8.1平方根（讲义）(知识点梳理+常考题型+巩固测试)-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

8.1平方根（讲义）人教版七年级下学期 ☘ 预习目标●重点 ◆ 预习目标 （1）理解平方根、算术平方根的定义，明确平其表示方法（±）及适用条件（a≥0）； （2）掌握平方根的性质，能区分正数、0、负数的平方根情况； （3）能求非负数的平方根，熟练进行简单的平方根计算； （4）通过练习，掌握平方根的计算方法，提升运算准确性。 ◆ 预习重点 （1）理解平方根的双重非负性（被开方数a≥0，平方根±的取值围），避免忽略取值条件； （2）区分平方根与算术平方根，避免混淆二者的表示方法与含义； （3）求带分数、小数的平方根时，容易出现化简不彻底、计算失误的题。 💦 核心知识●梳理 【知识点1】平方根和算术平方根 1． 算术平方根：：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（★0的算术平方根还是0）； 2． 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数． ★3.当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0． 2．平方根：如果，那么叫做的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算．  （≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根． 【知识点2】平方根和算术平方根的区别与联系（易错点） 1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2.联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；(3）0的平方根和算术平方根均为0． ★（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根．因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根． 【知识点3】平方根的性质（重点掌握） 【知识点4】平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．例如：=150，=15，=1.5，=0.15． 【知识点5】计算要点 （1）求整数的平方根：直接找平方等于这个数的两个数（如=5，±=±5）； （2）求小数/带分数的平方根：先化为假分数或整数，再计算（如求0.25的平方根，先化为1/4，±√(1/4)=±1/2）； （3）注意：计算时要先判断被开方数是否为非负数，再计算，避免无意义的运算。 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1平方根概念理解 例1．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 变式1.已知有两个平方根分别是与，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的性质是解题关键．根据平方根的性质：两个平方根互为相反数，建立方程求解，再计算的值即可． 【详解】解：有两个平方根分别是与， ，解得， ，， ． 故答案为：． 变式2.已知，． (1)如果x的算术平方根为3，求a的值． (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2)这个正数是25 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义得出，求解即可； （2）根据平方根的定义得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ． （2）解：x，y是同一个正数的两个不同的平方根， ， ， 这个正数是， 这个正数是25． 题型2求一个数的平方根 例2．实数16的平方根是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据若一个数的平方等于，即，则是的平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 变式1．2的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；根据平方根的定义进行求解，正数有两个互为相反数的平方根. 【详解】解：根据平方根的定义，若（），则是的平方根，记作 因为，所以2的平方根是， 故答案为：. 变式2．求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，即可得出81的平方根是； （2）根据，即可得出的平方根是； （3）根据，即可得出的平方根是； 【详解】（1）解：∵ ∴81的平方根是； （2）解：∵ ∴的平方根是； （3）解：∵ ∴的平方根是； 题型3求代数式的平方根 例3．关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． 变式1．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 变式2．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性和相反数的意义求出x，根据算术平方根的性质求出y，根据绝对值的性质求出z，根据相反数的意义求出mn，然后都代入计算出结果即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵y的算术平方根为14， ∴， ∵z的绝对值为， ∴， ∴， ∵m，n互为倒数， ∴， ∴原式， ∴． ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，相反数，绝对值，倒数的性质，算术平方根和平方根的性质．注意算术平方根和平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．掌握以上知识是解题的关键． 题型4已知一个数的平方根，求这个数 例4．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，已知一个数的平方根，通过平方运算可求出原数. 【详解】解：∵一个数的平方根是， ∴这个数为， 故选：B． 变式1．若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质及代数式的整体代入求值，关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”这一性质得到与的关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 整理得：， ∴； 故答案为：． 变式2．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 题型5利用平方根解方程 例5．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 变式1．若，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键． 本题需要根据平方根的定义求解． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ，即 ． 故答案为：． 变式2．解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 题型6求一个数的算术平方根 例6．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数. ∴ 解得 则9的算术平方根是3． 变式1．4的算术平方根等于______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，找出平方等于4的非负数即可求解． 【详解】解：4的算术平方根等于． 故答案为：． 变式2．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 即， ； （2）解：根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 题型7利用算术平方根的非负性求解 例7．若，则的值分别是（    ） A．1，2 B． C．－1，2 D．－1，－2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，牢记算术平方根的非负性是解题关键，利用算术平方根的非负性求解，即算术平方根的值恒为非负数，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0． 【详解】∵算术平方根具有非负性， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， 解得，， 故选：B． 变式1．已知，则的平方根是___． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性．算术平方根和绝对值都大于等于零，它们的和为零则每个都为零，从而求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 则， 其平方根为±． 变式2．若，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查绝对值、算术平方根、偶次方的非负性．已知，得到，，，由此求出即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 题型8估计算术平方根的取值范围 例8．数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算，通过寻找与30相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定其范围. 【详解】解：∵， ∴数据30的算术平方根在5~6之间. 变式1．若为整数，且，则整数的值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查无理数的大小估算，熟练记忆常用的完全平方数是解题关键． 通过比较完全平方数，估算的范围，从而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 题型9与算术平方根有关的规律探索题 例9．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【答案】B 【分析】算术平方根的小数点向右移动n位，被开方数的小数点向右移动位，据此即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴是将的小数点向右移动1位得到的， 根据算术平方根的移动规律，被开方数的小数点应向右移动2位， ∴将的小数点向右移动2位，可得． 变式1．已知，，那么的值约为__________ ．（结果精确到0.01） 【答案】17.32 【分析】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是做题的关键．根据被开方数的小数点每向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位，进行求解即可． 【详解】解：由算术平方根的性质可知，． 故答案为：17.32． 变式2．填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 【答案】4；40；规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位 【分析】先根据算术平方根的定义求出16和1600的算术平方根，再对比被开方数和算术平方根的小数点位置总结规律即可． 【详解】解：，， 被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位． 题型10算术平方根的实际应用 例10．要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用和长方形的面积计算，熟练掌握根据比例关系设未知数并列方程求解的方法是解题的关键．根据长与宽的比例关系设出未知数，再利用长方形的面积公式列出方程，求解后得到未知数的值，进而求出长方形的宽． 【详解】解：∵长方形长与宽之比为， ∴设长为，宽为（）． ∵长方形面积为，且长方形面积长宽， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 则宽为． 故选：B． 变式1．若一个正方形的面积是20，则它的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据边长与正方形的面积关系，求算术平方根即可． 【详解】解：∵正方形的面积是20， ∴它的边长是． 故答案为：． 变式2．学校小会议室的面积为，小亮数了一下地面铺的正方形地板砖，正好是50块．求每块地板砖的边长． 【答案】每块地板砖的边长为米 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据实际意义平方根取正是解答本题的关键． 根据18平方米正好用了50块地板砖求得每块地板砖的面积，再利用算术平方根即可解答． 【详解】解：面积为，正好用了50块正方形地板砖， 每块地板砖的面积为：， 每块地板砖的边长为米． ✍ 强化巩固●过关测试 一、单选题 1．16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数． 【详解】解：∵ ， ∴ 16的平方根是， 故选：A． 2．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 3．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：． 故选：A． 4．若二次根式，则的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用算术平方根解方程，根据的算术平方根是即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：A． 5．4的算术平方根是（    ） A．2 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，需明确算术平方根为非负数，根据定义即可求解． 【详解】解：依题意，4的算术平方根是2， 故选：A 6．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为0是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零则每个部分均为零． 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， 由得， ∴， 代入得，即， ∴， ∴． 故选：D． 7．公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在(   ) A．和之间B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，利用算术平方根的性质，通过计算选项中各小数的平方，与2比较大小，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 故的值在和之间， 故选：C． 二、填空题 8．若一个正数的两个平方根是和，则___________． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的性质列出方程是解题关键． 利用一个正数的两个平方根互为相反数这一性质列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴，即， 解得． 故答案为：． 9．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义及性质，关键是掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点．先利用两个平方根互为相反数的性质列出关于的方程，求解得到的值；再代入平方根的表达式求出正的平方根，即为该正数的算术平方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数的算术平方根是7； 故答案为：． 10．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 11．若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 12．如果，，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质．根据被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点就移动一位，即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： 三、解答题. 13．求下列各数的平方根和算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)平方根：，算术平方根：； (2)平方根：，算术平方根：； (3)平方根：，算术平方根：． 【分析】本题考查求一个数的平方根、一个数的算术平方根．注意掌握求一个数的平方根要把握正、负两种情况，求一个数的算术平方根指的是一个数的平方根中正的那个根．解答本题的关键是掌握平方根、算术平方根的定义． 根据平方根、算术平方根的定义，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为，所以16的平方根是，算术平方根是4； （2）解：因为，所以的平方根是，算术平方根是； （3）解：因为，所以的平方根是，算术平方根是． 14．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了平方根解方程． （1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可； （2）先计算算术平方根，再开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 15．已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的概念，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）正数的两个平方根互为相反数，构造方程并求解即可； （2）使用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得； （2）解：将代入方程，得， ， 两边开方，得， 解得，． 16．在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)正方形区域的边长为，铁丝的总长度为 (2)铁丝不够用 【分析】本题考查算术平方根，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）求出长方形的长、宽，周长，再比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴边长为， ∴周长为，即铁丝总长度； （2）解：设长方形长为，宽为，则面积为， 解得， ∴长为，宽为， ∴周长为，铁丝总长度为， ∵，，， ∴，故铁丝不够用 17．阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，解决本题的关键是读懂题意找到规律并建立等式求解． （1）根据运算求解即可． （2）由的值和的值为相邻的两个整数，设，两边同时平方整理化简即可． （3）根据相差3可建立等式，再两边同时平方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 可得，解得 （2）解：结论： 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴． （3）解：依题意，得， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1平方根（讲义）人教版七年级下学期 ☘ 预习目标●重点 ◆ 预习目标 （1）理解平方根、算术平方根的定义，明确平其表示方法（±）及适用条件（a≥0）； （2）掌握平方根的性质，能区分正数、0、负数的平方根情况； （3）能求非负数的平方根，熟练进行简单的平方根计算； （4）通过练习，掌握平方根的计算方法，提升运算准确性。 ◆ 预习重点 （1）理解平方根的双重非负性（被开方数a≥0，平方根±的取值围），避免忽略取值条件； （2）区分平方根与算术平方根，避免混淆二者的表示方法与含义； （3）求带分数、小数的平方根时，容易出现化简不彻底、计算失误的题。 💦 核心知识●梳理 【知识点1】平方根和算术平方根 1． 算术平方根：：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（★0的算术平方根还是0）； 2． 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数． ★3.当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0． 2．平方根：如果，那么叫做的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算．  （≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根． 【知识点2】平方根和算术平方根的区别与联系（易错点） 1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2.联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；(3）0的平方根和算术平方根均为0． ★（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根．因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根． 【知识点3】平方根的性质（重点掌握） 【知识点4】平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．例如：=150，=15，=1.5，=0.15． 【知识点5】计算要点 （1）求整数的平方根：直接找平方等于这个数的两个数（如=5，±=±5）； （2）求小数/带分数的平方根：先化为假分数或整数，再计算（如求0.25的平方根，先化为1/4，±√(1/4)=±1/2）； （3）注意：计算时要先判断被开方数是否为非负数，再计算，避免无意义的运算。 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1平方根概念理解 例1．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 变式1.已知有两个平方根分别是与，则为______． 变式2.已知，． (1)如果x的算术平方根为3，求a的值． (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 题型2求一个数的平方根 例2．实数16的平方根是（    ） A．4 B．8 C． D． 变式1．2的平方根是______． 变式2．求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 题型3求代数式的平方根 例3．关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 变式1．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 变式2．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根． 题型4已知一个数的平方根，求这个数 例4．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 变式1．若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． 变式2．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 题型5利用平方根解方程 例5．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 变式1．若，则____________． 变式2．解方程：． 题型6求一个数的算术平方根 例6．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 变式1．4的算术平方根等于______． 变式2．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 题型7利用算术平方根的非负性求解 例7．若，则的值分别是（    ） A．1，2 B． C．－1，2 D．－1，－2 变式1．已知，则的平方根是___． 变式2．若，求的值． 题型8估计算术平方根的取值范围 例8．数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 变式1．若为整数，且，则整数的值为_____． 变式2．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 题型9与算术平方根有关的规律探索题 例9．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 变式1．已知，，那么的值约为__________ ．（结果精确到0.01） 变式2．填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 题型10算术平方根的实际应用 例10．要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（） A． B． C． D． 变式1．若一个正方形的面积是20，则它的边长为______． 变式2．学校小会议室的面积为，小亮数了一下地面铺的正方形地板砖，正好是50块．求每块地板砖的边长． ✍ 强化巩固●过关测试 一、单选题 1．16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 2．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 3．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若二次根式，则的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 5．4的算术平方根是（    ） A．2 B． C．16 D． 6．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在(   ) A．和之间B．和之间 C．和之间 D．和之间 二、填空题 8．若一个正数的两个平方根是和，则___________． 9．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 10．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 11．若，求的平方根是___________． 12．如果，，那么的值是__________． 三、解答题. 13．求下列各数的平方根和算术平方根： (1)； (2)； (3)． 14．解方程: (1)； (2)． 15．已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 16．在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 17．阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $