精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

高三数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则z=（ ） A. B. C. D. 2. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则=（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 3. 设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是半径为3的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在上单调递减 C. D. 不等式的解集为 10. 如图，在正方体中，动点在线段上，则（ ） A. 直线与所成的角大于50° B. 对任意的点，都有平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面平面 11. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，事件:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子，事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，集合，，则____. 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则____ 14. 将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，且，则θ=____，____.  四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证:. 16. 某行业举行专业能力测试，该测试由A，B，C三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立.当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C项测试成绩合格，且A，B两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C项测试成绩不合格，且A，B两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分.甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表: 测试项 A B C 频数 16 15 10 用频率估计概率. （1）试估计甲的A项测试成绩合格的概率； （2）设X表示甲获得的认定分，求X的分布列和数学期望. 17. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，且椭圆C的短轴长为. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，若直线与x轴、椭圆C顺次交于点P，Q，R（点P在椭圆左顶点的左侧），且，求的面积. 18. 如图，AB是圆柱底面圆O的直径，、为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E、F分别为、的中点． （1）证明：EF平面ABCD； （2）求平面OEF与平面夹角的余弦值． 19. 已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”. （1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由； （2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； （3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则z=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法计算即可. 【详解】因为，所以. 2. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则=（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 3. 设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先需要求出函数在上单调递增时的取值范围，然后判断“”与该取值范围的逻辑关系. 【详解】函数是复合函数，外层函数是上的增函数， 根据同增异减，在上单调递增等价于内层函数在上单调递增,， “”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4. 某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率分布条形图可读出，，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【详解】根据频率分布条形图可知，，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即； 故选：C 5. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将焦点的横坐标分别代入到渐近线与双曲线的方程，结合是线段的中点，即可求得与的关系，再由双曲线的参数关系即可求得与的关系，进而求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线的方程为， 将代入到，得，即点， 将代入到，得，即点， 因为是线段的中点，则有，可得， 联立，整理得， 则双曲线的离心率. 6. 若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的正负性与函数的单调性，结合构造函数法、任意性的性质进行求解即可. 【详解】令， 由， 因为，所以，所以， 所以在时，单调递减， 所以， 当时，一次函数单调递增， 所以， 所以要想对任意的，都有成立， 只需. 故选：D 7. 在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，确定相关点的坐标，设，则可根据向量的坐标运算求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， ，， ，设， ∴， ∴， ∴当时，·取得最小值. 故选；B. 8. 已知是半径为3的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求出的外接圆半径，即可求出三棱锥的高，利用余弦定理即可求出,可计算出的面积，再利用锥体的体积公式即可求出答案. 【详解】因为. 所以的外接圆半径为. 所以三棱锥的高为. 在中，由余弦定理可得： 即 解得. 所以. 所以. 故选： 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在上单调递减 C. D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的性质可判断出的图象关于直线对称，且在上单调递增，即可判断AB的正误；结合函数对称性以及单调性可判断C；利用函数的单调性解不等式即可判断D. 【详解】由题意知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增， ∵函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到， ∴函数的图象关于直线对称，且在上单调递增， ∴函数在上单调递减，故A项正确，B项错误； ∵，故C项错误； ∵，且，∴，即，解得， ∴不等式的解集为，故D项正确. 10. 如图，在正方体中，动点在线段上，则（ ） A. 直线与所成的角大于50° B. 对任意的点，都有平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据线线平行，找到直线与BC所成的角，根据正方体的性质求出其度数；B选项，证明出平面，得到结论；C选项，当E在处时，平面平面；D选项，找到平面与平面所成的夹角，结合圆的知识点，推导出. 【详解】因为，所以即为直线与BC所成的角，，故A项错误； 因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 故平面，故B项正确； 当点在处时，平面平面， 所以存在点，使得平面平面，故C项正确； 如图，过点作，则为平面与平面的交线， 在正方体中，平面，所以平面， 所以，，所以即为平面与平面所成的夹角， 因为点一定在以为直径的圆外，所以，所以不存在点， 使得平面平面，故D项正确. 故选：BCD 11. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，事件:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子，事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，利用条件概率公式计算、全概率公式逐项判断即可. 【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，A正确； ，，B错误； ， 当时，， 由题知，， 所以，C正确； 又， 所以.D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，集合，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】由集合的运算得出结论. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则____ 【答案】2 【解析】 【分析】由的倾斜角结合的长度求出，即点的纵坐标，进而求得点的横坐标，由抛物线定义即可求的值. 【详解】，准线方程为，设准线l与x轴交于点K，如图： 设，由题意得，， 因为直线的倾斜角为，所以， 则有，所以， 所以，因为点在， 代入得，解得， 由抛物线的定义可得. 14. 将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，且，则θ=____，____.  【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】通过三角函数图象的对称性可将阴影部分的面积用矩形的面积表示，列方程可求得θ，根据周期性可求得ω，根据特殊点可求得，进而求解. 【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即， 因为将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象， 所以，故. 又图中阴影部分的面积为， 所以，解得. 又由图象可得，即，所以，所以， 所以. 因为， 所以，解得. 因为，所以，所以， 所以. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证:. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得斜率，再用点斜式表示切线方程； （2）构造函数，利用导数探究的单调性，证明该函数最小值大于0即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又，， 所以曲线在处的切线方程为：， 即切线方程为：. 【小问2详解】 设 ， 所以，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以在恒成立，即在上单调递增， 所以， 所以. 16. 某行业举行专业能力测试，该测试由A，B，C三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立.当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C项测试成绩合格，且A，B两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C项测试成绩不合格，且A，B两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分.甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表: 测试项 A B C 频数 16 15 10 用频率估计概率. （1）试估计甲的A项测试成绩合格的概率； （2）设X表示甲获得的认定分，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率即可； （2）根据独立事件乘法公式，结合互斥事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为甲的A项测试成绩合格的频率为， 所以估计甲的A项测试成绩合格的概率为. 【小问2详解】 设甲的专业能力A，B，C三项测试成绩合格分别为事件， 由频率估计概率，可得， 根据题意，随机变量X的所有可能取值为10，5，2，0， 因为， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 2 5 10 P 所以X的数学期望为. 17. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，且椭圆C的短轴长为. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，若直线与x轴、椭圆C顺次交于点P，Q，R（点P在椭圆左顶点的左侧），且，求的面积. 【答案】（1）+=1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率求解； （2）将直线与椭圆联立，利用斜率条件和韦达定理求出，进而求出三角形的面积. 【小问1详解】 因为，所以.，解得， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 设，，由（1）知，， 因为，所以，所以. 由得， 所以 所以，，，， 所以， 所以，所以， 所以直线的方程为，所以. 所以 18. 如图，AB是圆柱底面圆O的直径，、为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E、F分别为、的中点． （1）证明：EF平面ABCD； （2）求平面OEF与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】(1)取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形得∥即可； (2)以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，利用向量法即可求平面OEF与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 取的中点，连接、， 为的中点，为的中点， ∥，，又∥，， ∥，， 四边形为平行四边形，∥， 又平面，平面， ∥平面． 【小问2详解】 设，，． 由题意知、、两两垂直，故以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系． 则、、、、， 的中点的坐标为， ∴，， 设平面的一个法向量为， 则，即，即， 令，得， ，，， 平面， 平面的一个法向量为，， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”. （1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由； （2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； （3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：． 【答案】（1）不是“X数列”，理由： 由题， 所以有，， 故根据“X数列”的定义不是“X数列”. （2） 因为， 所以当时，； 当时，； 则不满足，所以， 令，即， 则当时，有，； 当时，有；故即， 则对每一个，有且仅有一个且，使得， 综上，对任意，有且仅有一个，使得， 所以为“X数列”. ， （3）因为{an}是正项数列，所以{Sn}单调递增， 所以，故， 因为，且为“X数列”， 所以，故由得， 的“余项数列”为等差数列，故其公差， 因为，所以， 若，则当时，，与矛盾， 故，所以，，即， 对于，若，则，与正项数列矛盾， 所以，故， 所以，故， 所以， 又， 所以，. 【解析】 【分析】（1）依次求出，再根据“X数列”定义进行判断即可. （2）由先求出数列通项公式，再依据“X数列”定义进行推算证明即可，接着由“余项数列”的定义公式进行计算即可. （3）先探究得出“余项数列”公差情况，再讨论时推出矛盾得到，接着探究时若得出矛盾，从而得出，进而得出即可进一步推出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上，， 即的“余项数列”通项公式为，. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：证明的关键第一步是探究出“余项数列”公差；第二步是探究出时有矛盾得到；第三步是探究出时若有矛盾，从而得到，进而得出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $