精品解析：四川达州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题

四川省达州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 下列方程中一定是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】A．是一元二次方程，故本选项符合题意； B．原方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．当时，不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据“一个多边形的内角和是它外角和的2倍”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得： ， 解得：， 即这个多边形是六边形． 故选：C 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 6. 如图：直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出交点A的坐标，由图象可知，当时，函数的图象在的下方，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 由图象可知，当时，函数的图象在的下方， 则不等式的解集为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是判断不等式，即函数的图象在的下方． 7. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行和角平分线，推出均为等腰三角形，得到，进而得到，即可得解． 【详解】解：如图， ∵在中，，z ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，解题的关键是识别式子符合平方差公式的形式并正确运用公式． 判断式子是否符合平方差公式的形式，然后直接运用公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，分式有意义的条件为分母不为零，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得且， 即的取值范围是且， 故答案为：且． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，注意：若，是一元二次方程的两个根，则． 12. 大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点是的黄金分割点，且， 所以， 又因为， 所以． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ____ ． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先将方程右边提取公因式，然后移项利用因式分解法求解； （2）直接利用求根公式解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得： 【小问2详解】 解： ∴， ∴ 解得： 15. 先化简，再从，，0，3中选择一个合适的a值代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再从所给数中选一个有意义的数代入计算即可． 【详解】解： ， ，， ，0， 当时，原式． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； 【小问2详解】 解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 17. 如图，在中，，是边的中线，过点D作，连接交于点F，交于M，点M恰为中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，且，求． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点M为中点， ∴， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边的中线，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，根据斜边上的中线得到，进而推出，即可得出结论； （2）证明，得到，进而得到，设，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段之间的数量关系，求出的值，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点，． （1）求直线的解析式； （2）若分别是直线和轴上的动点，是否存在点，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，． ∴，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：存在． ∵与x轴交于点B， ∴． 设，， ①当、为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得， ∴； ②当、为平行四边形的对角线时， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点D的坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】设另一个因式为x+n，得x2-3x+k=（x-2）（x+n），则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，据此求出k、n的值各是多少，并把多项式x2-3x+k分解因式即可． 【详解】解：设另一个因式为x+n， ∴x2-3x+k=（x-2）（x+n），即x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n， ∴ ， 解得：n=-1，k=2， ∴另一个因式为x+1， 故答案为2 【点睛】此题主要考查因式分解的意义和应用，以及多项式乘多项式的方法，要熟练掌握． 20. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先去掉分母，再把增根x=3代入即可求出m的值． 【详解】解：去分母得2x-（x-3）=-m， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即， 把增根x=3代入得， 解得， 故答案为：-6． 【点睛】此题主要考查分式的解，解题的关键是熟知分式方程的解法． 21. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算的长，再根据，对应边成比例，得到，所以设，则，从而求出的长． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 22. 如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连接CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 __． 【答案】2.5 【解析】 【分析】如图，在BC上截取EG=BD，连接FG，根据SAS证明△BED≌△GFE，得FG=CG=BE，最后证明AD=2BE可得结论． 【详解】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG， ∵△ABC和△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG， ∴∠BDE＝∠FEG， 在△BED和△GFE中， ， ∴△BED≌△GFE（SAS）， ∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG， ∵FC平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠ECF＝30°， ∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG， ∴∠GFC＝∠GCF＝30°， ∴FG＝CG＝BE， ∵AB＝BC，BD＝EG， ∴AD＝BE+CG＝2BE＝5， ∴BE＝2.5 故答案为：2.5 【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形全等． 23. 如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝_____． 【答案】7 【解析】 【分析】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知△CDF≌△EDG，从而有CF=EG，由△ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF=AD，根据BC=BF+CF即可求解． 【详解】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点， 由旋转的性质可知CD=ED， ∵∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°， ∴∠EDG=∠FDC，又∠DFC=∠G=90°， ∴△CDF≌△EDG， ∴CF=EG， ∵S△ADE=×AD×EG=6，AD=4， ∴EG=3，则CF=EG=3， 依题意得四边形ABFD为矩形， ∴BF=AD=4， ∴BC=BF+CF=4+3=7， 故答案为7． 【点睛】本题考查了旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇距离该小岛千米，舰艇距离该小岛千米，于是舰艇加速前进，速度是舰艇的倍，结果舰艇提前分钟到达，顺利完成了登岛任务． （1）求舰艇，的速度； （2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月(天)，已知舰艇，的巡航费用分别为万元天，万元天． ①求巡航总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式； ②若舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 【答案】（1）舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时； （2）①总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式为；②舰艇应巡航天，巡航的费用最少． 【解析】 【分析】本题考查一次函数、分式方程和一元一次不等式的应用； （1）设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，根据舰艇比舰艇提前分钟到达列出方程，解方程即可； （2）①根据总费用，两种舰艇的费用之和列出函数解析式； ②根据舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时， 根据题意得：， 解得，经检验符合题意， 此时， 答：舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时； 【小问2详解】 ①根据题意得：， 总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式为； ② 解得， 在中， ， 随的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：舰艇应巡航天，巡航的费用最少． 25. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 26. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】 问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中一定是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图：直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：__________． 10. 若有意义，则的取值范围是___________． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则________． 12. 大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_______cm． 13. 如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ____ ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 先化简，再从，，0，3中选择一个合适的a值代入求值． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 17. 如图，在中，，是边的中线，过点D作，连接交于点F，交于M，点M恰为中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，且，求． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点，． （1）求直线的解析式； （2）若分别是直线和轴上的动点，是否存在点，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 20. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 21. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 22. 如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连接CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 __． 23. 如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇距离该小岛千米，舰艇距离该小岛千米，于是舰艇加速前进，速度是舰艇的倍，结果舰艇提前分钟到达，顺利完成了登岛任务． （1）求舰艇，的速度； （2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月(天)，已知舰艇，的巡航费用分别为万元天，万元天． ①求巡航总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式； ②若舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 25. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 26. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $