北京市中国人民大学附属中学2026届高三数学寒假自主复习检测练习

数学试题 2026 年 2 月 26 日 本试卷共三道大题, 21 道小题, 共 4 页, 150 分。考试时长 120 分钟。有生务必将答案 答在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 1. 已知集合 ，则 ( ) A. B. . C. D. 2. 若复数 满足 ,则 A. 1 B. C. 2 D. 3. 在 中， 分别是角 的对边， ，则( ) A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 4. 在神经网络中, Sigmoid 函数常用于构建损失函数,其定义为: ,则对任意的实数 ，均有( ) A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系 中，将向量 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 ， 则点 的横坐标为( ) A. B. C. D. 6. 已知实数 满足 ，则下列选项错误的是( ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若 ，则 D. 若 ，则 7. 设无穷等比数列 的前 项和为 ，则下列结论一定成立的是( ) A. 若 逆减，则 递增 B. 若 递减，则 递减 C. 若 递减，则 递减 D. 若 递减，则 递增 8. 已知函数 的定义域为 ，函数图像为连续曲线， ，则 “ 的解集为 是“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若 ，且 ，则 的最小值为 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线 部分是双曲线的局部。 此双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 二、填空照共5 小距，每小距 5 分，共 25 分。 11. 函数 的定义域为_____. 12. 二项式 的展开式中常数项是_____. 13. 若点 是圆 上的任一点，直线 与 轴， 轴分别相交于 两点，则 最小值为_____. 14. 抛物线 的准线方程为_____；若直线 与抛物线 交于 两点， 为准线上一点，则 的取值范围为_____. 15. 设 ,函数 ①若 有最大值，则 ； ②直线 与曲线 可以有两个公共点: ③若曲线 上存在两对关于原点对称的点，则 ； ④ 设 ，则直线 斜率的取值范围是 . 其中所有正确结论的序号是_____. 三、解答题共 6 小题, 共 85 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 16.(本小题 13 分) 设函数 ，且 . (1) 求 的值; (II) 若 在区间 上有且只有一个零点,再从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，求 的最大值. 条件①: 恒成立; 条件②: 恒成立; 条件③: 为 对称中心. 17. (本小题 14 分) 某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测. 检测结果分为优质、合格和不合格三种. 从两条生产线上各随机抽取 120 件产品, 检测结果如下表. 优质 合格 不合格 甲生产线 80 件 40 件 0 件 乙生产线 60 件 30 件 30 件 假设各件产品的检测结果相互独立, 用频率估计概率. (1)从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，求这 2 件产品均合格的概率； (II)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取 1 件，记这 2 件产品的利润总和为 元(利润标准: 优质 20 元,合格 5 元,不合格-15 元). 求 的分布列及数学期望: (III)工厂考虑对乙生产线进行技术改造,改造后,乙生产线生产的产品优质率可提高到 0.7 , 不合格率降为 0.05 . 但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加 4 元. 试判断改造后乙生产线产品的平均利润是否比改造前有所提高. (直接写出结论) 18.(本小题 13 分) 如图所示，在多面体 中， 为平面六边形，平面 平面 ，平面 平面 ， ， ， 与 都是边长为 2 的等边. 三角形, , 分别为 的中点. (1)求证: ， 平面 ； (II)棱 ED 上是否存在点 ，使得 成角 ? 若存在，求 的值:若不存在，说明理由. 19. (本小题 15 分) 已知函数 . (I) 若 ，求函数 的极值； (II) 若 时， ，求 的取值范围； (III) 若函数有两个极大值点 ,求 的范围. 20. (本小题 15 分) 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为2，点 分别是椭圆 的左右焦点,点 是椭圆 上两动点, 不与 轴垂直,连接 ,直线 与 的外角平分线所在直线交于点 . (I) 求椭圆 的方程: (II) 当 分别为椭圆 的上顶点和左顶点时,求 点坐标: (III) 求 的值. 21. (本小题 15 分) 已知 为正整数， ，若数列 同时满足: ① 对任意 ，均有 ； ② 对任意 ，均有 ； ③ 对任意 ，均有 ， 则称该数列为 数列. (I) 若数列 是 数列,直接写出 的所有可能值; (II) 若数列 是 数列,求 的最大值; (III) 若数列 是 数列,求 的最小值. 参考答案 1-10. BBCDB DDABC 11. 12. 7 13. 14. (3 分,2 分) 15. ①③(3分，5 分) 16. (本小题 13 分) 解: (I) . 4 分 (II) 选①. 由 (I) 知 . . . 又当 时, . 最大为 10 . 13 分 选③ 因为 为 对称中心,所以 . 又当 时, . 最大为 10 . 13 分 17. (本小题 14 分) 解:(I)设事件 :“从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，这 2 件产品均合格”，则所求概率 . 4 分 ( II ) . 用频率估计概率,甲生产线取到优质品概率为 ,乙生产线取到优质品概率 . , 分布列 40 25 10 5 -10 1 3 1 3 1 6 11 分 (III) 改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高. 14 分 改造前平均利润 . 改造后平均利润 . ,改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高. 18. (本小题 13 分) 解: (I) 与 为等边三角形,且 分别为 中点. 所以 . 平面 平面 ,平面 平面 平面 . 平面 ; 同理 平面 , ,又 平面 平面 . 又平面 平面 . ，又 平面 . 平面 . 6 分 ( II ) 过 做 , 因为 , 所以在 中, , 同理 . 分别为 中点，所以 ，所以 . 又 平面 ,所以 ,所以 两两垂直,如图建系, 分别为 中点，所以 ，又 ， 所以四边形 为平行四边形,所以 . 设平面 法向量 , 则 ,令 ,所以 设 . 因为 与平面 成角 , 所以 . ,解得 . 所以存在点 ,使得 与平面 成角 ,此时 . 13 分 19. (本小题 15 分) 解: (I) 时, 令 . (0,2) 2 (2,4) + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极大值为 . 5 分 (II) 法 1: 所以 时, ,所以 . 当 时, , . 综上 的取值范围是 . 10 分 法 2: 因为 , 所以 关于 对称, 所以 时, 等价于 时, . 首先: 由 时, 得 . 其次: 证明 时, 时, , 当 时, 在 递增, . 当 时 ① 当 ，即 时， 递增. ② 当 ，即 时， 存在唯一 使得 ,即 . 递增: 递减. ③ 当 ，即 时， 递减. 综上 最小值为 , 因为 , 所以 时, . 综上 的取值范围是 . 10 分 法 3: 另 , . 另 , 时, ,等价于 时, , . ① 当 时， 递增. ② 当 时，存在唯一 使得 . 递增: 递减. ③ 当 时， 递减，满足题意. 综上 时, , 因为 , 所以 时, ,当且仅当 . 综上 的取值范围是 . 10 分 (III) 当 时, 只有一个极值点. 当 时, , 令 或 . 若函数有两个极大值点 , 则 在 有两个不等实根 , 所以 ,且 . 2 (2,4) + 0 - 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 15 分 20. (本小题 15 分) 解: (I) 依题意, 解得 椭圆 的方程为 . 4 分 (II) 当 分别为椭圆 上顶点和左顶点时, . 因为 , . 所以 . 9 分 (III) 首先证明 在 上. 设 ,直线 与 交于 , 易知 , ① 当 时， 点 到 的距离 因为点 在直线 和椭圆 上，所以 且 同理点 到 的距离 . . ② 当 ,或 时不妨设 此时必有 , 由①知点 到 的距离 . 与 平行,所以 . 因为直线 过 或 ,所以 . 所以 综合①② . 所以点 在 内角分线或其外角平分线上,而 内角分线与 交点在椭圆内, 所以点 在 外角平分线上. 所以 外角平分线交于一点,所以 在 上, . 15 分 21. (本小题 15 分) 解:(I)-3，2，3. 4 分 (II) 设 ,由①, . 一)1,2,3,4,2,1是 数列, 所以 符合题意. 二)当 时,由②,设 或 . 1. 当 时, 由②， ， ，故由③， ，与②矛盾. 2. 当 时,由②， 或 . 若 ,由③， ，与①矛盾. 若 ,由②③， ，与①矛盾. 综上, 的最大值为 6 . 9 分 (III) 略 学科网（北京）股份有限公司 $