2)变量一般都用字母表示，常量一般用具体的数表示，但有时也用字母表示，不能认为式子中出现的字母就是变量.如：圆周率π,它是常量，而不是变量. 【即学即练】 例1写出下列问题中的关系式，并指出其中的常量和变量. (1)打字收费标准是每千字4元，试用字数x(千字)表示打字费y(元); (2)一个容积40升的油箱，汽车匀速行驶时每小时耗油8升，试用行驶时间t(小时)表示油箱里的剩余油量Q(升); (3)圆的周长公式； (4)已知三角形的底边为x,高为h,求面积为y. (5)y是x的平方根的3倍. 解：(1)y=4x,其中4是常量，x、y是变量. (2)Q=40-8t,其中40、-8是常量，t、Q是变量. (3)C=2πr,其中2、π是常量，半径r、周长C都是变量. (4)y=xh，其中是常量，x、h、y是变量. (5)y=，其中3是常量，x、y是变量. 知识点02 自变量与函数 1. 定义 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化；当x的值确定时，y的值也随之唯一确定.变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. 说明，确定是否存在函数关系的方法： (1)某一变化过程中有两个变量. (2)两个变量之间有确定的依赖关系，其中一个变量x的变化引起另一个变量y的变化. (3)自变量x在取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应 【即学即练】 例2 在例题1中，各小题中的几个变量之间是否存在函数关系？ 解：（1）在y=4x中，当x每取一个值时，y都有唯一的值与之对应，所以y是关于x的函数； （2） 在Q=40-8t中当0t5时，当t每取一个值时，Q都有唯一的值与之对应，所以Q是关于t的函数； （3） 在C=2πr中,当r时，当r每取一个值时，C都有唯一的值与之对应，所以C是关于r的函数； （4） 在y=xh中存在三个变量，所以他们之间不存在函数关系； （5） 在y=中，当x时，x每取一个值时，y都有2个值与之对应，所以y不是关于x的函数； 2. 自变量的取值范围 一个函数中，自变量都有它的取值范围。 说明： (1) 对于用表达式表示的函数，如果不加说明，那么这个函数自变量的取值范围是能使这个函数的表达式有意义的所有实数. (2) 当用函数表达式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数表达式本身有意义，而且还必须使实际问题有意义. 【即学即练】 例3 指出例1中几个函数关系中自变量的取值范围. 解：（1）在y=4x中，x为任意实数； （2） 在Q=40-8t中，当0t5； （3） 在C=2πr中,r； 例4 在例1中第(5)小题，若把题目改成“y是x的算术平方根的倒数”呢？此时y是不是关于x的函数，如果是，自变量的取值范围是多少？ 解：因为y=或y=,所以y是关于x的函数，x的取值范围是x>0. 3. 函数关系的三种表示形式 （1） 用函数表达式来表示； （2） 用表格来表示； （3） 用图像表示 4. 函数值 对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即如果当x=a时y=b,那么称b为函数在x=a时相应的函数值. 【易错辨析】 1. 求函数自变量的取值范围时易因考虑不周而出错 例5 现将500本笔记本赠送给学生，每人5本，写出余下的笔记本数y和学生数x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围. 解：所求的函数表达式为y=500-5x. ∵x表示学生数，∴x≥0 【评析】解答有误.∵x表示学生数，∴x应为整数.又∵y表示笔记本数，∴y=500-5x≥0，∴O≤x≤100且x为整数 【点睛】在实际问题的函数表达式中，不要因忽视自变量和函数的实际意义或隐含条件而出错.本题易漏掉x为整数和y这两个隐含条件. 2. 在读取函数图像信息时易因未理解自变量和函数代表的实际意义而出错 例6 有一个巡检机器人从巡检起点出发，到达本次巡检最远点后，未发现任何异常情况便原路返回．机器人离出发地点的距离与的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)这个函数图象反映了哪两个变量之间的关系？ (2)巡检机器人耗时多少到达最远点？最远点距起点多远？ (3)求t=26时的函数值，并说明它的实际意义． 解：（1）这个函数图像反映了巡检机器人行驶路程与行驶时间两个变量之间的关系； （2）由图可知，巡检机器人耗时26分钟时到达最远点，相距； （3）由图可知，当时，函数值， 它的实际意义为：机器人26分钟到达最远点. 【评析】解答有误. y代表的不是“机器人行驶路程”而是“机器人距离出发点的距离”，所以函数图象反映的是“机器人距离出发点的距离”与行驶时间两个变量之间的关系； 由图可知，巡检耗时20分钟距离起点最远点处； 由图可知，当时，函数值y=0(m)，它的实际意义为：机器人26分钟时距离起点0m,即26分钟时机器人返回到起点. 【点睛】理解函数的图像关键是要辨析清楚是哪两个变量之间的依赖关系，函数图像有别于我们之前的线段示意图. 题型01 常量和变量的识别 【典例1】要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量． 【详解】解：∵长方形面积为， ∴是固定不变的量， ∵长为，宽为， ∴，是可以变化的量， ∴常量为；变量为，， 故选：A． 【变式1】如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【答案】D 【分析】本题考查了变量与常量的概念，解题关键是区分“变化的量”和“固定不变的量”． 要判断变量和常量，需明确：变量是在变化过程中数值发生改变的量，常量是数值固定不变的量，结合关系式分析即可． 【详解】解：在关系式中： （身高）和（一拃长）的数值会随不同的人发生变化，因此与是变量； 和是固定不变的数值，因此是常量． A、是变量，是常量，错误，不符合题意； B、是变量，是常量，错误，不符合题意； C、与是变量，与是常量，错误，不符合题意； D、与是变量，与是常量，正确，符合题意． 故选：D ． 【变式2】已知圆的周长C与半径r的计算公式为，则下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键． 根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：∵ 在公式 中， 和 是固定不变的常数，属于常量；是半径，可以取不同值，属于变量；是周长，随 的变化而变化，也属于变量， ∴ A、是变量，说法错误，不符合题意； B、是变量，说法错误，不符合题意； C、是变量，说法正确，符合题意； D、是常量，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化， ∴常量是单价， 故选：C． 【变式4】在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（   ） A．速度v是变量 B．速度v是常量，路程s和时间t都是变量 C．时间t，速度v是变量 D．速度v、时间t、路程s都是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的概念掌握，常量是固定不变的量，变量是变化的量是解题的关键． 速度不变即为常量，路程和时间会相互变化，故为变量. 【详解】解：∵速度保持不变， ∴是常量， ∵，且v为常量， ∴随的变化而变化，或随的变化而变化， ∴和都是变量． 故选：B． 题型02 函数关系的辨析 【典例1】有下列式子：①；②；③；④．其中是的函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 判断每个式子是否满足函数的定义，即对于每个自变量，有唯一的因变量对应． 【详解】解：∵ 函数要求对于每个，有唯一的对应， ①，对于每个，唯一，是函数； ② ，对于，有两个值（正负根），不满足唯一性，不是函数； ③ ，即，对于每个，唯一，是函数； ④ ，对于，唯一（算术平方根），是函数. ∴ 是函数的个数为=． 故选：C． 【变式1】有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应． 【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值， ∴ ①y是x的函数； ∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ②y不是x的函数； ∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ③y不是x的函数； ∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值， ∴ ④y是x的函数； ∴ ①和④是函数，共2个， 故选：B． 【变式2】下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的概念是解决本题的关键． 有两个变量x和y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y与之对应，那么y就是x的函数，据此判断即可． 【详解】解：A、y不是x的函数，不符合题意； B、y不是x的函数，不符合题意； C、y不是x的函数，不符合题意； D、y是x的函数，符合题意． 故选D． 【变式3】下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系的判断． 函数的定义：对于自变量每一个取值，因变量有唯一值与之对应． 函数关系要求每个自变量值对应唯一因变量值．A、B、C均符合此定义，D中数学成绩与物理成绩可能不满足唯一对应． 【详解】解：选项A：正方形周长C与边长a的关系为，对于每个a，C唯一确定，是函数关系； 选项B：在弹性限度内，弹簧长度l与质量m的关系为（k为常数），对于每个m，l唯一确定，是函数关系； 选项C：匀速行驶时，路程s与时间t的关系为（v为常数），对于每个t，s唯一确定，是函数关系； 选项D：数学成绩与物理成绩之间，可能存在多个物理成绩对应同一数学成绩，或反之，不满足唯一性，故不一定是函数关系； ∴不一定是函数关系的是D． 故选：D． 【变式4】乌鸦在井旁找到了一个装有小半瓶水的玻璃瓶，由于瓶口狭窄，它想到了办法，将旁边的石子投入圆柱形玻璃瓶中使水面上升（假设石子的大小相同，瓶颈口的高度忽略不计）．下列关于乌鸦喝水的描述正确的有（    ） ①瓶子的高度是常量；②自变量是瓶中水面高度；③投入石子的数量是变量；④乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】该题考查了常量、变量和函数的定义，根据题意解答即可． 【详解】解：常量是瓶子的高度，变量是石子的数量和瓶中水面高度， 自变量是石子的数量，因变量是瓶中水面高度， 随着石子数量的增加，瓶中水面高度也增加，故乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系， 故①正确；②错误；③正确；④正确． 正确的是①③④，共3个， 故选：C． 题型03 列函数表达式 【典例1】一个矩形的面积为10，两条邻边长分别为x和y，那么y与x之间的函数关系式是 ，其中常量是 ，变量是 ，x的取值范围是 ． 【答案】 10 x和y 【分析】由矩形的一边等于面积除以这一边的邻边，可得函数解析式，不会发生变化的量是常量，变化的量是变量，根据常量与变量的含义可得本题的常量与变量，再根据变量的实际意义，可得其取值范围，从而可得答案. 【详解】解：一个矩形的面积为10，两条邻边长分别为x和y， 那么y与x之间的函数关系式是：， 其中常量是 变量是 变量的取值范围是：， 故答案为：， x和y， 【点睛】本题考查的是列函数关系式，常量与变量的概念，求解变量的取值范围，掌握以上概念是解题的关键. 【变式1】油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ；自变量t的取值范围是 ． 【答案】 Q＝30﹣0.5t 0≤t≤60 【分析】根据总油量减去剩余油量，可得函数关系式，根据剩余油量为非负数，可得自变量的取值范围． 【详解】解：总油量减去剩余油量，得：Q＝30﹣0.5t； 剩余油量为非负数，得：30﹣0.5t≥0， 解得t≤60， 时间为非负数，得t≥0， 即自变量t的取值范围是0≤t≤60， 故答案为：Q＝30﹣0.5t，0≤t≤60． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，先求出每分钟的流油量，再正确表示出函数关系式． 【变式2】如果弹簧原长为，每挂重物弹簧伸长，假设重物质量为，受力后的弹簧长度为，则与的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，能够根据题意中的等量关系建立函数关系式是解题关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【变式3】小明爸爸开车带小明去福州游玩，一路上匀速前行，小明记下了如下数据，从9点开始，记汽车行驶的时间为（小时），汽车离福州的距离为，则关于的关系式为 ． 观察时刻 9：00 9：30 10：00 路牌内容 福州 福州 福州 （注：“福州”表示该路牌所在位置离福州的距离为） 【答案】/ 【分析】本题考查了函数关系式，根据表格得出行驶速度是解题的关键． 由表格得出每小时行驶，用开始时离福州的距离减去行驶的距离即可． 【详解】解：由表格可知，汽车每半小时行驶, ∴汽车的行驶速度为， 则． 故答案为： ． 【变式4】某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用（元）与人数（人）之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系，根据25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元，列出函数关系，即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 题型04 自变量的取值范围 【典例1】求下列函数的自变量x的取值范围： (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 【答案】(1)全体实数 (2)全体实数 (3) (4) (5)且 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，列式计算即可得解． 【详解】（1）自变量x的取值范围是全体实数； （2）自变量x的取值范围是全体实数； （3）依题意有， 解得； （4）依题意有， 解得； （5）依题意有且， 解得且． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【变式1】函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，解题的关键是理解被开方数非负的条件．由被开方数求解即可． 【详解】解：由得，， 故答案为：． 【变式2】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，求不等式的解集，掌握分式的分母不能为0是解题的关键． 根据题意可得，由不等式的性质即可求解． 【详解】解：函数中，， ∴， 故答案为： ． 【变式3】函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的函数自变量的取值范围，掌握分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得且， 故答案为：且． 【变式4】一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2 m/s，到达坡底时小球的速度达到40 m/s. （1）求小球的速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数关系式； （2）求t的取值范围； （3）求3.5 s时小球的速度； （4）求t(s)时小球的速度为16 m/s. 【答案】（1）v=2t   （2）0≤t≤20   （3）7cm/s  （4）8s 【分析】对于（1），已知小球从静止开始运动，且速度每秒增加2m/s，据此即可得出小球的速度v与时间t之间的函数关系式； （2），将小球到达坡底时的速度代入函数解析式中，即可求出t的最大值，再结合t≥0即可得到自变量的取值范围了； 对于（3）和（4），分别将t=3.5和v=16代入计算即可得到答案 【详解】（1）由题意可得，v=2t. 则速度v与时间t之间的函数关系式为v=2t； （2）令v=40，则40=2t， 解得t=20 结合题意可知t的取值范围是0≤t≤20； （3）将t=3.5代入v=2t中，得v=7， 即3.5s时小球的速度为7m/s； （4）将v=16代入v=2t中，得t=8， 即8s时小球的速度为16m/s. 【点睛】此题考查一次函数的解析式，自变量取值范围，要符合实际意义，t因为函数关系是一一对应的，每一个自变量t,对应一个函数值s,同样每一个函数值s对应唯一的自变量值t 题型05 求函数值 【典例1】在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【答案】 9 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，分别将和代入函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，函数的值为9； 当时，即， 解得， ∴当函数值为4时，自变量x的值为． 故答案为：9；． 【变式1】已知二次函数，当时，函数值 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数的性质，把直接代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 【变式2】同一温度的华氏度数（）与摄氏度数（）之间的函数关系是，如果某一温度的摄氏度数是，那么它的华氏度数是 ． 【答案】41 【分析】本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．把的值代入函数关系式计算求出值即可． 【详解】解：根据题意，当时，， 所以它的华氏度数是， 故答案为：． 【变式3】在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹筑的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹簧的长度是 ． 【答案】 【分析】根据表格数据可直接得出答案． 【详解】解：由表格可知，当所挂物体的质量为，即不挂物体时， 弹簧的长度是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了函数的表示方法—列表法，学会从表格数据中观察出函数的关系是解决本题的关键． 【变式4】为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y（棵）与参与活动人数x（人）的变化关系如下表所示： x/（人） 1 2 3 4 5 … y/（棵） 4 8 12 16 20 … 观察表中数据可知，该班有 人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵． 【答案】8 【分析】本意主要考查函数的表示方法，写出正确的函数表达式是解题的关键． 先写出栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数(人)的函数关系式，在代入即可． 【详解】解：由已知可得，， 当时，即， 解得：． 故答案为：8． 题型06 表格、图像信息的获取 【典例1】一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 【答案】(1) (2)厘米 (3)当拉力是千克时，弹簧长度是厘米 【分析】本题考查了函数的实际应用，根据表格数据得出函数解析式、正确求函数值和自变量的值是解题的关键． （1）由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米，得出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式即可； （2）把代入（1）所求函数解析式，求出弹簧长度即可； （3）把代入（1）所求函数解析式，求出此时的拉力即可． 【详解】（1）解：由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米， ∴弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式为：； （2）解：把代入得：， 答：如果拉力是千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：把代入得：， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是厘米． 【变式1】如图，下面的图象记录了某地一月份某大的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象回答下面的问题：    （1）在这个问题中，变量分别是 ，时间的取值范围是 ； （2）20时的温度是 ℃，温度是0℃的时刻是 时，最暖和的时刻是 时，温度在－3℃以下的持续时间为 小时； （3）你从图象中还能获得哪些信息？（写出1～2条即可） 答： ． 【答案】 时间、温度 12 18 14 8 12时-18时之间，温度都高于0℃；答案不唯一 【详解】试题解析：在这个问题中，变量分别是时间、温度，时间的取值范围是 20时的温度是℃，温度是0℃的时刻是和时，最暖和的时刻是时，温度在－3℃以下的持续时间为小时； 12时-18时之间，温度都高于0℃；答案不唯一. 故答案为时间、温度，，和，， 12时-18时之间，温度都高于0℃；答案不唯一. 【变式2】动点H以每秒的速度沿图1中的长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图2，已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查动点问题的函数图象的相关知识．由图2中点及，可得长方形另一边长的长度，进而根据纵坐标为m的点判断出动点H所在的位置，求得相应的的面积即为m的值． 【详解】解：观察图2可得：当点H运动到点D时，运动路程为，运动时间为14秒， ∵动点H以每秒的速度运动， ∴， ∵，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴当点H运动到点B时，，如图： ∴， ∴． 故答案为：10． 【变式3】父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了函数关系式以及求函数值．根据题意列出正确的关系式是解题关键． （1）由表可知高度每增加1千米，温度下降，据此即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：由表知：高度每增加1千米，温度下降 ∴ （2）解：将代入得： 答：距离地面8千米的高空温度是． 【变式4】饭后，老王从家里外出散步，如图描述了他散步过程中离家的距离（单位：）与散步所用的时间（单位：分）之间的关系．依据变量之间的关系图，下面描述：①从家里出发，路上遇到熟人交谈一会，就回家了，②从家出发，到了一个公共阅报亭看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了，③从家出发，一直散步（没有停留），然后回来了，④从家出发，散了一会儿步，就找同事去了，18分钟后才开始返回，其中不符合老王散步情景的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据函数图象的横纵坐标进行分析，可得答案． 【详解】由纵坐标看出，0到4分钟，老王离家越来越远，可以判断老王从家到了某处，4到10分钟，老王离家的距离保持在300m没变，可以判断老王在某处停留，10到12分钟，老王离家越来越远，可以判断老王停留后继续前行，由纵坐标看出12到18分钟返回家中，故①到④中，不符合老王散步情景的是①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了函数图象，准确理解题意，观察函数图象的纵坐标是解题关键． 、 1．关于球的体积公式，下列说法正确的是（    ） A．V，π，r是变量，是常量 B．V，r是变量，，π是常量 C．V，π是变量，，r是常量 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了变量与常量的定义，掌握变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量是解题的关键． 根据变量和常量的定义，变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量，进行判断即可． 【详解】解：在球的体积公式 中， 和 的值随球的大小变化而变化，是变量； 和 的值固定不变，是常量，选项B正确． 故选：B． 2．河北省的特产丰富多样，其中赞皇大枣被誉为“枣中之王”，皮薄肉厚、甜度高、营养丰富．一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元，则50和m分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键． 根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可判断． 【详解】解：∵一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元， ∴50和m分别是常量，变量 故选：C． 3．下列各式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，解题关键是抓住“对于的每一个确定值，有唯一确定的值对应”这一核心条件，判断每个选项是否满足该条件． 根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一分析选项． 【详解】解：A、对于，当时，每一个值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义，不符合题意； B、对于​，当时，每一个值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义，不符合题意； C、对于，当时，每一个值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义，不符合题意； D、对于，当时，一个值会对应两个值，不符合函数定义，符合题意． 故选：D． 4．下列表达式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义． 根据函数的定义，对于每个自变量x，必须有且只有一个因变量y与之对应． 【详解】解：A．，对于每个自变量x，有且只有一个因变量y与之对应，y是x的函数； B．，对于每个自变量x，有且只有一个因变量y与之对应，y是x的函数； C．，当时，一个自变量对应两个值，不满足函数的定义，y不是x的函数； D．，y是x的函数； 故选：C． 5．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．某网店内一种茶叶的售价为10元/克，购买克的总价钱为元，下列正确的是（　　） A．自变量是茶叶的单价 B．自变量是总价钱 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义，列函数关系式；根据函数的定义，并列出函数关系式逐一判定即可． 【详解】解：A、自变量是茶叶的重量，原说法错误，故不符合题意； B、自变量是茶叶的重量，原说法错误，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，原关系式错误，故不符合题意； 故选：C． 6．下列两个变量间不存在函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键． 根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意； 故选：D． 7．函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键． 根据二次根式中被开方数大于等于零求解即可． 【详解】解：∵函数为， ∴，解得， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为： ． 8．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 9．若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值的求解，把自变量代入函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 10．在函数中，当函数值为时，自变量的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出的值是解题的关键．代入，求出的值即可． 【详解】解：当时，， 解得：． 故答案为：． 11．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有下面关系： x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 那么弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式以及函数的表示方法，观察表格可发现随着x每增加1，y增加量0.5，0.5为常量，12也为常量，故可求出弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式． 【详解】解：由表可知，弹簧原长，每挂上的重物，弹簧伸长， 则弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式为， 故答案为：． 12．一个等腰三角形的周长是，腰长是，底边长是，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式，正确求得函数关系式是关键．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式即可． 【详解】解：由题意得： ∴， 故答案为：． 13．一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝ （0≤t≤5）．（自变量表达式按照t的降幂排列） 【答案】 【分析】蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，则t小时燃掉4t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度． 【详解】解：∵点燃后平均每小时燃掉4厘米， ∴t小时燃掉4t厘米， ∴． 即蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是． 故答案为：． 【点睛】根据实际问题列函数关系式，与根据实际问题列方程解应用题具有共性，即都需要确定等量关系，不同点是函数关系是两个变量，而方程一般是一个未知数． 14．某种货物的进价是每件5元，售出时的标价是每件5.8元，那么获得的利润y（元）与售出的数量x（件）之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据获得的利润等于与每件的获得的利润乘以售出的数量，即可求解． 【详解】解：获得的利润y（元）与售出的数量x（件）之间的函数关系式是 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 15．求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)为任意实数 (2) (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键． （1）根据整式的定义解答； （2）根据分式的分母不为零得到答案； （3）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】（1）解：函数表达式右边是整式，所以的取值范围为任意实数； （2）解：根据分式有意义的条件，分母不为0，故的取值范围为； （3）解：由得，的取值范围为． 16. 求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)x是任意实数 (2)且 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据对任意的实数，整式都有意义即可求解； （2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围； （3）根据0的0次幂无意义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：x为任意实数； （2）解：根据题意得：， 解得：且； （3）解：根据题意得：， 解得：． 17．已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小． （1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解； （2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解； （3）把x的值代入函数关系式计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得，， 即关于的函数表达式为； （2）解：因为宽为米，长为米， 所以， 所以， 解得， 所以自变量的取值范围为； （3）解：当时，． 18．已知某个等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)写出y与x的函数解析式； (2)确定x的取值范围； 【答案】(1)y与x的函数解析式为： (2)x的取值范围为 【分析】本题主要考查一次函数与图形的综合，掌握等腰三角形的定义，一次函数图象的作图方法是关键． （1）根据等腰三角形周长的计算列式，再化为一般式即可； （2）根据三角形三边数量关系列不等式即可求解； 【详解】（1）解：等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为， ∴， 化为一般式得，， ∴y与x的函数解析式为：； （2）解：根据题意得到，，即， 解得，， ∴x的取值范围为； 19．拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 【答案】(1)（） (2)升 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围； （2）把代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，即， 解得， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为． （2）当时，． 答：当拖拉机工作时，油箱内还剩余油升． 20．心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：min）之间有下表所示的关系： 提出概念所用时间x 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力y 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中，自变量是____________，因变量是__________． (2)根据表格中的数据，提出概念所用时间是________min时，学生的接受能力最强． (3)学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 【答案】(1)提出概念所用时间；对概念的接受能力 (2)13 (3)从第13min以后 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量，掌握变量、自变量、因变量的定义，从表格中获取有用的信息是解题的关键． （1）根据变量、自变量、因变量的定义作答即可； （2）（3）根据观察表格即可． 【详解】（1）解：表中反映的是提出概念所用时间和对概念的接受能力两个变量之间的关系，其中提出概念所用时间是自变量，对概念的接受能力是因变量． 故答案为：提出概念所用时间；对概念的接受能力． （2）解：根据表格中的数据，提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力最强，达到了． （3）解：由表格可知，学生对一个新概念的接受能力从分钟后开始逐渐减弱． 21．某校的复印任务由甲复印社承接，其费用y（单位：元）与复印页数x的关系如下表： x 100 200 400 1000 … y/元 40 80 160 400 … (1)表格中自变量是________，因变量是________． (2)①随着复印页数的逐渐增加，费用的变化趋势是什么？ ②复印页数每增加100，费用怎样变化？ (3)当复印页数为2000时，估计费用是多少元． 【答案】(1)x  y (2)见解析 (3)800元． 【分析】（1）自变量是在变化过程中主动变化的量，因变量是随着自变量变化而变化的量，据此判断； （2）①观察表格中增大时的变化情况；②计算相邻两组中，复印页数增加时费用的变化量； （3）先找出与的数量关系，再代入计算． 【详解】（1）解：自变量是在变化过程中主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量． 表格中，复印页数是主动变化的，费用随的变化而变化，故表格中自变量是，因变量是． （2）解：① 观察表格数据：从增加到、……，对应的从增加到、……，因此随着复印页数的逐渐增加，费用的变化趋势是逐渐增加． ② 表格数据可知，费用与复印页数的比值恒为（如, ，，），因此，复印页数每增加100，费用增加元． （3）解：由（2）分析可知，费用与复印页数的比值恒为，即． 当时，，所以估计费用是元． 【点睛】本题考查了变量的概念与正比例关系的应用，解题关键是识别自变量与因变量，通过表格数据确定两个量的正比例关系（比值恒定），进而分析变化趋势或计算未知量． 22．学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【答案】(1)管理员每天需要整理300本图书 (2)，与a成反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系， （1）先求出图书的总数，再除以天数可得答案； （2）根据题意写出关系式，再判断比例关系即可． 【详解】（1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知：（或或）， 与a成反比例关系． 23．某无人机爱好者操纵无人机进行航拍，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度为多少米/分钟？ (2)无人机最高上升到多少米？在最高处停留了多少分钟？ (3)请用简短的语句描述0～7分钟无人机的升降情况． 【答案】(1)无人机升降的速度为30米/分钟 (2)无人机最高上升到90米，在最高处停留了5分钟 (3)无人机在0～2分钟时上升；在2～6分钟时高度保持不变；在6～7分钟时继续上升 【分析】本题主要考查函数图象，解题的关键是理解函数图象；因此此题可根据函数图象求解（1）（2）（3）小问． 【详解】（1）解：根据图象可知：无人机上升高度为60米时，操控无人机的时间是2分钟， 所以无人机升降的速度为（米/分钟）； 答：无人机升降的速度为30米/分钟． （2）解：由图可知：无人机最高上升到90米， 在最高处停留了（分钟）； 答：无人机最高上升到90米，在最高处停留了5分钟． （3）答：无人机在0～2分钟时上升；在2～6分钟时高度保持不变；在6～7分钟时继续上升．（说法不唯一，正确即可） 24．小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后加快速度骑车去学校，已知小明家、文具店、学校在同一直线上，如图折线段是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的图象，根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是 米，折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是 ； (2)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (3)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？ 【答案】(1)1500，小明在文具店停留了4分钟 (2)2700 (3)需要花费7.5分钟 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；根据函数图象的横坐标，可得到达文具店时间，离开文具店时间，根据有理数的减法，可得答案； （2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据路程、速度，即可得到时间． 【详解】（1）由题意可知，小明家到学校的距离是1500米， 折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是小明在文具店停留了（分钟）； （2）（米）． 故本次上学途中，小明一共行驶了2700米； （3）小明往常的速度为（米分）， 去学校需要花费的时间为（分钟）． 答：小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费7.5分钟． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.1 变量与函数 教学目标 1. 理解常量、变量的意义，能在实例中区分常量与变量； 2. 掌握函数的核心概念：变化过程中两变量x与y，对x的每一个确定值，y都有唯一确定值与其对应，明确自变量、函数、函数值的概念； 3. 能写出简单函数的表达式，确定自变量的取值范围（兼顾解析式与实际意义），会求函数值； 4. 能用表达式、表格、图象三种形式描述简单函数关系，建立初步的函数模型。 教学重难点 1.重点 函数概念的理解；能在实例中写出函数表达式，准确确定自变量取值范围；掌握函数的三种表示法，能实现简单的形式转换。 2.难点 函数概念的理解与应用. 知识点01 常量与变量 1.概念：在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为_______；可以取不同数值的量称为_______. 2.说明： (1)在很多问题中，一个变量往往依赖于另外一个变量而存在. (2)变量一般都用字母表示，常量一般用具体的数表示，但有时也用字母表示，不能认为式子中出现的字母就是变量.如：圆周率π,它是常量，而不是变量. 【即学即练】 例1写出下列问题中的关系式，并指出其中的常量和变量. (1)打字收费标准是每千字4元，试用字数x(千字)表示打字费y(元); (2)一个容积40升的油箱，汽车匀速行驶时每小时耗油8升，试用行驶时间t(小时)表示油箱里的剩余油量Q(升); (3)圆的周长公式； (4)已知三角形的底边为x,高为h,求面积为y. (5)y是x的平方根的3倍. 解：(1)y=__________,其中_____是常量，_____y是变量. (2)Q=__________,其中_____是常量，_____是变量. (3)C=__________,其中_____是常量，_____都是变量. (4)y=__________，其中是常量，_____是变量. (5)y=，其中_____是常量，_____是变量. 知识点02 自变量与函数 1. 定义 一般地，若在某个变化过程中有_______变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化；当x的值确定时，y的值也随之______________.变量y关于变量x的这种_______关系叫作_______，或者说变量y是变量x的_______，x称为_______. 说明，确定是否存在函数关系的方法： (1)某一变化过程中有两个变量. (2)两个变量之间有确定的依赖关系，其中一个变量x的变化引起另一个变量y的变化. (3)自变量x在取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应 【即学即练】 例2 在例题1中，各小题的几个变量之间是否是函数关系？ 解：（1）在y=4x中，当x每取一个值时，y都有_____的值与之对应，所以y是关于x的函数； （2） 在Q=40-8t中当0t5时，当t每取一个值时，Q都有_____的值与之对应，所以Q_____关于t的函数； （3） 在C=2πr中,当r时，当r每取一个值时，C都有_____的值与之对应，所以C_____关于r的函数； （4） 在y=xh中存在_____个变量，所以他们之间_____函数关系； （5） 在y=中，当x时，x每取一个值时，y都有_____个值与之对应，所以y_____关于x的函数； 2. 自变量的取值范围 一个函数中，自变量都有它的取值范围。 说明： (1) 对于用表达式表示的函数，如果不加说明，那么这个函数自变量的取值范围是能使这个函数的表达式有意义的所有实数. (2) 当用函数表达式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数表达式本身有意义，而且还必须使实际问题有意义. 【即学即练】 例3 指出例1几个函数关系中自变量的取值范围. 解：（1）在y=4x中，x为__________； （2） 在Q=40-8t中，自变量的取值范围自变量的取值范围_______； （3） 在C=2πr中,自变量的取值范围__________； 例4 在例1中第(5)小题，若把题目改成“y是x的算术平方根的倒数”呢？此时y是不是关于x的函数，如果是，自变量的取值范围是多少？ 解：因为y=或y=,所以y_____关于x的函数，x的取值范围是_____. 3. 函数关系的三种表示形式 （1） 用函数表达式来表示； （2） 用表格来表示； （3） 用图像表示 4. 函数值 对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即如果当x=a时y=b,那么称b为函数在x=a时相应的函数值. 【易错辨析】 1. 求函数自变量的取值范围时易因考虑不周而出错 例5 现将500本笔记本赠送给学生，每人5本，写出余下的笔记本数y和学生数x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围. 解：所求的函数表达式为y=500-5x. ∵x表示学生数，∴x≥0 【评析】解答有误.∵x表示学生数，∴x应为_____数.又∵y表示笔记本数，∴y=500-5x≥0， ∴x的取值范围__________ 【点睛】在实际问题的函数表达式中，不要因忽视自变量和函数的实际意义或隐含条件而出错.本题易漏掉x为整数和y这两个隐含条件. 2. 在读取函数图像信息时易因未理解自变量和函数代表的实际意义而出错 例6有一个巡检机器人从巡检起点出发，到达本次巡检最远点后，未发现任何异常情况便原路返回．机器人离出发地点的距离与的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)这个函数图象反映了哪两个变量之间的关系？ (2)巡检机器人耗时多少到达最远点？最远点距起点多远？ (3)求t=26时的函数值，并说明它的实际意义． 解：（1）这个函数图像反映了巡检机器人行驶路程与行驶时间两个变量之间的关系； （2）由图可知，巡检机器人耗时26分钟时到达最远点，相距； （3）由图可知，当时，函数值， 它的实际意义为：机器人26分钟到达最远点. 【评析】解答有误. y代表的不是“机器人行驶路程”而是“____________________”，所以函数图象反映的是“____________________”与__________两个变量之间的关系； 由图可知，巡检耗时20分钟距离起点最远点__________处； 由图可知，当时，函数值y=__________(m)，它的实际意义为：机器人巡检26分钟时距离起点__________m,即26分钟时机器人返回到__________. 【点睛】理解函数的图像关键是要辨析清楚是哪两个变量之间的依赖关系，函数图像有别于我们之前的线段示意图. 题型01 常量和变量的识别 【典例1】要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【变式1】如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【变式2】已知圆的周长C与半径r的计算公式为，则下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 【变式3】李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【变式4】在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（   ） A．速度v是变量 B．速度v是常量，路程s和时间t都是变量 C．时间t，速度v是变量 D．速度v、时间t、路程s都是常量 题型02 函数关系的辨析 【典例1】有下列式子：①；②；③；④．其中是的函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【变式3】下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【变式4】乌鸦在井旁找到了一个装有小半瓶水的玻璃瓶，由于瓶口狭窄，它想到了办法，将旁边的石子投入圆柱形玻璃瓶中使水面上升（假设石子的大小相同，瓶颈口的高度忽略不计）．下列关于乌鸦喝水的描述正确的有（    ） ①瓶子的高度是常量；②自变量是瓶中水面高度；③投入石子的数量是变量；④乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 列函数表达式 【典例1】一个矩形的面积为10，两条邻边长分别为x和y，那么y与x之间的函数关系式是 ，其中常量是 ，变量是 ，x的取值范围是 ． 【变式1】油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ；自变量t的取值范围是 ． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，先求出每分钟的流油量，再正确表示出函数关系式． 【变式2】如果弹簧原长为，每挂重物弹簧伸长，假设重物质量为，受力后的弹簧长度为，则与的函数关系式是 ． 【变式3】小明爸爸开车带小明去福州游玩，一路上匀速前行，小明记下了如下数据，从9点开始，记汽车行驶的时间为（小时），汽车离福州的距离为，则关于的关系式为 ． 观察时刻 9：00 9：30 10：00 路牌内容 福州 福州 福州 （注：“福州”表示该路牌所在位置离福州的距离为） 【变式4】某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用（元）与人数（人）之间的函数关系式 ． 题型04 自变量的取值范围 【典例1】求下列函数的自变量x的取值范围： (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 【变式1】函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式2】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【变式3】函数中自变量x的取值范围是 ． 【变式4】一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2 m/s，到达坡底时小球的速度达到40 m/s. （1）求小球的速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数关系式； （2）求t的取值范围； （3）求3.5 s时小球的速度； （4）求t(s)时小球的速度为16 m/s. 题型05 求函数值 【典例1】在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【变式1】已知二次函数，当时，函数值 ． 【变式2】同一温度的华氏度数（）与摄氏度数（）之间的函数关系是，如果某一温度的摄氏度数是，那么它的华氏度数是 ． 【变式3】在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹筑的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹簧的长度是 ． 【变式4】为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y（棵）与参与活动人数x（人）的变化关系如下表所示： x/（人） 1 2 3 4 5 … y/（棵） 4 8 12 16 20 … 观察表中数据可知，该班有 人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵． 题型06 表格、图像信息的获取 【典例1】一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 【变式1】如图，下面的图象记录了某地一月份某大的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象回答下面的问题：    （1）在这个问题中，变量分别是 ，时间的取值范围是 ； （2）20时的温度是 ℃，温度是0℃的时刻是 时，最暖和的时刻是 时，温度在－3℃以下的持续时间为 小时； （3）你从图象中还能获得哪些信息？（写出1～2条即可） 答： ． 【变式2】动点H以每秒的速度沿图1中的长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图2，已知，则 ． 【变式3】父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 【变式4】饭后，老王从家里外出散步，如图描述了他散步过程中离家的距离（单位：）与散步所用的时间（单位：分）之间的关系．依据变量之间的关系图，下面描述：①从家里出发，路上遇到熟人交谈一会，就回家了，②从家出发，到了一个公共阅报亭看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了，③从家出发，一直散步（没有停留），然后回来了，④从家出发，散了一会儿步，就找同事去了，18分钟后才开始返回，其中不符合老王散步情景的是 ．（填序号） 、 1．关于球的体积公式，下列说法正确的是（    ） A．V，π，r是变量，是常量 B．V，r是变量，，π是常量 C．V，π是变量，，r是常量 D．以上都不对 2．河北省的特产丰富多样，其中赞皇大枣被誉为“枣中之王”，皮薄肉厚、甜度高、营养丰富．一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元，则50和m分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 3．下列各式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列表达式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．某网店内一种茶叶的售价为10元/克，购买克的总价钱为元，下列正确的是（　　） A．自变量是茶叶的单价 B．自变量是总价钱 C． D． 6．下列两个变量间不存在函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 7．函数中，自变量x的取值范围是 ． 8．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 9．若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 10．在函数中，当函数值为时，自变量的值为 ． 11．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有下面关系： x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 那么弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式为 ． 12．一个等腰三角形的周长是，腰长是，底边长是，则关于的函数解析式为 ． 13．一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝___________． 14．某种货物的进价是每件5元，售出时的标价是每件5.8元，那么获得的利润y（元）与售出的数量x（件）之间的函数关系式是 ． 15．求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 16. 求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 17．已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 18．已知某个等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)写出y与x的函数解析式； (2)确定x的取值范围； 19．拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 20．心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：min）之间有下表所示的关系： 提出概念所用时间x 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力y 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中，自变量是____________，因变量是__________． (2)根据表格中的数据，提出概念所用时间是________min时，学生的接受能力最强． (3)学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 21．某校的复印任务由甲复印社承接，其费用y（单位：元）与复印页数x的关系如下表： x 100 200 400 1000 … y/元 40 80 160 400 … (1)表格中自变量是________，因变量是________． (2)①随着复印页数的逐渐增加，费用的变化趋势是什么？ ②复印页数每增加100，费用怎样变化？ (3)当复印页数为2000时，估计费用是多少元． 22．学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 23．某无人机爱好者操纵无人机进行航拍，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度为多少米/分钟？ (2)无人机最高上升到多少米？在最高处停留了多少分钟？ (3)请用简短的语句描述0～7分钟无人机的升降情况． 24．小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后加快速度骑车去学校，已知小明家、文具店、学校在同一直线上，如图折线段是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的图象，根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是 米，折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是 ； (2)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (3)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？ 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $