精品解析：吉林白山市靖宇县第三中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

八年级期末质量检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可、下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式的值为零，则应满足的条件是（ ） A B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 5. 如图，在中，，，过点的直线，与的平分线分别交于点，，则的长为（ ）     A. B. C. D. 6. 如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：______． 8. 河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为，将用科学记数法表示为______． 9. 已知点和点关于轴对称，则的值是______． 10. 已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 11. 将两个全等含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 14 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，D为内部一点，E为上一点，连接、，，于点D．求证：是等腰三角形． 16. 图（1）、图（2）、图（3）均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图（1）中以线段为腰画一个等腰锐角三角形； （2）在图（2）中以线段为腰画一个等腰钝角三角形； （3）在图（3）中画一个等腰直角三角形． 17. 如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． （1）求剩余铁皮（阴影部分）的面积． （2）当时，求剩余铁皮的面积． 18. 如图，是等腰三角形，，，是的中点，，，点，点分别为垂足． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求长． 19. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于年月日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比B型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． （1）求两种型号纪念品的单价分别是多少元； （2）若计划购买两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 20. 已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接，，的两边分别交直线、于点E、F． （1）如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； （2）如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； （3）如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 21. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 22. 如图，在长方形中，，．为边上一点，连接，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度速度沿边向终点运动，连接．设点的运动时间为秒． （1）用含有的代数式表示的长； （2）连接，当时，求的值； （3）当时，求的值； （4）当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末质量检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可、下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：根据定义，只有选项C中的图形是轴对称图形． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则及同类项的合并规则，需根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，以及同类项的定义逐一判断选项． 【详解】∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A选项错误； ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，故B选项正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故C选项错误； ∵与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴，故D选项错误． 3. 要使分式的值为零，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵分式的值为零 ∴分子且分母 由解得 又∵，满足分母不为0的条件 ∴应满足． 4. 若，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴原式． 5. 如图，在中，，，过点的直线，与的平分线分别交于点，，则的长为（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴． 6. 如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到,进而求出，，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． 先提取公因式m，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 8. 河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定 的值时，看原数小数点移动的位数，原数绝对值小于1时，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：0.00002． 故答案为：． 9. 已知点和点关于轴对称，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特征求出a与b的值，再计算的值即可 【详解】根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等 ∵点和点关于y轴对称 ∴， 则． 10. 已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】 ， ∵代数式的展开式中不含的二次项， ∴， 解得． 11. 将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由全等三角形得， 根据含角的直角三角形的性质得，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程，最后注意验根，即可作答． 【详解】解： 去分母得： 解得：， 检验：当时，， 所以原方程解为 13. 如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算的化简求值，根据分式的各运算法则计算并注意运算顺序即可，最后把代入化简后的代数式中计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 15. 如图，D为内部一点，E为上一点，连接、，，于点D．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，则，整理得，运用等角对等边，即，进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 16. 图（1）、图（2）、图（3）均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图（1）中以线段为腰画一个等腰锐角三角形； （2）在图（2）中以线段为腰画一个等腰钝角三角形； （3）在图（3）中画一个等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰锐角三角形的定义作图即可． （2）根据等腰钝角三角形的定义作图即可． （3）根据等腰直角三角形的定义作图即可． 【小问1详解】 解：如下图即为所求： 【小问2详解】 解：如下图即为所求： 【小问3详解】 解：如下图即为所求： ，， 则， 则为等腰直角三角形． 17. 如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． （1）求剩余铁皮（阴影部分）的面积． （2）当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式运算的应用： （1）用长方形的面积减去正方形的面积，进行求解即可； （2）将代入（1）中的结果中，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； 【小问2详解】 当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 18. 如图，是等腰三角形，，，是的中点，，，点，点分别为垂足． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由三线合一定理可得是的角平分线，再由角平分线的性质可得，最后结合多边形内角和定理求出即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，，，再由含的直角三角形性质得，结合勾股定理可得，则，进而由勾股定理求得、，最后根据等边三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：连接， ，是的中点， 是的角平分线， ，， ，， 四边形的内角和为， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，，，是的中点，， ，，， ， 中，， 将代入可得，则， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得，即， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查的知识点是三线合一定理、角平分线的性质、多边形内角和定理、等边三角形的性质与判定、含的直角三角形性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 19. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于年月日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比B型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． （1）求两种型号纪念品的单价分别是多少元； （2）若计划购买两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 【答案】（1）购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 （2）最多能购买个型号的纪念品 【解析】 【分析】（）根据“数量总价单价”，结合“型号数量是型号数量的倍”这一关键条件，列出分式方程求解； （）根据“总费用A型号单价数量型号单价数量”，结合“总费用不超过元”列出一元一次不等式，求解不等式得到的最大值． 【小问1详解】 解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴根据题意，得， 解得， ∴最多能购买个型号纪念品． 【点睛】第（1）问解分式方程后，要检验所得解是否为原方程的解，且需符合实际意义；第（2）问设未知数时，要注意未知数的取值范围为正整数． 20. 已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接，，的两边分别交直线、于点E、F． （1）如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； （2）如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； （3）如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再证明，，即可证明，即可证明结论； （2）用类似于（1）的方法证明即可； （3）设，证明，得到，则，再根据列方程求解即可． 小问1详解】 解：是边的中点，G是边的中点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：；理由如下： 由（1）知，， ， 由（1）知，， ，， ， 又由（1）知，， ， ； 【小问3详解】 解：设，则， 由（2）知，，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 解得， ． 21. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）用2种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：． （2）∵，， ∴． （3）由题意，得： ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 22. 如图，在长方形中，，．为边上一点，连接，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动，连接．设点的运动时间为秒． （1）用含有的代数式表示的长； （2）连接，当时，求的值； （3）当时，求的值； （4）当是以为腰等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）的值为3或4 【解析】 【分析】（1）用得； （2）由全等对应边列方程求t； （3）时为矩形，列方程求t； （4）等腰三角形分、：直接列方程；作垂线用勾股定理算，再列方程，舍去构不成三角形的解． 【小问1详解】 解：已知，点P速度为2单位 / 秒，运动时间为t秒，则． ∴； 【小问2详解】 解：如图，，． 当时，． ，即，解得：； 【小问3详解】 解：时，，四边形为矩形，故． ∴，则​ 解得； 【小问4详解】 解：已知，分两种情况讨论： 情况 1：， 则， 解得； 情况 2： 过E作于F，则，． 在中，，由勾股定理： P在F左侧：，即，解得． P在F右侧：，P与C重合，三点共线无法构成三角形，故舍去． 综上，t的值为：3 或 4． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形分类、动点代数化．采用了数形结合、分类讨论、方程思想；动点用时间表示线段，等腰三角形分情况讨论腰．解题关键是用t表示线段长，依几何条件列方程；易错点：等腰三角形两点重合时无法构成三角形，需舍去． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $