2.2.2从位移的合成到向量的加减法课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.2从位移的合成到向量的加减法 北师大版（2019）必修第二册 第二章 平面向量及其应用 学习目标 通过相反向量，将向量的减法转化为向量的加法；理解向量加法的交换律和结合律，并能够进行几何作图 02 在位移的合成和分解的基础上，准确理解向量的加法和减法的含义 01 结合 a＋b 和 a－b的几何意义，准确理解||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，并能运用该不等式解决相关问题 03 情境导入 我们知道，数能进行运算。那么，向量能否也像数一样进行运算呢？位移、力是向量，它们可以合成，能否从位移、力的合成得到启发，引进向量的加法呢？ 情境导入 数及数的运算 数 运算及运算律 整数 整数的运算及运算律 指数 对数 指数的运算及运算律 对数的运算及运算律 2+3 2－3=2+(－3) 2×4=2+2+2+2 减法 乘法 加法 人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算. 向量加法 向量减法 向量数乘运算 混合运算 情境导入 物理中有没有与向量加法相关的背景？ 应用 向量 向量的运算法则 运算律 数 运算律 应用 数的运算法则 实例分析 问题：在大型生产车间里，一重物被天车从 A 处搬运到 B 处，则重物的位移情况如何？ 它的实际位移可以看作水平运动的分位移与竖直运动的分位移的合位移． 位移是以AC，AD为邻边的□ACBD的对角线，位移的合成遵循平行四边形法则． A C B D 实例分析 O A B C 力的合成 如图，在光滑的平面上，汽车同时受到两个外力 与 的作用，你能作出这个物体所受的合力 吗？ 求两个向量和的运算称为向量的加法. 通过以上实例，我们就可以得到向量加法的平行四边形法则： 已知两个不共线的向量 a ， b，在平面内任取一点 A，作有向线段＝a， ＝b，以有向线段和为邻边作□ABCD，则有向线段表示的向量即为向量 a 与 b 的和，记作 a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则． O A B C 力的合成 C O A B 位移的合成 A B C 女同学从 A 走到 B，再从 B走到 C，这两次位移的结果与男同学从 A 直接走到 C 的位移相同吗？ 相同．我们把后面这样一次位移叫作前面两次位移的合位移． 通过以上实例，我们就可以得到向量加法的三角形法则： 作有向线段＝a，以有向线段 的终点为起点，作有向线段＝b，连接 A，C 得到有向线段 ，也可以表示向量 a 与b 的和．这种求两个向量的和的作图方法称为向量加法的三角形法则． 位移的合成 A B C A B C 思考：若向量 a，b共线，上述法则还适用吗？尝试写出向量 a，b 共线后的和. 不适用，共线后无法构建平行四边形、三角形. A B C 方向相同 方向相反 B C A 注意：由向量加法的定义可知，互为相反向量的两个向量的和为零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． 例1 如图，已知向量a，b ，求作向量a＋b． 解：作法1：（平行四边形法则）： 作法2：（三角形法则）： 如图，在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，以 OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b． 如图，在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，则＝a＋b．   思考交流：对任意的两个向量a，b，|a＋b|与|a|＋|b|，|a|－|b|之间有怎样的大小关系? a b a b a＋b a a b b a＋b a b a＋b （1）因为三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由向量加法的三角形法则知，当不共线时，恒有 | （2）当同向共线时，同向， 思考交流：对任意的两个向量a，b，|a＋b|与|a|＋|b|，|a|－|b|之间有怎样的大小关系? a b a b a＋b a a b b a＋b a b a＋b （3）当反向共线时， 若则与同向， 若则与同向， 综上，有向量和的三角不等式 (1)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量；在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和. 知识剖析 (2)向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则的适用条件： 适用条件 向量加法的平行四边形法则 向量加法的三角形法则 两向量的位置关系 只适用于两向量不共线的情况 两向量共线或不共线 两向量起点、终点的特点 两向量起点相同 第一个向量的终点为第二个向量的起点 例2 轮船从 A 港沿北偏东60°方向行驶了40 n mile到达 B 处，再由 B 处沿正北方向行驶40 n mile到达 C 处．求此时轮船与 A 港的相对位置． 解： ，分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合成位移，= + ． 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，，∠DAB＝30°＝40n mile． 所以·DAB=40·°＝20(n mile)， ·DAB=40·°＝20(n mile)． 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，＝60(n mile)， 由勾股定理得=＝40(n mile)． 由＝2，得∠CAD=60°． 因此，此时轮船位于A港北偏东30°且距A港40(n mile)的C处． 设正东方向所在直线为 AE，过点 B 作 AE 的垂线，垂足为点 D． 思考：数的加法运算满足交换律，即对任意 α，β∈R，都有α＋β＝β＋α，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 向量加法满足交换律：a＋b＝b＋a． 证明：如图，a＋b， b＋a， 所以a＋b＝b＋a． 思考：数的加法运算满足结合律，即对任意 α，β，γ∈R，都有(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)，那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 向量加法满足结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 特别地：对于零向量与任一向量 a 的和有 0＋a＝a＋0＝a. 证明：如图，(a＋b)＋c＝． a＋(b＋c)＝， 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 例3 如图，已知向量a ，b ，c ，d，作出a+b+c+d， 并说出多个向量求和的方法及依据． 解：可以按照不同的次序与组合进行这四个向量的加法. 方法1： 如图，在平面上任取一点 A，作 ＝a ， ＝b ， ＝c ， ＝d ，则a+b+c+d＝[(a+b)+c]+d＝(+c)+d＝d＝. 方法2： 如图，在平面上任取一点A´，作＝a ， ＝d，＝c，＝b ，则a+b+c+d＝(a+d)+(c+b)＝. 由于向量加法满足结合律与交换律，因此求 n 个向量α1，α2，…，αn的和可以按以下步骤进行： 任取一点O，依次作有向线段＝α1，＝α2，…，＝αn， 即为这 n 个向量之和. 当然，也可以把 n 个向量分为若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和. 如图，已知 n 个向量，依次首尾相接， ；0． 则首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和是多少？ 问题：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数．据此原理，向量a－b可以怎样理解？ 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量－b，即a－b＝a＋(－b)． 问题：两个向量的差还是一个向量吗？ 因为两个向量的差本质是一个向量加上另外一个向量的相反向量，因此两个向量的差仍是向量． 向量的减法定义 已知向量a和b，你能尝试通过作图得到a－b吗？ O A B D C a O A B b . 向量减法的三角形法则 a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点，这就是向量减法的几何意义 简记为：共起点，连终点，指向被减向量. 思考：若向量a，b共线，如何作出向量a－b？ ①同向： a b a b a－b ②反向： a b b a a－b 思考：对任意两个向量a，b，向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|，|a|＋|b|，|a|－|b|之间具有怎样的大小关系？通过作图进行说明. 向量a－b与b－a是相反向量. |a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b反向，等号成立； |a－b|≥|a|－|b|，当且仅当a，b同向，等号成立. b a－b a a b a b a－b a b b a a－b 例4 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b＋c． 解：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 则＝a－b，再作＝c，连接BD， 则＝+＝a－b＋c． a b c c C a b O A B 例5 已知|a|=6，|b|=8，且a⊥b．（1）探索|a+b|与|a-b|的关系；（2）求|a－b|． ⑴因为a⊥b，即⊥，所以ABCD为矩形． 所以||＝||，即|a+b|＝|a-b|． 解：如图，设＝a，＝b， 以AB，AD为邻边作ABCD， 则＝a+b，＝a－b． ⑵在Rt△DAB中，||＝6，||＝8，由勾股定理，得||2＝||2+||2＝62+82＝100． 所以|a－b|＝||＝10． 例6 如图：点O是ABCD外一点，试用，，，表示． 解：由于＝+，因此只需将 用 ， 表示． 而， 故 利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤 (1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量； (2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加、减法进行运算； (3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题． 当堂检测 C D C ABC C [1,3] 感谢您的聆听与指导 General template of fresh teaching 授课人：一一 设，，连接AB， 由向量减法的定义知 . 在四边形OCAB中，， 所以OCAB是平行四边形. 所以. 由此，我们得到的作图方法 (1) 在平面内任取一点O (2) 作=a，= b (3) 连接 BA，则 =a－b 1.现有以下向量运算式 (1)；(2)；(3)；(4)； (5).其中化简结果为的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：，(1)是； ，(2)不是； ，(3)是； ，(4)不是； ，(5)是， 所以化简结果为的个数为3.故选：C. 2.下列不能化简为的是( ) A. B. C. D. 解析：对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意. 故选:D. 3.（多选）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则( ) A. B. C. D. 解析：如图，设，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量，则a与长度相等，方向相同，所以.故选C. 4.已知点D，E，F分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是( ) A. B. C. D. 解析：对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为D，E，F分别是的边，，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即，故C正确； 对于D，因为F为的中点，所以，所以，故D错误.故选：ABC. 5.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内点，若，则的最大值是( ) A. B. C. D. 解析：连接AC，由，，得，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，所以的最大值为，故选C. 6.若平面向量a，b满足，，则的取值范围是__________. 解析：由向量模的三角不等式可得， 当且仅当a，b反向时，等号成立；， 当且仅当a，b同向时，等号成立. 综上所述，. 7.如图，已知点D，E，F分别是三边AB，BC，CA的中点.求证：. 解析：连接DE，DF，EF，则，，. 左边 =右边， 即. $$