2.2 从位移的合成到向量的加减法 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

§2 从位移的合成到向量的加减法 第二章 平面向量及其应用 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 基础知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的加法 1 向量加法的定义 求两个向量和（向量的和仍然是一个向量）的运算，称为向量的加法． . . 6 2 向量加法的几何意义 （1）平行四边形法则 已知两个不共线的向量,，如图2-2-1，在平面内任取一点 ，作有向线段 ，，以有向线段和为邻边作，则有向线段 表示的向 量即为向量与的和，记作 .这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平 行四边形法则.（用平行四边形法则作 必须使两个向量起点相同） . . . . 7 说明 POINT 向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. 图2-2-1 图2-2-2 8 （2）三角形法则 如图2-2-2，作有向线段，以有向线段 的终点为起点（注意两个向量 要首尾相接.），作有向线段,连接,得到有向线段，也可以表示向量 与 的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则.（作图过程可简述 为“加向量，首尾连；和向量，起点到终点”） . . . . . . 9 辨析比较 向量加法的两个法则的区别和联系 法则 三角形法则 平行四边形法则 区别 （1）强调“首尾相连”；（2）适用 于所有的非零向量求和 （1）强调“共起点”；（2）仅适用于不 共线的两个向量求和 联系 当两个向量不共线时，两个法则的实质一样，三角形法则作出的图形是平行 四边形法则作出的图形的一半 10 （3）多边形法则 向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则.求个向量 ， ， ，的和可按照以下步骤进行：任取一点，依次作有向线段, , ,,（注意多边形法则强调的也是“首尾相连”）即为这 个向 量之和. 特别地，当与重合时， . 11 3 共线向量的和 图2-2-3 若, 共线,图2-2-3表示了两个共线向量求和 的情形. 也就是说,若两个共线向量方向相同,则它们的 和向量方向与原方向一致,大小为两个向量大小之 和（如图 2-2-3（1））;若两个共线向量方向相反 且大小不相等,则它们的和向量方向与模较长的向量的方向一致,大小是两个向量大小 差的绝对值（如图2-2-3（2））. 特别提醒 （1）互为相反向量的两个向量的和为零向量,即 . （2）零向量与任一非零向量的和为，即 . 12 4 向量加法的运算律 （1）结合律: . （2）交换律： . 知识剖析 1.向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立. 2.因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照 任意的次序与任意的组合进行.如 . 13 典例详解 例1-1 ［教材改编P87例3］如图2-2-8,已知向量,,不共线,求作向量 . 图2-2-8 14 【解析】 如图2-2-9（1）,在平面内作,,则 ；再作 ,则 ． 图2-2-9 如图2-2-9（2）,在平面内作,,以与 为邻边作平行四边形 ,则；再作,以与为邻边作平行四边形 ,则 . 15 图2-2-10 例1-2 (2025·湖南省娄底市期末)如图2-2-10所示的方格纸中有定点 ，，，，，，，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】以，为邻边作平行四边形，可知 为所作平行四边 形的对角线，故由平行四边形法则可知对应的向量 即为所求向量. 16 例1-3 你能证明当向量,共线时 仍然成立吗？ 【解析】（1）若向量, 中至少有一个为零向量，则交换律显然成立. （2）若向量, 均为非零向量, ①当, 同向时, 向量与同向,且 ； 向量与同向,且 , 故 . ②当,反向时，不妨设，则向量与同向,且 ； 向量与同向,且 , 故 . 综上可得，若向量,共线，则 仍然成立. 17 图2-2-11 例1-4 (2025·山东省春季高考研究联合体联考)如图2-2-11， 在矩形中， ( ) B A. B. C. D. 【解析】 （三角形法则） 在矩形 中， （平行四边形法则） . ，则 . 18 知识点2 向量的减法 1 向量减法的定义 类比实数的减法，我们将向量的减法定义为：向量减向量等于向量 加上向 量的相反向量,即 .（向量的减法实质上也是向量的加法） . . 19 2 向量减法的几何意义 给定如图2-2-4所示的向量与，作有向线段， ，如图2-2-5所示， 故，则 ， 图2-2-4 图2-2-5 即如果把向量与的起点放在点,那么从向量的终点指向被减向量 的终点 ,得到的向量就是 .（可简记为“共起点，连终点，指向被减”） . . . . 20 图2-2-6 特别提醒 以向量， 为邻边作平行四边形 ，则两条对角线相应的向量， ， 如图2-2-6，这一结论的应用非常广泛. . . 21 典例详解 例2-5 ［教材改编P90 T6（3）］化简： ( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 22 图2-2-12 例2-6 ［多选题］(2025·福建省莆田市期中)如图2-2-12，在平 行四边形中,为上任一点, 则 等于 ( ) AB A. B. C. D. 【解析】 . 23 重难拓展 知识点3 向量形式的绝对值三角不等式 图2-2-7 （1）当向量， 不共线时，作 ，，则 ,如图2-2-7 （1）， 根据三角形的三边关系，有 ． （2）当与同向共线或， 中至少有一个为零向量时，作法同上，如图2-2-7 （2），此时 ； 当与反向共线或，中至少有一个为零向量时，不妨设 ，作法同上， 如图2-2-7（3），此时 . 24 故对于任意向量，，总有 ①． 由于 ， 所以 ， 即 ②． 将①②两式结合起来，即 ，我们称之为向量形式 的绝对值三角不等式. 教材深挖 POINT 该知识点是针对教材第85页【思考交流】的拓展. . . 25 典例详解 例3-7 对于不等式 ，给出下列四个结论： ①不等式左端的不等号“ ”只能在时取“ ”； ②不等式左端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”； ③不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且同向共线时取“ ”； ④不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”． 其中正确的结论有( ) A A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 26 【解析】当时, 也成立，故①不正确； 当,时， 也成立，故②不正确； 当,至少有一个为 时， 也成立，故③不正确； 当与反向共线时， 也成立，故④不正确. 所以正确的结论有0个. 27 题型解析 03 题型1 向量的加、减法运算 例8 化简下列各式： （1） ； 【解析】 . （2） ; 【解析】 . . . 29 （3） . 【解析】 . . 在平面内任取一点，则 . 30 向量加、减法运算的基本方法 （1）充分利用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相连”. （2）利用相反向量，把向量的减法运算转化为向量的加法运算. （3）转化为同一起点的向量表示后，再进行加减运算. 31 【变式题】 1.［多选题］(2025·河南省创新发展联盟段考)下列四式中能化简为 的是( ) ABC A. B. C. D. 【解析】（或 ），故 A符合； ，故B符合； ，故C符合； ，故D不符合．故选 ． 32 题型2 三角形（平行四边形）法则下的向量表示 图2-2-13 例9 如图2-2-13所示，已知，， ， ，，，试用，，，，，表示 ， ，，，， . 【解析】（注意和 的位置不要写反） ， ， ， ， ， . . . 33 用几个已知向量表示其他向量的一般步骤 34 题型3 向量加、减法几何意义的综合应用 例10 若向量,满足，,则 ____. 35 图2-2-14 【解析】如图2-2-14,在平面内任取一点,作,,以 , 为邻边作平行四边形,则, . 因为,所以四边形 为矩形， 所以 是直角三角形. 在中，, ， 所以 . 在平行四边形 中，由平行四边形的性质对角线的平方和等于四边的平 方和，得 ，即 ，解得，即 . 36 名师点评 下列平行四边形中有关向量的结论,在解题中可以直接使用:①对角线长的 平方和等于四边长的平方和,即 ;②若 ,则以, 为邻边的平行四边形为矩形. 37 【变式题】 2.设,为单位向量,且,则 ____. 【解析】如图D 2-2-1所示，设,,利用平行四边形法则得 , ,为正三角形, . 图D 2-2-1 38 题型4 向量形式的绝对值三角不等式的应用 例11 ［多选题］下列说法正确的是( ) AD A.若，同向，则有 B.若，不共线，则有 C. 恒成立 D.对任意两个向量，，总有 【解析】由向量形式的绝对值三角不等式可知，当， 同向时，有 ；当，不共线时，有；当， 是任意向量时， 有 ，故A，D正确，B错误. 当时， ，故C错误. 39 例12 ［教材改编P91 T5（1）］若，，则 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 40 【解析】因为 ，故 当,共线且同向时， ； 当,共线且反向时， ； 当,不共线时，由,可得 . 综上可得 . 41 题型5 向量在实际中的应用 例13 [教材改编P90 T1]某人第1次的位移为向量：“向北走 ”，第2次的位移为 向量：“向东走”，则 表示的意义是_________________. 向东北走 图2-2-15 【解析】如图2-2-15，适当选取比例尺，作， ， 则 . 因为 是等腰直角三角形， 所以 . 又 ，所以表示向东北走 . 42 例14 (2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测 出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船 行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、 方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员 在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2-2-16所示（线段长度代 表速度大小,单位: ）,则该时刻的真风为( ) 级数 名称 风速大小（单位： ） 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 A 43 图2-2-16 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 图2-2-17 【解析】真风风速对应的向量 视风风速对应的向量-船行风 风速对应的向量视风风速对应的向量 船速对应的向量 ，如图2-2-17所示， . 45 名师点评 本题体现了高考以现实生活为背景命题的特点，本题设置了帆船比赛的情境，引入 了视风风速、真风风速、船行风风速、风力等级等概念，考查向量的相关知识，考 查学生应用数学知识和方法解决问题的能力. 46 例15 [教材改编P88 T5]如图2-2-18，用两根绳子把重的物体吊在水平杆子 上． ， ，求和 处所受拉力的大小．（忽略绳子重量） 图2-2-18 47 【解析】根据力的分解，画出图形，如图2-2-19所示. 图2-2-19 设，分别表示，所受的拉力，的重力用表示，则 ， 易得 ， ． 所以 ， 48 ， 所以处所受的拉力的大小为，处所受的拉力的大小为 ． 用向量解决实际应用题的步骤 （1）表示：用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量. （2）运算：利用三角形法则或平行四边形法则求向量的和或差，再利用相关知识解 决问题. （3）作答：根据题意作答. 50 基础知识测评 04 建议时间：20分钟 1.在平行四边形中， ( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 2.化简 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 .故选D. 52 图2-2-1 3.新情境 八卦模型 (2025·四川省遂宁中学校月考)八卦 是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、 社会现象．如图2-2-1（1）所示的是八卦模型图，其平 面图形记为图2-2-1（2）中的正八边形 ，其 中为正八边形的中心，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可得，， ．故选B． 53 4.［多选题］(2025·江苏省无锡市月考)下列各式中能化简为 的有( ) BCD A. B. C. D. 【解析】 ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确．故选 ． 54 图2-2-2 5.[多选题](2025·陕西省咸阳市月考)如图2-2-2，，， 分别是 的边，， 的中点，则( ) ACD A. B. C. D. 【解析】, , ，故A正确; ,故B错误； ,故C正确； ,故D正确. 55 6.如图2-2-3,在四边形中,设,,,则 ____. 图2-2-3 【解析】 . 56 7.已知,,的取值范围是，则实数, 的值分别为 _______. 10，5 【解析】 , 解得 57 图2-2-4 8.如图2-2-4，已知，，分别为的边，， 的中 点.求证： . 【答案】连接,由题意知， ， . 由,,分别为的边,,的中点可知, ， . . 58 高考模拟 05 建议时间：20分钟 9.(2025·山西省运城市期末)一艘船以的速度沿着与水流方向成 夹角的方 向航行，已知河水流速为，则经过 ，该船的实际航程为( ) B A. B. C. D. 图D 2-2-1 【解析】如图D 2-2-1所示，表示水流速度， 表示船在 静水中的速度，则 表示船的实际速度, 又,, ,则 , , , 实际速度为,则实际航程为 . 60 10.[多选题]已知，，为三个不共线的点，为 所在平面内一点，若 ,则下列结论中正确的是( ) BD A.点在内部 B.点在 外部 C.点在直线上 D.点在直线 上 图D 2-2-2 【解析】， .如图D 2-2-2 所示，以，为邻边作平行四边形，则 ,延长 到点，使得，连接，则四边形 为平行四边 形， ，故点在 边所在的直线上,故D正确， C不正确；显然点在 外部，故B正确，A不正确. 61 11.已知为等腰直角三角形，且 ，给出下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ . 其中结论正确的序号为__________. ①②③④ 62 【解析】以，为邻边作平行四边形，由题意知其为正方形，连接 （图略）. ,, , 正确； ,, , 正确； ,,, 正确; , , 正确. 63 12.若非零向量和满足，则的取值范围是______， 的取 值范围是______. 【解析】因为，且 是非零向 量，所以的取值范围是 . 因为 ，所以 ， . 又，且是非零向量，所以的取值范围是 .（【易错点】 若,则，此时,是以， 为边长的矩形的 对角线长，又矩形的对角线长不可能等于其边长，这与 相矛盾，故 ） 64 谢谢观看 北师大数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 65 $