精品解析：四川省达州市达川中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

四川省达州市达川中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：得， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查利用直接开平方法求解一元二次方程，注意计算得准确性． 2. 如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，从正面看它的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的不同方向看，正确理解正面看的意义是解题的关键． 【详解】根据题意，得正面看的形状图为 故选：A． 3. 如图，矩形的对角线相交于点，，，则长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，由矩形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 4. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 所以共4种情况：其中满足题意的有两种， 所以两次记录的数字之和为3的概率是 故选C． 【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键． 5. 函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大， ∴k+1＜0， 解得k＜﹣1． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 6. 如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，则G为AB的中点，∠EAC=∠DGE，得出DG是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出AC=2DG，由等腰三角形和三角形的外角性质证出∠ACE=∠EDG，由AAS证明△ACE≌△GED，得出AE=DG，由等腰三角形得性质和直角三角形斜边上的中线性质得出DG=AB=AG=BG，得出AE=AG，三角形中位线定理，得DG=2AF，因此AC=4AF，即可得出． 【详解】过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD， ∵BD=DC， ∴BG=AG， ∴DG是△ABC的中位线， ∴AC=2DG， ∵DG∥AC， ∴∠EAC=∠DGE， ∵ED=EC， ∴∠EDC=∠ECD， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠EDC=∠ABC+∠DEG， ∠ECD =∠ACB+∠ECA，∴∠DEG =∠ECA， ∴△ACE≌△GED， ∴AE=DG， ∵AB=AC，BD=CD， ∴∠ADB=90°， ∴DG=AB=AG=BG， ∴AE=AG， ∵DG∥AF， ∴AF是△EDG的中位线， ∴DG=2AF， ∴AC=4AF， ∴CF=3AF， ∴=． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的中位线定理，三角形的全等，直角三角形斜边中线的性质，添加平行线，构造三角形中位线定理是解题的关键． 7. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 8. 如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 9. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　） A. y=﹣ B. y=﹣ C. y=﹣ D. y= 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出S△AOD=3，即可得出答案． 【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵∠BOA=90°， ∴∠BOC+∠AOD=90°， ∵∠AOD+∠OAD=90°， ∴∠BOC=∠OAD， 又∵∠BCO=∠ADO=90°， ∴△BCO∽△ODA， ∵=tan30°=， ∴， ∵×AD×DO=xy=3， ∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1， ∵经过点B的反比例函数图象在第二象限， 故反比例函数解析式为：y=﹣． 故选C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键． 10. 如图，在正方形中，E是边中点，F是边上一动点，G是延长线上一点，且．若，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，设，证明，则，，，由勾股定理得，，，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形， 设， ∵正方形中，E是边中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于______．（填“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】根据中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，进而判断即可． 【详解】解：广场上一个大型艺术字板块在地上投影如图所示，则该投影属于中心投影． 故答案为：中心投影． 【点睛】此题主要考查了中心投影，正确把握相关定义是解题关键． 12. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，用表示出是解题的关键． 先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 13. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 14. 小明发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数∶，例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数2，则______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意，把实数对代入中，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】把实数对代入得 移项得 因式分解得 解得． 故答案为：3或． 15. 如图，矩形与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，连接，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知点在反比例函数的图象上，且四边形是矩形，可利用反比例函数中的几何意义，得出矩形的面积；再根据点在反比例函数的图象上，且是直角三角形，所以可利用反比例函数中的几何意义，得出的面积；因为四边形的面积等于矩形的面积减去的面积，所以通过上述两个面积的计算结果，可推导四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接OB， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形与反比例函数的图象交于点， ∴ ∵与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴． 16. 如图，已知矩形中，E、F、G、H分别是的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线的应用，解题的关键是掌握三角形中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．连接，根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，，根据四边形的周长为列式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形矩形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴，， ∴四边形的周长等于， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先移项，再用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得． 18. 在一副扑克牌中取3张牌，牌面数字分别是3、4、5，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是4的概率是多少? （2）小明随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再随机抽取一张牌，记下牌面数字，请你利用树状图或列表法，求出2张牌牌面数字相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由把一副扑克牌中的3张牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到两张牌面数字相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【18题详解】 解：∵把一副扑克牌中的3张牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上， ∴从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是4的概率是； 【19题详解】 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，抽到两张牌面数字相同的有3种情况， ∴抽到两张牌面数字相同概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 如图①所示的是由6个棱长都为的小立方块搭成的几何体． （1）图②是从三个方向观察这个几何体分别看到的三个平面图形．从正面看是___________，从左面看是___________，从上面看是___________． （2）这个几何体的体积为___________，表面积为___________． 【答案】（1）C，B，A （2）48，104 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体． （1）由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方形数目分别为1，2，1，1；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为2，1；从上面看有4列，每列小正方形数目分别为2，1，1，1． （2）得出几何体中小正方体的个数，继而可得出表面积和体积． 【小问1详解】 解：从正面看是C，从左面看是B，从上面看是A； 故答案为：C，B，A． 【小问2详解】 这个几何体的体积为：， 表面积为：， 故答案为：48，104． 20. 如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，求旗杆的高度． 【答案】15m 【解析】 【分析】过C作于E，首先证明四边形为矩形，可得，，根据题意得到，求出得长，即可求出旗杆的高度． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ， 根据题意可得，即，解得， ， 答：旗杆的高度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，解决问题，属于中考常考题型． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）的值为1或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 22. 如图，在中，是边上的两点，连接，且满足，平分．     （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）通过等腰三角形得到，结合角平分线平分得到，通过角的差运算推出，再结合公共角，利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （）先根据相似三角形的性质得到对应边的比例关系，求出和关于的表达式，再计算出的长度；在中利用勾股定理建立与的等式，进而求解出的长度． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】（1）第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； （2）A款头盔的单价上涨了10元． 【解析】 【分析】（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为个，根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【小问1详解】 解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； 【小问2详解】 解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 24. 如图，平行四边形，M，N分别是的中点，，连接交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作于点E，交于点P．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出边之间的关系，然后根据直角三角形斜边中线定理得出相等的边，先证明平行四边形，再证明菱形即可； （2）根据菱形的性质以及角的关系和度数求出，然后利用锐角三角函数和含角的直角三角形的性质得出相关线段的长度，根据平行四边和等边三角形的判定和性质进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，M是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且四边形是菱形， ∴, ∴为等边三角形， ∴ 由（1）可得，M，N分别是的中点，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】灵活掌握菱形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，借助锐角三角函数和含角的直角三角形的性质求边的长度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点M在x轴上，以M、A、B为顶点的三角形与相似时，求点M的坐标； （3）点P是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把代入得到点的坐标为，解方程组得到一次函数的解析式为； （2）设，解方程得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设点的坐标为，当点在第四象限时，当点在第二象限时，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：把点代入得， 反比例函数的解析式为； 把代入得， 点的坐标为， 把和点代入， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设， 在中，令，则，令，则， ，， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ， ， ， ，，， ， 解得（不合题意舍去）， 当，， ， 轴， ，即， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ，， 当点在第四象限时，的面积， 解得（不合题意舍去）， 当点在第二象限时，的面积， 解得（不合题意舍去）， 综上所述，点的坐标为或． 26. 我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果，那么称点B为线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为 ； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕EF，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形的边上任取点E（），连接，作，交于点F，延长交于点P．他发现当与满足某种关系时，E、F恰好分别是的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）当时，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由黄金比值直接计算即可； （2）连接，设，则，由折叠性质得，，用勾股定理解求得，进而求出，再用勾股定理解和，列出关于x的方程，解方程即可； （3）当时，证得，则有，设，则，由得，，即，解得，即可证得结论． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：如图，连接， 设，则， 四边形是正方形， ， 由折叠得，，，， 在中，， ， 在中，， 在中，， 解得， ， G是的黄金分割点； 【小问3详解】 解：当时，E、F恰好分别是的黄金分割点．理由如下： ， ， 又， ， 又，， ， ， 设，则， ， ，， ， ，即， ， 解得（负值舍去）， ， E、F恰好分别是的黄金分割点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市达川中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，从正面看它的形状图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形的对角线相交于点，，，则长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 4. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1 6. 如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 8. 如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　） A. y=﹣ B. y=﹣ C. y=﹣ D. y= 10. 如图，在正方形中，E是边中点，F是边上一动点，G是延长线上一点，且．若，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于______．（填“平行投影”或“中心投影”） 12. 若，则__________． 13. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 14. 小明发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新实数∶，例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数2，则______． 15. 如图，矩形与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，连接，则四边形的面积为_________． 16. 如图，已知矩形中，E、F、G、H分别是的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长__________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 在一副扑克牌中取3张牌，牌面数字分别是3、4、5，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是4的概率是多少? （2）小明随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再随机抽取一张牌，记下牌面数字，请你利用树状图或列表法，求出2张牌牌面数字相同的概率． 19. 如图①所示的是由6个棱长都为的小立方块搭成的几何体． （1）图②是从三个方向观察这个几何体分别看到三个平面图形．从正面看是___________，从左面看是___________，从上面看是___________． （2）这个几何体的体积为___________，表面积为___________． 20. 如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，求旗杆的高度． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程两个实数根为a，b，若，求m的值． 22. 如图，在中，是边上的两点，连接，且满足，平分．     （1）求证：； （2）若，且，求的长． 23. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 24. 如图，平行四边形，M，N分别是的中点，，连接交于点O． （1）求证：四边形菱形； （2）过点C作于点E，交于点P．若，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点M在x轴上，以M、A、B为顶点的三角形与相似时，求点M的坐标； （3）点P是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点P的坐标． 26. 我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果，那么称点B为线段黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为 ； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕EF，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形的边上任取点E（），连接，作，交于点F，延长交于点P．他发现当与满足某种关系时，E、F恰好分别是的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $