精品解析：重庆市重庆市江北区巴川量子中学校2025-2026学年度秋期期末考试初2026届数学试题

量子中学校2025—2026学年度秋期期末考试 初2026届数学试题 （本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是改变其符号后的数. 【详解】解：的相反数是 . 故选：B． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，这样的图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意， B．不是中心对称图形，不符合题意， C．是中心对称图形，符合题意， D．不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解两江新区的空气质量 B. 调查华为三折叠手机屏幕的使用寿命 C. 调查重庆市所有九年级学生视力的情况 D. 我国新一代核潜艇下水前的检查 【答案】D 【解析】 【分析】普查适用于范围较小、无破坏性且意义重大的调查，抽样调查适用于范围大、有破坏性的调查． 【详解】解：A选项两江新区范围大，空气质量调查适合抽样调查； B选项测试手机屏幕使用寿命具有破坏性，适合抽样调查； C选项重庆市九年级学生人数多、范围大，适合抽样调查； D选项核潜艇下水前检查意义重大，需全面排查，适宜采用普查． 4. 如图，在中，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，和 分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 5. 小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，则第30个图形中棋子的枚数为（ ） A. 88 B. 91 C. 94 D. 97 【答案】B 【解析】 【分析】观察可知，序号每增加1，棋子的枚数就增加3，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图有枚棋子， 第②个图有枚棋子， 第③个图有枚棋子， ……， 以此类推，可知，第n个图有枚棋子， ∴第30个图有枚棋子． 6. 下列四个点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】验证各选项中点的横纵坐标乘积是否为 即可． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴； A、∵，符合， ∴该点在函数图象上； B、∵，不符合， ∴该点不在函数图象上； C、∵，不符合， ∴该点不在函数图象上； D、∵，不符合， ∴该点不在函数图象上； 【点睛】注意掌握点的坐标与函数解析式的关系． 7. 据市文化旅游数据中心初步测算，元旦假期三天，重庆市接待国内游客万人次，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法，把万表示为（，为整数）的形式即可． 【详解】解：万． 8. 近年来，随着环保理念的普及，传统高能耗家电的销量持续走低，商家接连推出降价优惠方案．某品牌的一款节能冰箱今年3月份的售价为4500元，5月份的售价降至3645元．设该款冰箱这两个月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的应用解决下降率问题即可． 【详解】解：设该款冰箱这两个月售价的月均下降率是，根据题意得， ． 9. 如图，正方形中，为边上一点，过点作 交的延长线于点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质，可得 ， ，证明，可得，设，，在中，根据勾股定理可得，可得，，作于点，证明，可得，，可得，在中，可得，即可得的值． 【详解】解：正方形中， ， ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵为边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， 作于点，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 10. 已知整式，其中为正整数，，为自然数，若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有3个三次三项式； ②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的次数、项数定义．结合给定等式，分别对三个说法逐一分析验证，判断其正确性． 【详解】①当 （三次）时，等式为， 即， 为正整数， 时，，要为三次三项式（项数为3），需恰好两个低次系数非零、一个为0： ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； 时，无法构造出三次三项式，故满足条件的三次三项式共3个，①正确； ②当时，等式为，即 为正整数， 时，，对应整式（）、（）； 时，，对应整式，共3个整式，故存在满足条件，②正确； ③取满足条件的整式：（ 时，符合等式）、（ 时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式），它们的和为，故③正确； 综上，①②③均正确，正确个数为3个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 将标有“巴”“川”“量”“子”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字一个是“量”一个是“子”的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】列表可得所有可能的情况数，根据概率公式进行计算． 【详解】解：列表如下： 巴 川 量 子 巴 (巴,巴) (巴,川) (巴,量) (巴,子) 川 (川,巴) (川,川) (川,量) (川,子) 量 (量,巴) (量,川) (量,量) (量,子) 子 (子,巴) (子,川) (子,量) (子,子) ∵共有16种等可能的结果，其中摸到的球上的汉字是“量”和“子”的结果有2种， ∴． 12. 如图，，若，则_____ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13. 若为正整数，且满足，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简式子，再估算化简后式子的取值范围，进而确定的值． 【详解】解：， 因为， 所以， 即， ， 即， 所以 ． 14. 已知，且，则 的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据绝对值的非负性由第一个方程确定y的取值范围，进而化简第二个方程中的绝对值，再通过代入消元结合绝对值的分类讨论求解x、y的值，最后计算 ． 【详解】解：由得，根据绝对值的非负性可知，即，则； 将代入，得，即； 把代入，得； 分两种情况讨论： 1. 当时，，则，解得 ， 将 代入，得， 验证：将 ，代入原方程，，，均成立， 此时； 2. 当时，，则，移项得，即，等式不成立，此情况舍去． 【点睛】注意分类讨论的思想． 15. 如图，的半径与弦交于点，是的一条切线且与直径延长线交于点，若四边形是一个矩形，且，则_____，_____． 【答案】 ①. 13 ②. 【解析】 【分析】根据矩形的性质和直径所对的圆周角是直角可判断点O在上，根据垂径定理求出 ，在 中，根据勾股定理得出，求出即可；连接，，根据矩形的性质和直径所对的圆周角是直角点O在上，根据切线的性质得出，则可判断 ，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是一个矩形， ∴ ， ∴是的直径，即点O在上， ∵， ， ∴， 在 中，， ∴， 解得， 连接，， ∵四边形是一个矩形， ∴ ， ∴是的直径，即点O在上， ∵是的切线， ∴， 又 ， ∴ ， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 16. 一个各数位互不相等，且均不为0的四位自然数，若满足，则称为“量子数”．例如：四位数，，是“量子数”．将的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，并规定．若是最大的“量子数”，则_____；若是一个“量子数”，（为整数），能被13整除，则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 ①. 21 ②. 6734 【解析】 【分析】本题考查新定义运算、数的整除及整数的性质，正确理解新的定义是解题的关键． 先根据“量子数”的定义找出最大的“量子数”，再求出，最后代入的定义进行计算即可；再根据“量子数”的定义和的定义得出关于 、 的表达式，再结合（为整数）和能被13整除的条件，通过分析 、 的取值来确定满足条件的的最小值． 【详解】解：是最大的“量子数”， 、， 各数位互不相等，且均不为0， 、 ， ， ， ； 是一个“量子数”， ， ， ， ， ， ， （为整数）， ， 、 、、互不相等，且是不为0的自然数， ， 为整数， 或， 当时，，此时不符合要求； 当时，， ， ，能被13整除， 能被13整除， 的值可能为26或39或52或65或78或91或104， ①当时，， 若，则、，不符合要求； ②当时，， 、是不相等的自然数， 不符合要求； ③当时，， 若，则 ，不符合要求； 若，则，不符合要求； 若 ，则、、，此时， 且，符合要求； 若，则 、，不符合要求； ④当时，， 、是不相等的自然数， 不符合要求； ⑤当时，， ，即， ， 若时， 、、，此时， ，符合要求； 若时，、、，不符合要求； ⑥当时，，不符合要求； ⑦当时，， ，即， ， 若 时，、、，此时， ，符合要求； 若 时， 、，不符合要求； 综上所述，满足条件的的最小值为， 故答案为：21；6734． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 【答案】 ，负整数解为、 【解析】 【分析】分别求两个不等式的解集，然后求公共解，确定负整数解． 【详解】解： 解不等式①得， ； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为 ， 负整数解为、． 【点睛】注意负整数解的定义． 18. 学习了特殊平行四边形后，小龙进行了拓展性研究，他发现菱形任意一组邻边的垂直平分线的交点都在菱形的一条对角线上．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：作出图形． 小龙连接了菱形的一条对角线（如图）．请你利用尺规，作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接和（不写作法，保留作图痕迹）．第二步：分析思路． 证明和的垂直平分线的交点在对角线上，可以转化为证明的垂直平分线与的交点也在的垂直平分线上，根据垂直平分线的判定定理，只需证明即可． 第三步：证明猜想． 证明：四边形是菱形， ，① ． 在与中， ， ． 垂直平分， ③ ， ， ④ ， 即菱形的一组邻边和的垂直平分线的交点在对角线上． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；根据菱形的性质得出 ，根据证明，得出，根据线段垂直平分线的性质得出，则 ，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证． 【详解】解：作图如下： 证明：四边形是菱形， ，①． 在与中， ， ． 垂直平分， ③ ， ， ④ ， 即菱形的一组邻边和的垂直平分线的交点在对角线上． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食 和 剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组： ； ； ； ；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） （3）若养殖基地准备按 和 的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于 的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 【答案】（1） ， ， （2） 解： 剂量更适合豚鼠牙齿的生长．理由： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的平均数（ ）大于 剂量组中豚鼠牙齿生长长度平均数（ ）． （3）估计大概有 只豚鼠需要加大剂量投喂． 【解析】 【分析】（1）计算 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的数量，根据中位数的定义可得 ，根据众数的定义可得 ，根据 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的百分比之和等于，可得; （2）比较平均数的大小即可； （3）用两种剂量的豚鼠总数分别乘以对应的牙齿长度在区间所占的比例，相加即可． 【小问1详解】 解： （只）， ， ∵ 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的有只，区间有 （只），区间有 （只），区间有 （只）， ∴ 剂量组中豚鼠按照牙齿长度从小到大的顺序排列，第只和第 只的牙齿长度分别为区间的第个和第个数据， ∴ ， ∵ 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据中，出现次数最多的为， ∴ ， ， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （只） ∴估计大概有 只豚鼠需要加大剂量投喂． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式进行化简，再代入求值． 【详解】解： ， 将代入上式得， 原式． 【点睛】重点掌握平方差公式，完全平方公式，分式的混合运算法则以及零指数幂和负整数指数幂． 21. 随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲 乙两型智能芯片． （1）已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次? （2）该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的，进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒，求算法优化前、后一枚申型芯片每秒运算次数各为多少万亿次? 【答案】（1）甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次 （2）优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． （1）设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次，根据“一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次”列二元一次方程组，求解即可； （2）设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为万亿次，根据“进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒”列争式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次， 根据题意得，， 解得 答：甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次； 【小问2详解】 解：设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为万亿次， 根据题意得，， 解得， 优化后为， 答：优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次． 22. 如图，在矩形中，，点是对角线的中点，点是的中点，连接．点从点出发，沿着的方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时，点从点出发沿着的方向以每秒个单位长度的速度运动．连接，设点和点的运动时间为秒，点和点的距离为， 的面积为的面积为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）图见解析，性质见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 ，根据三角形中位线定理求出，然后分点F在上和点F在上求出关于x的函数关系；延长交于M，过点G作于H，证明，求出，根据三角形的面积公式求出和，即可求出关于x的函数关系； （2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质； （3）根据函数的图象即可得到不等式的解集． 【小问1详解】 解∶∵在矩形中，， ∴， ， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点，点是的中点， ∴，，， ∴当点F在上时，； 当点F在上时， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 延长交于M，过点G作于H， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：函数、的图象如下： 根据函数图象，函数的性质为： 当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大； 当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由函数图象得，当时，． 23. 如图，位于正北方向6千米处，位于的正东方向，位于南偏东方向6千米处，与相距4千米．（参考数据：） （1）求与之间的距离；（结果保留小数点后一位） （2）某技术人员在上的处进行测绘作业，他测得处与的距离是处与距离的2倍，求的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）与之间的距离为 千米； （2）的长度为千米． 【解析】 【分析】（1）作 于点，于点，解可得，，可得，解可得 ，即可得与之间的距离； （2），，，解，即可得的长度． 【小问1详解】 解：作 于点，于点， 根据题意可得 ， ， 千米，千米，千米， ∴（千米），（千米） ∴（千米）， ∴（千米） ∴（千米） ∴与之间的距离为 千米； 【小问2详解】 解：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴（千米）， ∴的长度为千米． 24. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，点和点是直线上的两个动点，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线与原抛物线交于点，点为抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）该抛物线的表达式为； （2）点的坐标为，的最小值为； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）把代入，可得，把 代入，可得，把，代入，可得 ，，即可得抛物线的表达式； （2）设，作轴，交直线于点，则，可得，可得，可得当取得最大值时，点的坐标，作平行四边形，连接，，作轴于点，根据勾股定理可得， ，作轴，轴，交于点，根据勾股定理可得，即为的最小值； （3）由平移可得，联立两个抛物线的解析式，可得，作，作轴，交于点，作于点，作轴于点，则，可得，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点的坐标，在轴上取点，使得，则，可得，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入，可得， ∴， 把 代入，可得， ∴，， 把，代入， 可得， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：把 代入，可得，， ∴， ， 设， 作轴，交直线于点，则， ∴， 由，可得， ∴， 当时，， ∴当取得最大值时，点的坐标为， 直线与轴的交点记为， 把 代入，可得， ∴，， 作平行四边形，连接，则，，， ∴，， ∴， 作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， 作轴，轴，交于点，则，， 在中，， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：作轴于点， ∵， ∴， ∴， 抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移个单位，向上平移个单位，得到抛物线， ∴， 由得， 把代入得， ∴， ∵， ∴， 作，作轴，交于点，作于点，作轴于点，则， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴，点为直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由得， （点的横坐标）， 把代入得， ∴， 在轴上取点，使得，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，（点的横坐标）， 把代入得， ∴， ∴点的坐标为或． 25. 在中，，点为直线上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 ，连接． （1）如图1，，点在线段上，且点、、共线时，若，请用含的式子表示 ； （2）如图2，当，点为中点，点为中点，连接，若，求证：； （3）如图3，当 ，，当最小时，线段与直线相交于点，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得出 ， ，根据等边对等角求出 ，根据三角形外角的性质求出，根据根据等边对等角求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）连接，，延长 交于M，根据三线合一的性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，根据三角形外角的性质并结合已知可求出，则是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，则可求出，证明、、、四点共圆，根据圆周角定理得出，，根据余角的性质得出，证明，得出，即可得证； （3）过A作 于O，过作于H，在的延长线上截取点F，使 ，作直线，过C作直线的对称点，连接，可求，，证明，得出，，则，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，故点E在过点F，且与的夹角为的直线上运动（如图），根据轴对称的性质得出，，则，故当B、E、三点共线时，最小，证明，求出，证明，求出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，，延长 交于M， ∵，点为中点， ，点为中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过A作 于O，过作于H，在的延长线上截取点F，使 ，作直线，过C作直线的对称点，连接， ∵ ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 由（2）同理可得， 又 ，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点E在过点F，且与的夹角为的直线上运动（如上图）， ∵点和C直线的对称， ∴，， ∴， ∴当B、E、三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴． 【点睛】构造一线三垂直证明，判定为等腰直角三角形，得出点E的运动轨迹，然后轴对称的性质得出最小时点E的位置，最后根据相似三角形分别求出 ，的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 量子中学校2025—2026学年度秋期期末考试 初2026届数学试题 （本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解两江新区的空气质量 B. 调查华为三折叠手机屏幕的使用寿命 C. 调查重庆市所有九年级学生视力的情况 D. 我国新一代核潜艇下水前的检查 4. 如图，在中，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，则第30个图形中棋子的枚数为（ ） A. 88 B. 91 C. 94 D. 97 6. 下列四个点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 据市文化旅游数据中心初步测算，元旦假期三天，重庆市接待国内游客万人次，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，随着环保理念的普及，传统高能耗家电的销量持续走低，商家接连推出降价优惠方案．某品牌的一款节能冰箱今年3月份的售价为4500元，5月份的售价降至3645元．设该款冰箱这两个月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，为边上一点，过点作 交的延长线于点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，，为自然数，若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有3个三次三项式； ②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 将标有“巴”“川”“量”“子”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字一个是“量”一个是“子”的概率是_____． 12. 如图，，若，则_____ ． 13. 若为正整数，且满足，则_____． 14. 已知，且，则 的值为_____． 15. 如图，的半径与弦交于点，是的一条切线且与直径延长线交于点，若四边形是一个矩形，且，则_____，_____． 16. 一个各数位互不相等，且均不为0的四位自然数，若满足，则称为“量子数”．例如：四位数，，是“量子数”．将的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，并规定．若是最大的“量子数”，则_____；若是一个“量子数”，（为整数），能被13整除，则满足条件的的最小值是_____． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 18. 学习了特殊平行四边形后，小龙进行了拓展性研究，他发现菱形任意一组邻边的垂直平分线的交点都在菱形的一条对角线上．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：作出图形． 小龙连接了菱形的一条对角线（如图）．请你利用尺规，作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接和（不写作法，保留作图痕迹）．第二步：分析思路． 证明和的垂直平分线的交点在对角线上，可以转化为证明的垂直平分线与的交点也在的垂直平分线上，根据垂直平分线的判定定理，只需证明即可． 第三步：证明猜想． 证明：四边形是菱形， ，① ． 在与中， ， ． 垂直平分， ③ ， ， ④ ， 即菱形的一组邻边和的垂直平分线的交点在对角线上． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食 和 剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组： ； ； ； ；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） （3）若养殖基地准备按 和 的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于 的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲 乙两型智能芯片． （1）已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次? （2）该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的，进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒，求算法优化前、后一枚申型芯片每秒运算次数各为多少万亿次? 22. 如图，在矩形中，，点是对角线的中点，点是的中点，连接．点从点出发，沿着的方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时，点从点出发沿着的方向以每秒个单位长度的速度运动．连接，设点和点的运动时间为秒，点和点的距离为， 的面积为的面积为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，位于正北方向6千米处，位于的正东方向，位于南偏东方向6千米处，与相距4千米．（参考数据：） （1）求与之间的距离；（结果保留小数点后一位） （2）某技术人员在上的处进行测绘作业，他测得处与的距离是处与距离的2倍，求的长度．（结果保留小数点后一位） 24. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，点和点是直线上的两个动点，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线与原抛物线交于点，点为抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，点为直线上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 ，连接． （1）如图1，，点在线段上，且点、、共线时，若，请用含的式子表示 ； （2）如图2，当，点为中点，点为中点，连接，若，求证：； （3）如图3，当 ，，当最小时，线段与直线相交于点，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $