第7章 相交线与平行线单元复习（7大知识点+ 12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

该初中数学《相交线与平行线》单元复习讲义通过表格系统梳理核心知识点，将相交线、垂线、三线八角、平行线判定与性质等概念按“定义-性质-图示”呈现，结合思维导图构建知识脉络，突出对顶角性质、平行线判定与性质互逆应用等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的邻补角计算到压轴的折叠与拐点问题，如“过拐点作平行线”技巧培养推理能力，跨学科题型（光的反射）提升应用意识。每个题型配解题方法与变式题，助力分层教学，支持学生自主复习与教师精准指导。

第7章 相交线与平行线 知识点1：相交线的基本概念与性质 概念/性质 定义/内容 图示 相交线 同一平面内，只有一个公共点的两条直线叫做相交线 邻补角 两条直线相交形成的角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，邻补角互补（和为） 对顶角 两条直线相交形成的角中，没有公共边且两边互为反向延长线的两个角，对顶角相等 知识点2：垂线及其性质 概念/性质 定义/内容 图示 垂线定义 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫垂足，记作 垂线性质1 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(CD) 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度(d) 知识点3：三线八角 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，按位置分为三类： 角的类型 位置特征 图形特征 同位角（） 在截线同侧，被截两直线同方向 呈“F”型 内错角（） 在截线两侧，被截两直线之间 呈“Z”型 同旁内角（） 在截线同侧，被截两直线之间 呈“U”型 知识点4：平行线的定义与公理 概念/公理 定义/内容 图示预留 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（若，，则） 知识点5：平行线的判定与性质 类别 条件 结论 判定（由角定线） 同位角相等() 两直线平行() 判定（由角定线） 内错角相等() 两直线平行() 判定（由角定线） 同旁内角互补() 两直线平行() 性质（由线定角） 两直线平行() 同位角相等() 性质（由线定角） 两直线平行() 内错角相等() 性质（由线定角） 两直线平行() 同旁内角互补() 知识点6：命题、定理与证明 1.命题：判断一件事情的语句，由题设（已知事项）和结论（由已知推出的事项）两部分组成。 2.命题分类：真命题（题设成立，结论一定成立）、假命题（题设成立，结论不一定成立，举反例即可证明）。 3.定理：经过推理证实的真命题，可以作为推理的依据。 4.证明：从题设出发，通过推理、论证得出结论的过程。 知识点7：平移的概念与性质 1.平移定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动叫做平移。 2.平移要素：平移方向和平移距离。 3.平移性质： 平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置； 对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等； 对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 【基础必考题型】 【题型1】相交线中的邻补角、对顶角计算 1.核心知识点: 邻补角互补；对顶角相等；平角的定义 2.解题方法技巧: 先识别邻补角和对顶角，利用“对顶角相等”转化角的大小； 结合“邻补角和为”或“平角为”列算式计算，注意角的倍数、和差关系。 【例题1】.（25-26七年级上·江西南昌·期末）王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，利用邻补角互补求角度等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用对顶角相等，结合，求得，再利用邻补角求解即可． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， 又， ∴， 即， 又， ∴， ∴， 故选：C． 【变式题1-1】.（24-25六年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，则的度数为___________． 【答案】/110度 【分析】本题考查了对顶角、平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据对顶角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴． 故答案为： ． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对顶角相等得出，再结合已知条件得出，最后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：由对顶角得出， ∵， ∴， ∴． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，，是长方形的外角，求． 【答案】 【分析】本题考查长方形的内角为，邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键． 根据长方形的内角为，求出，，，的度数，相加即可求解． 【详解】解：长方形， ， 是长方形的外角，即和互为邻补角， ， ， 同理可得：，，， ． 【题型2】平行线的判定 1.核心知识点: 平行线的判定定理；同位角、内错角、同旁内角的数量关系 2.解题方法技巧: 先找到截线和被截线，识别相关角的类型； 验证角的数量关系（相等/互补），直接套用判定定理证明两直线平行。 【例题2】.（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A.∵， ∴； B. ∵， ∴； C. ∵， ∴， 无法得出； D.∵， ∴； 【点睛】注意掌握“三线八角”模型和平行线的判定定理． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·周测）如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 【答案】(1)   见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义及两角互余的定义得到，即可判定； （2）结合（1）得到，再由得到，即可判定． 【详解】（1）．理由如下： ， ． 与互余， ， ， ． （2）解：由（1）知，． ， ， ． 【题型3】平行线的性质 1.核心知识点: 平行线的性质定理；角的和差、角平分线的定义 2.解题方法技巧: 先根据平行线确定角的数量关系（相等/互补）； 结合角平分线、平角、直角等条件，逐步推导计算角度。 【例题3】.（25-26九年级上·四川广元·月考）如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过的顶点作直线平行于直线，借助平行线的传递性得到平行于，再利用平行线的性质得到相等的角，将转化为与的和，进而通过角的差求出的度数． 【详解】解：如图，过的顶点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图， ，，则_______． 【答案】/230度 【分析】过点作，利用平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意掌握“铅笔头”模型． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 【答案】/81度 【分析】过点作，可得，根据两直线平行内错角相等可得，，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 【变式题3-3】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【分析】（1）方法不唯一，证明即可判定． （2）先证明，根据平角定义计算的度数． 【详解】（1）解：与平行．理由如下： ，， ， ． （2）解：， ； 平分， ， ， ． 【题型4】平移的基本性质应用与作图 1.核心知识点: 平移的定义与性质；平移的要素 2.解题方法技巧: 利用“对应点连线平行且相等”确定平移后点的位置； 作图时先描出原图形的关键点，平移关键点后依次连接得到新图形； 根据平移性质求平移距离、对应线段长度或对应角的度数。 【例题4】.（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，． (1)若将向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，请画出并写出点，，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得，，的坐标，描出，，，并顺次连接，，即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：由题意得，． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段（点与点是对应点，点与点是对应点），请画出线段； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是________． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查平移作图及平移的性质． （1）根据平移方式确定点和点的位置，作图即可； （2）根据平移的性质可直接得出答案． 【详解】（1）解：线段如图所示． （2）解：由平移的性质可得和之间的关系是：平行且相等， 故答案为：平行且相等． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，把先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到． (1)画出，并求出，，三点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，，，． (2) 【分析】本题考查图形的平移，以及直角坐标系求图形面积问题，掌握点的坐标移动规律是解题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，，，． （2）解：如图，采用割补法计算的面积， 的面积为梯形面积减去两个直角三角形面积， 即． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·江西上饶·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出． (2)若点是内部的一点，则内部的对应点的坐标为______． (3)经过（1）中的平移，线段扫过的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题考查作图-平移变换、平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的规律即可得到结论； （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：∵点， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：在平移过程中， 线段扫过的图形的面积为． 故答案为：12． 【培优高频题型】 【题型5】结合图形的垂线、平行线综合计算 1.核心知识点: 垂线的性质；平行线的判定与性质；角的和差倍分 2.解题方法技巧: 从图形中提取垂直、平行的条件，转化为角的数量关系； 设未知数列方程求解角度，适用于角存在比例、倍数关系的情况； 注意图形中的隐藏条件（如平角、直角）。 【例题5】.（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，对顶角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 对于（1），先由对顶角相等和角平分线定义求出，进而求解即可； 对于（2），根据题意证明出，即可得到平分． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； （2）解：是，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，直线相交于点O，过点O作两条射线，且、． (1)若平分，求的度数； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据垂直的定义结合角平分线的定义即可求解； （2）先求得，利用等角的余角相等求得，再利用邻补角的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）已知，如图，，垂足为，平分，反向延长至点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算； 根据角平分线定义求出，进而可得的度数，然后利用平角的定义计算即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型6】命题的改写与真假判断 1.核心知识点: 命题的结构；真命题、假命题的定义；反例的构造 2.解题方法技巧: 改写命题为“如果……那么……”形式，“如果”后是题设，“那么”后是结论； 判断真命题需推理证明，判断假命题只需举出一个反例（满足题设，不满足结论）； 注意省略题设的命题需先补全题设再分析。 【例题6】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）命题“若，则”是个_____命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据绝对值的定义，时，a的值可以是2或，因此命题不总是成立，进而可得答案． 【详解】解：∵当时，，但， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：假． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的n的值可以是___________．（只写一个） 【答案】0 【分析】本题考查了举反例判断假命题．只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题． 【详解】解：当时，符合条件， 但， ∴命题“如果，那么”是假命题, 故答案为：0（答案不唯一）． 【变式题6-2】.（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：例如：，，，，，得到． （2）证明：∵， ∴，， ∴． 【题型7】平行线的判定与性质综合应用 1.核心知识点: 平行线的判定定理与性质定理；互逆推理思想 2.解题方法技巧: “先判定后性质”：先通过角的关系证两直线平行，再利用平行线性质求其他角的度数； 找准“中间角”，实现角的等量转化，搭建已知角和未知角的桥梁。 【例题7】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 【变式题7-1】.（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，，． (1)探究与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查了邻补角、平行线的判定与性质等知识， （1）根据题意易得，根据“同位角相等，两直线平行”可得，进而可得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）根据，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的判定与性质即可进行判断与证明； （2）先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出的度数． 【详解】（1）解：， 理由：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 【压轴素养题型】 【题型8】折叠问题中的平行线应用 1.核心知识点: 平行线的性质；折叠的性质（折叠前后对应角相等）；邻补角互补 2.解题方法技巧: 折叠问题的核心是“对应角相等”，先标出折叠前后相等的角； 结合纸条、长方形等图形的平行条件，利用平行线性质转化角的关系； 利用平角为列方程求解未知角度。 【例题8】.（23-24七年级下·辽宁大连·月考）【问题情境】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习了平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，张明是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的1—3，虚线部分表示折痕）． (1)张明同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则＝_______°； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时张明说，就是的平行线．张明的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在张明同学折纸的基础上，补充了条件：如图4，连接交于点G，连，并在上找一点H，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①②张明的说法正确，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质和平行线的判定及性质，牢记折叠的性质和平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可知，可求得的度数，进而求得的度数，同理可求得的度数，根据角之间的等量关系，可判断与的位置关系． （2）根据已知条件可知，进而可得，即可判断与的位置关系． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可知， 又， ∴． ∴． 故答案为：． 张明的说法正确． 理由如下： 根据折叠的性质可知， 又， ∴． ∴． ∴． （2）． 理由如下： ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·广西南宁·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【答案】 ； 张华的说法正确，理由见解析； 在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线判定及性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据折叠的性质和平行线的性质找角之间的关系，根据角之间的关系列方程求解． 根据折叠的性质可知； 根据折叠的性质可知、，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行可得张华的说法正确； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动，所以当灯转动秒时，灯转动了秒，根据灯转动的速度和时间可知在灯射线第一次到达之前； 根据灯和灯转动的速度可知：在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，根据灯转动的速度可知灯从转到需要的时间是秒，所以应分三种情况讨论两灯光束平行：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】解：根据折叠的性质可知， 故答案为：； 张华的说法正确， 证明：根据折叠的性质可知， 由可知， ， ； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动， 当灯转动秒时，灯转动了秒， 在灯P射线第一次到达之前，， 故答案为：； 解：灯的射线从转到需要的时间是秒， 在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒， 灯的射线转动的速度是每秒， 灯从转到需要的时间是秒， 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ∴ ， 解得：； 综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 【变式题8-3】.（24-25九年级上·四川成都·期中）【研究背景】 小西同学用一张长方形纸片对不同折法下的折痕进行了探究，如图，已知，，点，分别在边，上，且． 【初始探究】 （1）小西将纸片沿直线翻折，点的对应点为，点的对应点恰好落在对角线上． ①求线段的长度； ②若点为线段上一动点，求的最小值． 【拓展提升】 （2）在（1）的条件下，在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合，求折痕长． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①过点作于点，可得四边形是矩形，根据翻折的性质有，得出，根据得出，进而在中，勾股定理求得，即可求解． ②如图所示，过点作，过点作于点，过点作交于点，交于点，设交于点，则，根据，进而在中，求得，进而求得的长，即可求解； （2）连接，根据折叠的性质得出垂直平分，在中，求得，进而得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：（1）①过点作于点，如图， 在长方形中，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 根据翻折的性质有， ，， ，即 在中， ②如图所示，过点作，过点作于点，过点作交于点，交于点，设交于点，则 ∵， ∴， ∴， ∴，设，则 ∴， ∴， ∴ 即的最小值为， ∵，， ∴ ∴， ∵， 在中， ∴， ∴ ∴的最小值为 （2）如图所示，连接 由（1）可得， 根据翻折的性质有：，，，，， ∵在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合， ∴垂直平分， ∴， 在中， ， 设，则 ∴ 解得：， ∴，则 ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握折叠的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 【题型9】平行线中的角平分线综合探究 1.核心知识点: 平行线的性质；角平分线的定义；角的和差倍分 2.解题方法技巧: 先利用角平分线的定义得到“角的一半”关系，再结合平行线性质实现角的等量转化； 探究角的数量关系时，先通过特殊值猜想结论，再进行一般化推理证明； 注意“角平分线+平行线”常构造等腰三角形的隐藏结论。 【例题9】.（24-25七年级下·北京·期中）直线，分别交、于点、，平分． (1)如图1，若平分，则．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵（已知） ∴（________） ∵平分，平分（已知） ∴，（________） ∴________ ∴（________） (2)如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由． (3)如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：________． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；同位角相等，两直线平行 (2)互相平行，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线性质和判定，角平分线定义，角的和差，掌握平行线性质和判定，角平分线定义，角的和差是解题关键． （1）根据，得出，根据角平分线定义，得出，可证，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，可得，根据平分，平分，可得，得出即可； （3）根据，得出，根据角平分线定义得出，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：结论为：． ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-1】.（21-22七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 【变式题9-2】.（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)； (4)，求解过程见解析 【分析】（）过点作，可得，进而得，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，过点作，可得，同理（）解答即可求解； （）过点作，可得，得到，进而根据角平分线的定义可得，同理可得； （）过点作，过点作，得，同理（）解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：与（1）同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 按照上述方法可知， ∵，平分，平分，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：，； （4）解：过点作，过点作，如图所示，则，    ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·福建福州·月考）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；②； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分； ， ∴． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 【题型10】含“拐点”的平行线问题（作辅助线） 1.核心知识点: 平行线的判定与性质；辅助线的作法；角的和差 2.解题方法技巧: 过拐点（拐角顶点）作已知直线的平行线，将一个角拆分为两个角，转化为同位角/内错角/同旁内角； 多个拐点时，依次过每个拐点作平行线，利用“平行于同一直线的直线互相平行”推导角的关系； 常见结论：“凹形”拐点，“凸形”拐点。 【例题10】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 【变式题10-1】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． _____ ， （理由是：____________________） （理由是：____________________） ，_____， _____ [迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数． 【答案】（1）60；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；105；（2） 【分析】（1）根据题意，对每个步骤填写结论和依据； （2）过点作，根据平行线的性质得，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）补全过程如下： 如图2，过点作，过点作， 则． ， ， ， （理由是：平行于同一直线的两直线平行） （理由是：两直线平行，内错角相等） ， ， ； （2）如图3，过点作， ， ， ， ， ． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 【题型11】跨学科的平行线应用 1.核心知识点: 平行线的判定与性质；生活/物理中的平行模型（如光的反射、器械平行、道路平行） 2.解题方法技巧: 从跨学科情境中提取数学模型，将实际问题转化为“平行线的判定与性质”问题； 光的反射问题紧扣“反射角=入射角”，结合平行线性质推导角度； 器械、道路平行问题，利用“同位角相等/内错角相等”验证平行或计算角度。 【例题11】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）在学习完相交线和平行线这章节后，老师带领同学们到校园内上数学活动课．老师鼓励同学们去观察和发现现实生活中的问题，并尝试利用所学的数学知识来解决． 【情景一】 同学们到达一处正在改造的教学楼外，发现工人师傅正在发愁．工人师傅需要测量一间教室内墙角（O为墙角顶点，为教室的两面墙）的度数，以便精准定制墙角装饰线条，但由于教室门被锁住，无法进入室内直接测量． 小南同学作为七年级的数学爱好者，提出了一个解决方案：在教室外，反向延长射线至点C，得到． （1）①若，则内墙角______； ②请你独立思考，尝试用另外一种的方法测量内墙角的度数，简要写出测量步骤（测量的角度用或等小写希腊字母表示）； 【情景二】 活动课结束后，小安同学深受启发．放学回家她经过南安晋安大桥时，看到桥梁中间圆柱石柱两边各有两条斜拉索用来固定，她若有所思，能否测量出两条斜拉索夹角的度数？       小安同学回家后，立刻进行思考，抽象出以下问题： 在平面内画出两条不平行的直线．由于斜拉索不能延长，所以在不延长的前提下，测量出直线的夹角． （2）请帮助小安同学解决以上问题，并说明理由（必要的字母和角度请标记出来）． 【答案】（1）①；②；（2）解决问题见解析，理由见解析 【分析】本题主要考查运用邻补角、对顶角以及平行线的相关知识来解决角度测量问题． （1）①根据邻补角计算即可；②反向延长射线至点，根据对顶角可得； （2）根据题意，画一直线，分别交直线，于点，，再作，接着测量的度数即可． 【详解】解：（1）①若，则内墙角 ； 故答案为：； ②在教室外，反向延长射线至点， 测量得到， 因为与为对顶角， 所以 （2）第一步：如图，画一直线，分别交直线，于点，； 第二步：作， 所以， 所以的度数即为直线，所夹锐角的度数； 第三步：测量的度数， 所以直线的夹角的度数为． 【变式题11-1】.（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）图1是小明同学的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是__________． (2)如图3，根据小明的思路求和的度数． (3)小明在解题中发现，和的度数永远是相等的，与和的度数无关．请结合图3说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及平行公理及推论，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的推论即可得出答案； （2）平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解； （3）根据平行线的性质及角的和差及等量代换，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，     ∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行） 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式题11-2】.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动． 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 相关信息 三位同学各测量的度数一次，求得的平均值为，然后又各测量的度数一次，求出其平均值． 将一个三角板 ，）放在互相平行的直尺和之间，并使直角顶点在直尺上，顶点在直尺上． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择三位同学各测量一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是___________；图1中___________度； (2)请你帮第一小组想一想，当摆成___________度时，才能确保； (3)在图2中，当改变直尺的位置时（始终保持直角顶点在上），点在上保持不动，同学们发现点的位置会随着直角顶点的位置的变化而变化．请你猜想：的值是否会发生改变？如果不变，它们的和是多少度？请说明理由． 【答案】(1)减少误差； (2) (3)不变， 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，垂直的定义，角度的和差，误差； （1）多次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差；根据图1可得，据此求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）在右边作，则，，， 再根据得到固定不变． 【详解】（1）解：多次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差； 图1中， 故答案为：减少误差；154； （2）解：由图可得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：在右边作， ∴， ∵互相平行的直尺和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴固定不变． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）阅读下列材料，完成探究任务： 【材料一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图．（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点） 【材料二】 我们把右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图2，用线段表示右侧的后视镜，用长方形表示汽车的部分车身，司机在车内点处，，后视镜与形成的为，司机观察车右侧后视镜的视角的度数不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点． 【材料三】 当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车位的遮挡，会形成我们常说的汽车盲区．如图3，小汽车的车头、车尾盲区，以及两侧后视镜的可见区域．一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米． 【问题解决】（提示：“三角形的内角和为”可直接使用．） (1)若，则图2中入射角_____； (2)图2中，我们把称为司机观察车右侧的“给力角”，当入射点与点重合时，“给力角”最大．请求出图2中“给力角”的最大值为_____． (3)已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45米，如图4是根据题意画出的线段示意图； ①线段表示的实际意义是_____ ②如果此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车行驶的最大速度为：_____米/秒． 【答案】(1)40 (2)100 (3)①小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米；②25 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的实际应用： （1）根据平行线的性质，得到，三角形的内角和定理求出的度数，垂直得到，角的和差关系求出的度数即可； （2）当入射点与点重合时，的度数最大，为，同法（1）进行求解即可； （3）①根据题意，易得表示小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离；②设摩托车的行驶速度为米秒，当米时，摩托车的速度最大，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：如图①，因为且， 所以； 又因为， 所以； 因为， 所以； 所以． （2）解：如图②，当入射点与点重合时，的度数最大，为． 因为， 所以； 又因为， 所以； 因为，所以； 所以， 所以． （3）解：①由题意，表示小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米． ②解：设摩托车的行驶速度为米秒， 当米时，摩托车的速度最大． 即， ∴， 解得； 故摩托车的行驶速度为米秒． 【题型12】平行线与分类讨论思想的综合应用 1.核心知识点: 平行线的性质；分类讨论思想；角的位置不确定性 2.解题方法技巧: 当点的位置（如截线外的点在平行线之间/外侧）、角的位置不确定时，进行分类讨论； 分类标准：根据点的位置、角的方向划分，做到不重不漏； 每种情况分别画图，结合平行线性质计算，最后总结所有情况的结论。 【例题12】.（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1) ； (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不变， 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算，通过分析旋转过程中角度的变化，利用平行线的性质来求解角度和时间的关系． （1）连接，利用平行线的性质即可求得； （2）设当时刻时，点分别转到了， 将延长，交EF于点；将反向延长，交延长线于点，或其补角为射线与射线所在直线的夹角，得到，其补角为，计算即可得到答案； （3）分别将与利用含有时间的代数式表示出来，根据其比值结果是否含有即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图①所示， ， ， 故答案为：； （2）解：设当时刻时，点分别转到了，如图②所示， 将延长，交EF于点；将反向延长，交延长线于点， 或其补角为射线与射线所在直线的夹角， 由题意可知：， 转到时同时停止转动， 的最大值为秒， ， ， ， ，其补角为， 当时，（秒）； 当时，（秒）． 答：存在这样的时刻，当秒或秒时，射线与射线所在直线的夹角为； （3）解：不会发生改变； 理由：如图③，由题意可知：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题12-1】.（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图，直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上． (1)如图1，当平分时，求的值； (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当边时的值． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． （1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①画出图形，设延长线与交于点，利用平行线的性质即可求解； ②先讨论第一次和第二次的情况，分别画出图形进行解答，再探索的规律即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，速度为每秒3度， ∴旋转的度数范围为， 则只有一种情况，如图， 设延长线与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，的值为； ②如图，当第一次时，延长交于． ∵， ∴， 过点作，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 如图，当第二次时，延长交于， ∵， ∴， 过点作，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 本题，结合， 相当于是求当时的， 可通过平移两三角板将、重合，转化为共点旋转， 共点旋转时从某次到下一次，和需相向旋转角度和， 设这段时间为， 则， 得：， 即每隔秒一次， 即每隔秒一次， 又， 故第三次，第四次， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，先作平行线构造平行关系，结合旋转性质表示出相关角度，再利用平行线的性质和直角三角形的内角关系推出的表达式，结合的旋转角度表示出． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∵中，，， ∴． 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∵， ∴， ∴，解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，由平行公理可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴，解得； 综上，的值为或． 【变式题12-3】.（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为，则这两个非负数均等于． （1）依据，即可得到,的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直， 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， 解得， 故至少旋转秒时，射线、射线互相垂直； （3）设射线转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，， ①当到达前，，， ， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当到达后，，，， ， ， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 易错点 1.混淆平行线的判定和性质，判定是“由角定线”，性质是“由线定角”，易出现推理逻辑错误。 2.识别三线八角时，未先确定截线，直接根据位置判断，导致角的类型识别错误。 3.忽略“同一平面内”的前提，错误应用平行公理、垂线的性质（如空间中过一点有无数条直线与已知直线垂直）。 4.计算点到直线的距离时，误将“斜线段的长度”当作距离，忘记距离的定义是“垂线段的长度”。 5.折叠问题中，未正确识别折叠前后的对应角，或忽略纸条、长方形的平行条件，导致角度计算错误。 6.作辅助线解决拐点问题时，未过拐点作平行线，或作辅助线后未利用平行公理推论，无法实现角的转化。 重点 1.对顶角相等、邻补角互补的应用，以及垂线的性质（垂线段最短、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）。 2.三线八角的识别，这是平行线的判定与性质的基础，能准确区分同位角、内错角、同旁内角。 3.平行线的判定定理和性质定理的灵活运用，掌握“由角定线”和“由线定角”的互逆推理方法。 4.平移的性质与应用，能利用平移解决图形的作图、面积计算和实际路径问题。 5.命题的结构分析与真假判断，会将命题改写为“如果……那么……”形式，能构造反例证明假命题。 难点 1.含“拐点”的平行线问题，掌握过拐点作辅助线的方法，实现角的拆分与转化，推导角的数量关系。 2.平行线的判定与性质的综合推理，能结合角平分线、垂线、折叠等条件，进行多步推理证明和角度计算。 3.分类讨论思想在平行线问题中的应用，能根据点、角的位置不确定性进行分类，做到不重不漏。 4.相交线与平行线的综合探究题，能从特殊到一般猜想规律，并进行严格的推理证明，实现知识的灵活迁移。 5.将实际问题（跨学科、生活情境）转化为相交线与平行线的数学问题，提取数学模型并解决问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，直线最短 D．若，则与互余 【答案】D 【详解】解：平行线的基本事实是“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，若点在已知直线上，则无法作出与已知直线平行的直线，∴选项A错误； 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，选项B错误； 两点之间，线段最短，直线是向两方无限延伸的，没有长度，不能说“直线最短”，选项C错误； 互余的定义为：若两个角的和为，则这两个角互为余角，已知，完全符合互余的定义，选项D正确． 综上，正确的选项是D． 2．下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． 3．在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 4．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，设，先根据角平分线求得，，进而求得，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 5．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 二、填空题 6．命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”） 【答案】 真 【分析】本题考查了判断命题的真假．根据乘法法则判断命题的真假，即可求解． 【详解】解：当时，无论取何数，都成立． 因此该命题是真命题． 故答案为：真． 7．我们常用的折叠式小刀抽象成如图所示几何图形，刀柄外形左侧是一个长方形的一角，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成与．若，则_______． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键． 由题意可知，，，过点作，根据“两直线平行，内错角相等”可得，进而可得，再证明，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【详解】解：如下图，由题意可知，，， 过点作， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气射入水中时，会发生折射，已知在空气中平行的光线射入水中时也是平行的，如图，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 9．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【答案】44 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 故答案为：44． 10．年月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，．若，于点，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由已知可得，过点作，过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据对顶角相等，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论； （2）由推出，结合已知，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，O为直线上一点，平分，． (1)图中共有 对互补的角； (2)若，求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据和为的两个角互为补角，进行判断即可； （2）先根据角平分线定义求出，再根据邻补角求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴与互补，与互补，与互补，与互补，与，共5对互补的角； （2）解：∵，平分， ∴， ∴． 13．综合实践： 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角． (1)观察图形，写出和数量关系___________； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被 反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上，利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深入思考】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角； ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成角的度数取值范围．（提示：三角形内角和是） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①；②的度数取值范围为或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角的和差计算； （1）根据等角的余角相等可得答案； （2）先根据（1）中结论可知：，，再结合平行线的性质得出，然后根据平行线的判定得出结论； （3）①过E作，根据平行线的传递性可得出，根据平行线的性质得出，，进而求出，然后求出，再根据平行线的性质求解即可； ②由①可求当和重合时，，然后分和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵法线垂直于平面镜， ∴法线将一个平角分成了两个直角， 又∵反射角等于入射角， ∴根据等角的余角相等可得， 故答案为：； （2）； 理由：由（1）中结论可知：，， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）①如图3，由（1）中结论得，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过E作， ∴， ∴，， 当和重合时，则， ∴， 当时，如图， 由①可知：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即； 当时，如图，过E作， 同理可求出， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 综上，的度数取值范围为或． 14．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键． 如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数． 【详解】解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H， 依题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，直线与交于点，在的内部，，平分． (1)求的度数； (2)过点作，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义，平角定义，垂直定义， 对于（1），设，则，可得.再根据平角定义得，然后根据平角定义可得，求出，可得答案； 对于（2），分两种情况：当在直线的下方时，由（1）得，即可求出，再根据得出答案； 当在直线的上方时，由（1）得，再根据得出答案． 【详解】（1）解：设，则， . 平分， ， 则， 解得， ； （2）解：当在直线的下方时， ， ． ， ，； 当在直线的上方时， ， ， ， ． 故或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 相交线与平行线 知识点1：相交线的基本概念与性质 概念/性质 定义/内容 图示 相交线 同一平面内，只有一个公共点的两条直线叫做相交线 邻补角 两条直线相交形成的角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，邻补角互补（和为） 对顶角 两条直线相交形成的角中，没有公共边且两边互为反向延长线的两个角，对顶角相等 知识点2：垂线及其性质 概念/性质 定义/内容 图示 垂线定义 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫垂足，记作 垂线性质1 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(CD) 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度(d) 知识点3：三线八角 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，按位置分为三类： 角的类型 位置特征 图形特征 同位角（） 在截线同侧，被截两直线同方向 呈“F”型 内错角（） 在截线两侧，被截两直线之间 呈“Z”型 同旁内角（） 在截线同侧，被截两直线之间 呈“U”型 知识点4：平行线的定义与公理 概念/公理 定义/内容 图示预留 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（若，，则） 知识点5：平行线的判定与性质 类别 条件 结论 判定（由角定线） 同位角相等() 两直线平行() 判定（由角定线） 内错角相等() 两直线平行() 判定（由角定线） 同旁内角互补() 两直线平行() 性质（由线定角） 两直线平行() 同位角相等() 性质（由线定角） 两直线平行() 内错角相等() 性质（由线定角） 两直线平行() 同旁内角互补() 知识点6：命题、定理与证明 1.命题：判断一件事情的语句，由题设（已知事项）和结论（由已知推出的事项）两部分组成。 2.命题分类：真命题（题设成立，结论一定成立）、假命题（题设成立，结论不一定成立，举反例即可证明）。 3.定理：经过推理证实的真命题，可以作为推理的依据。 4.证明：从题设出发，通过推理、论证得出结论的过程。 知识点7：平移的概念与性质 1.平移定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动叫做平移。 2.平移要素：平移方向和平移距离。 3.平移性质： 平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置； 对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等； 对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 【基础必考题型】 【题型1】相交线中的邻补角、对顶角计算 1.核心知识点: 邻补角互补；对顶角相等；平角的定义 2.解题方法技巧: 先识别邻补角和对顶角，利用“对顶角相等”转化角的大小； 结合“邻补角和为”或“平角为”列算式计算，注意角的倍数、和差关系。 【例题1】.（25-26七年级上·江西南昌·期末）王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（24-25六年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，则的度数为___________． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，，是长方形的外角，求． 【题型2】平行线的判定 1.核心知识点: 平行线的判定定理；同位角、内错角、同旁内角的数量关系 2.解题方法技巧: 先找到截线和被截线，识别相关角的类型； 验证角的数量关系（相等/互补），直接套用判定定理证明两直线平行。 【例题2】.（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·周测）如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 【题型3】平行线的性质 1.核心知识点: 平行线的性质定理；角的和差、角平分线的定义 2.解题方法技巧: 先根据平行线确定角的数量关系（相等/互补）； 结合角平分线、平角、直角等条件，逐步推导计算角度。 【例题3】.（25-26九年级上·四川广元·月考）如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图， ，，则_______． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 【题型4】平移的基本性质应用与作图 1.核心知识点: 平移的定义与性质；平移的要素 2.解题方法技巧: 利用“对应点连线平行且相等”确定平移后点的位置； 作图时先描出原图形的关键点，平移关键点后依次连接得到新图形； 根据平移性质求平移距离、对应线段长度或对应角的度数。 【例题4】.（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，． (1)若将向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，请画出并写出点，，的坐标； (2)求的面积． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段（点与点是对应点，点与点是对应点），请画出线段； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是________． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，把先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到． (1)画出，并求出，，三点的坐标； (2)求的面积． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·江西上饶·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出． (2)若点是内部的一点，则内部的对应点的坐标为______． (3)经过（1）中的平移，线段扫过的面积是______． 【培优高频题型】 【题型5】结合图形的垂线、平行线综合计算 1.核心知识点: 垂线的性质；平行线的判定与性质；角的和差倍分 2.解题方法技巧: 从图形中提取垂直、平行的条件，转化为角的数量关系； 设未知数列方程求解角度，适用于角存在比例、倍数关系的情况； 注意图形中的隐藏条件（如平角、直角）。 【例题5】.（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，直线相交于点O，过点O作两条射线，且、． (1)若平分，求的度数； (2)若，求和的度数． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）已知，如图，，垂足为，平分，反向延长至点，求的度数． 【题型6】命题的改写与真假判断 1.核心知识点: 命题的结构；真命题、假命题的定义；反例的构造 2.解题方法技巧: 改写命题为“如果……那么……”形式，“如果”后是题设，“那么”后是结论； 判断真命题需推理证明，判断假命题只需举出一个反例（满足题设，不满足结论）； 注意省略题设的命题需先补全题设再分析。 【例题6】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）命题“若，则”是个_____命题（填“真”或“假”） 【变式题6-1】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的n的值可以是___________．（只写一个） 【变式题6-2】.（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【题型7】平行线的判定与性质综合应用 1.核心知识点: 平行线的判定定理与性质定理；互逆推理思想 2.解题方法技巧: “先判定后性质”：先通过角的关系证两直线平行，再利用平行线性质求其他角的度数； 找准“中间角”，实现角的等量转化，搭建已知角和未知角的桥梁。 【例题7】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式题7-1】.（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，，． (1)探究与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【压轴素养题型】 【题型8】折叠问题中的平行线应用 1.核心知识点: 平行线的性质；折叠的性质（折叠前后对应角相等）；邻补角互补 2.解题方法技巧: 折叠问题的核心是“对应角相等”，先标出折叠前后相等的角； 结合纸条、长方形等图形的平行条件，利用平行线性质转化角的关系； 利用平角为列方程求解未知角度。 【例题8】.（23-24七年级下·辽宁大连·月考）【问题情境】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习了平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，张明是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的1—3，虚线部分表示折痕）． (1)张明同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则＝_______°； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时张明说，就是的平行线．张明的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在张明同学折纸的基础上，补充了条件：如图4，连接交于点G，连，并在上找一点H，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·广西南宁·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【变式题8-3】.（24-25九年级上·四川成都·期中）【研究背景】 小西同学用一张长方形纸片对不同折法下的折痕进行了探究，如图，已知，，点，分别在边，上，且． 【初始探究】 （1）小西将纸片沿直线翻折，点的对应点为，点的对应点恰好落在对角线上． ①求线段的长度； ②若点为线段上一动点，求的最小值． 【拓展提升】 （2）在（1）的条件下，在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合，求折痕长． 【题型9】平行线中的角平分线综合探究 1.核心知识点: 平行线的性质；角平分线的定义；角的和差倍分 2.解题方法技巧: 先利用角平分线的定义得到“角的一半”关系，再结合平行线性质实现角的等量转化； 探究角的数量关系时，先通过特殊值猜想结论，再进行一般化推理证明； 注意“角平分线+平行线”常构造等腰三角形的隐藏结论。 【例题9】.（24-25七年级下·北京·期中）直线，分别交、于点、，平分． (1)如图1，若平分，则．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵（已知） ∴（________） ∵平分，平分（已知） ∴，（________） ∴________ ∴（________） (2)如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由． (3)如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：________． 【变式题9-1】.（21-22七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【变式题9-2】.（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·福建福州·月考）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【题型10】含“拐点”的平行线问题（作辅助线） 1.核心知识点: 平行线的判定与性质；辅助线的作法；角的和差 2.解题方法技巧: 过拐点（拐角顶点）作已知直线的平行线，将一个角拆分为两个角，转化为同位角/内错角/同旁内角； 多个拐点时，依次过每个拐点作平行线，利用“平行于同一直线的直线互相平行”推导角的关系； 常见结论：“凹形”拐点，“凸形”拐点。 【例题10】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． _____ ， （理由是：____________________） （理由是：____________________） ，_____， _____ [迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【题型11】跨学科的平行线应用 1.核心知识点: 平行线的判定与性质；生活/物理中的平行模型（如光的反射、器械平行、道路平行） 2.解题方法技巧: 从跨学科情境中提取数学模型，将实际问题转化为“平行线的判定与性质”问题； 光的反射问题紧扣“反射角=入射角”，结合平行线性质推导角度； 器械、道路平行问题，利用“同位角相等/内错角相等”验证平行或计算角度。 【例题11】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）在学习完相交线和平行线这章节后，老师带领同学们到校园内上数学活动课．老师鼓励同学们去观察和发现现实生活中的问题，并尝试利用所学的数学知识来解决． 【情景一】 同学们到达一处正在改造的教学楼外，发现工人师傅正在发愁．工人师傅需要测量一间教室内墙角（O为墙角顶点，为教室的两面墙）的度数，以便精准定制墙角装饰线条，但由于教室门被锁住，无法进入室内直接测量． 小南同学作为七年级的数学爱好者，提出了一个解决方案：在教室外，反向延长射线至点C，得到． （1）①若，则内墙角______； ②请你独立思考，尝试用另外一种的方法测量内墙角的度数，简要写出测量步骤（测量的角度用或等小写希腊字母表示）； 【情景二】 活动课结束后，小安同学深受启发．放学回家她经过南安晋安大桥时，看到桥梁中间圆柱石柱两边各有两条斜拉索用来固定，她若有所思，能否测量出两条斜拉索夹角的度数？       小安同学回家后，立刻进行思考，抽象出以下问题： 在平面内画出两条不平行的直线．由于斜拉索不能延长，所以在不延长的前提下，测量出直线的夹角． （2）请帮助小安同学解决以上问题，并说明理由（必要的字母和角度请标记出来）． 【变式题11-1】.（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）图1是小明同学的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是__________． (2)如图3，根据小明的思路求和的度数． (3)小明在解题中发现，和的度数永远是相等的，与和的度数无关．请结合图3说明理由． 【变式题11-2】.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动． 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 相关信息 三位同学各测量的度数一次，求得的平均值为，然后又各测量的度数一次，求出其平均值． 将一个三角板 ，）放在互相平行的直尺和之间，并使直角顶点在直尺上，顶点在直尺上． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择三位同学各测量一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是___________；图1中___________度； (2)请你帮第一小组想一想，当摆成___________度时，才能确保； (3)在图2中，当改变直尺的位置时（始终保持直角顶点在上），点在上保持不动，同学们发现点的位置会随着直角顶点的位置的变化而变化．请你猜想：的值是否会发生改变？如果不变，它们的和是多少度？请说明理由． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）阅读下列材料，完成探究任务： 【材料一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图．（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点） 【材料二】 我们把右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图2，用线段表示右侧的后视镜，用长方形表示汽车的部分车身，司机在车内点处，，后视镜与形成的为，司机观察车右侧后视镜的视角的度数不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点． 【材料三】 当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车位的遮挡，会形成我们常说的汽车盲区．如图3，小汽车的车头、车尾盲区，以及两侧后视镜的可见区域．一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米． 【问题解决】（提示：“三角形的内角和为”可直接使用．） (1)若，则图2中入射角_____； (2)图2中，我们把称为司机观察车右侧的“给力角”，当入射点与点重合时，“给力角”最大．请求出图2中“给力角”的最大值为_____． (3)已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45米，如图4是根据题意画出的线段示意图； ①线段表示的实际意义是_____ ②如果此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车行驶的最大速度为：_____米/秒． 【题型12】平行线与分类讨论思想的综合应用 1.核心知识点: 平行线的性质；分类讨论思想；角的位置不确定性 2.解题方法技巧: 当点的位置（如截线外的点在平行线之间/外侧）、角的位置不确定时，进行分类讨论； 分类标准：根据点的位置、角的方向划分，做到不重不漏； 每种情况分别画图，结合平行线性质计算，最后总结所有情况的结论。 【例题12】.（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1) ； (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由． 【变式题12-1】.（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图，直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上． (1)如图1，当平分时，求的值； (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当边时的值． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【变式题12-3】.（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 易错点 1.混淆平行线的判定和性质，判定是“由角定线”，性质是“由线定角”，易出现推理逻辑错误。 2.识别三线八角时，未先确定截线，直接根据位置判断，导致角的类型识别错误。 3.忽略“同一平面内”的前提，错误应用平行公理、垂线的性质（如空间中过一点有无数条直线与已知直线垂直）。 4.计算点到直线的距离时，误将“斜线段的长度”当作距离，忘记距离的定义是“垂线段的长度”。 5.折叠问题中，未正确识别折叠前后的对应角，或忽略纸条、长方形的平行条件，导致角度计算错误。 6.作辅助线解决拐点问题时，未过拐点作平行线，或作辅助线后未利用平行公理推论，无法实现角的转化。 重点 1.对顶角相等、邻补角互补的应用，以及垂线的性质（垂线段最短、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）。 2.三线八角的识别，这是平行线的判定与性质的基础，能准确区分同位角、内错角、同旁内角。 3.平行线的判定定理和性质定理的灵活运用，掌握“由角定线”和“由线定角”的互逆推理方法。 4.平移的性质与应用，能利用平移解决图形的作图、面积计算和实际路径问题。 5.命题的结构分析与真假判断，会将命题改写为“如果……那么……”形式，能构造反例证明假命题。 难点 1.含“拐点”的平行线问题，掌握过拐点作辅助线的方法，实现角的拆分与转化，推导角的数量关系。 2.平行线的判定与性质的综合推理，能结合角平分线、垂线、折叠等条件，进行多步推理证明和角度计算。 3.分类讨论思想在平行线问题中的应用，能根据点、角的位置不确定性进行分类，做到不重不漏。 4.相交线与平行线的综合探究题，能从特殊到一般猜想规律，并进行严格的推理证明，实现知识的灵活迁移。 5.将实际问题（跨学科、生活情境）转化为相交线与平行线的数学问题，提取数学模型并解决问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，直线最短 D．若，则与互余 2．下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 3．在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 4．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 6．命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”） 7．我们常用的折叠式小刀抽象成如图所示几何图形，刀柄外形左侧是一个长方形的一角，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成与．若，则_______． 8．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气射入水中时，会发生折射，已知在空气中平行的光线射入水中时也是平行的，如图，，则___________． 9．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 10．年月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，．若，于点，则______度． 三、解答题 11．如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 12．如图，O为直线上一点，平分，． (1)图中共有 对互补的角； (2)若，求的度数． 13．综合实践： 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角． (1)观察图形，写出和数量关系___________； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被 反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上，利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深入思考】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角； ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成角的度数取值范围．（提示：三角形内角和是） 14．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，求的度数． 15．如图，直线与交于点，在的内部，，平分． (1)求的度数； (2)过点作，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $