第十一章 不等式与不等式组 单元综合能力提升卷-2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十一章 不等式与不等式组 单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 【详解】解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意； B、是代数表达式，无不等号，不符合题意； C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； 故选：A． 2．下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 3．根据下图，下列判断正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，数轴，关键是掌握绝对值的意义，不等式的性质，数轴上的点表示的数，从左向右越来越大．根据图形得到：，，由不等式的性质即可判断． 【详解】解：根据图形得到：，， ①因为， 所以，故①符合题意； ②因为， 所以即，故②符合题意； ③因为， 所以，故③符合题意； ④，正确，故④符合题意． 所以正确的有4个． 故选：D． 4．不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．根据去括号、移项、合并同类项即可求得不等式的解集，然后确定正整数解即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 则正整数解有3，2，1，一共3个． 故选：C． 5．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 6．下列按要求列出的不等式错误的是（   ） A．x的与3的差为负数： B．x除以2的商加上2至多为5： C．a与b两数的平方差是非负数： D．c与4的和的30%不大于： 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式，准确地理解关键词的含义是解题的关键．根据各选项中的文字描述，结合负数、至多、非负数、不大于等关键词的含义，列出对应不等式，再判断错误选项． 【详解】解：对于选项A：∵“负数”即小于0的数， ∴选项A中列出的正确，不符合题意； 对于选项B：∵“至多为5”表示小于或等于5， ∴x除以2的商加上2至多为5应表示为，而选项B中写的是，B选项错误，符合题意； 对于选项C：∵“非负数”即大于或等于0的数， ∴列出的正确，不符合题意； 对于选项D：“不大于”即小于或等于，列出的正确，不符合题意； 故选：B． 7．某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题的关键． 设张老师至少获胜x局，依据积分规则列出一元一次不等式，求解不等式并结合实际取整，得到获胜局数的最小值． 【详解】设张老师至少获胜x局，则输了局，即局， ∵ 积分不低于30分可晋级，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师平2局， ∴ 列不等式：， 展开并整理得：， ， ， 解得：， ∵ x为正整数， ∴ x的最小值为5， 即张老师至少应获胜5局． 故选：C． 8．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 9．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、不等式组整数解等知识，首先解方程得到，根据该方程的解为整数可知为奇数；再解不等式组，得到解集为且，由该不等式组有且仅有3个整数解确定，结合为奇数，得到或15，求和即可． 【详解】解：∵方程 的解为整数， 展开得，即， ∴为整数， 故为偶数， ∵5为奇数， ∴为奇数，即为奇数， 对于不等式组 ， 解不等式①，可得，即， ∴， 解不等式②，可得，两边乘5得， 即， ∴， ∴， 故该不等式组的解为且， ∵有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， ∴，即， ∴为整数，可能值为， 又∵为奇数，故或15， 当时，，为整数； 当时，，为整数． 且不等式组整数解均为，满足条件． ∴满足条件的整数和为． 故选：D． 10．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．不等式组的解集为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组．分别解两个不等式，再确定不等式组的解集． 【详解】解： 解第一个不等式：，移项得，即 解第二个不等式：，移项得，即 不等式组的解集为： 故答案为：． 12．在，，，，0，，中，能使不等式成立的个数为__________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了不等式的解集，正确解不等式是解题关键． 直接解不等式，然后判断给定数中满足条件的个数． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 两边乘以得 ． 在，，，，，， 中， 满足的有，，，共个． 故答案为：． 13．当增大时，代数式的值也跟着增大，我们把这样的代数式叫做“关于的递增代数式”，下列是“关于的递增代数式”的是__________．（填序号） ①；②；③． 【答案】② 【分析】本题考查新定义的理解、不等式性质等知识，理解新定义，熟记不等式性质是解决问题的关键． 通过取任意两个数，令，计算各代数式在处的差值，根据差值的符号判断代数式是否为“关于的递增代数式”即可得到答案． 【详解】解：取任意两个数，令，则， 对于①：，则①不是“关于的递增代数式”； 对于②：，则②是“关于的递增代数式”； 对于③：，由于符号不确定，故③不是“关于的递增代数式”； 综上所述，只有②是“关于的递增代数式”， 故答案为：②． 14．不等式的正整数解为_____． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 通过解不等式得到 x < 5, 再找出满足条件的正整数． 【详解】解：解不等式 ， 两边同时减去得 两边同时除以（负数）, 不等号方向改变, 得 , ∴正整数解为 ． 故答案为：． 15．关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数确定参数的范围． 先分别解出两个不等式的解集，再合并得到不等式组的解集，结合整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 因此，不等式组的解集为， 设，则解集为， 由于有5个整数解，且，整数解为， 为确保这些整数解都在解集中，需满足，即， 为确保不在解集中，需满足， 因此，， 代入，得， 解该不等式： 左边，乘以2得，即， 右边，乘以2得，即． 故的取值范围为． 故答案为． 16．已知关于、的方程组的解满足，则（）a的取值范围是__________；（）如果，且，那么的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、解一元一次不等式，解决本题的关键是根据的取值范围求出的取值范围，再根据的取值范围求出的最大值． 解方程组，把方程组的解用含的代数式表示出来，可得：，再根据可得：，从而可得：； 根据可得：，从而可得：，再根据的取值范围求出的取值范围，从而可得的最大值． 【详解】解：， 得：， 得：， 系数化为得：， 把代入方程得：， 解得：， ， ， ， 解得：， 故答案为：； 解：， ， ， 又， ， ， ， 的最大值是， 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1) (2) 【答案】(1) ，见解析 (2) ，见解析 【分析】（1）按照解不等式的步骤求解即可； （2）按照解不等式的步骤求解即可；系数化为时，注意不等号的方向是否变化. 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 在数轴上表示为： （2）解：， ， ， ， ， . 在数轴上表示为： 18．（1）计算：； （2）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【答案】（1）；（2）不等式组的解集为，负整数解为、 【分析】（1）先算绝对值、乘方和括号内的加法，再算乘法，最后算加减； （2）先求出两个不等式的解集，再根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解，确定不等式组的解集，最后写出负整数解． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 负整数解为、． 【点睛】注意不等式两边同除以或乘以一个负数，不等号方向要发生改变． 19．已知不等式是关于x的一元一次不等式，则m的值为多少？并解这个一元一次不等式． 【答案】， 【分析】先根据一元一次不等式的性质，求出m的值，得出这个不等式，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：， ∴原不等式为， 解得：． 综上：，． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数指数为1的不等式是一元一次不等式；以及不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 20．已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 21．已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为，求所有符合条件的整数的和． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，熟记解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的法则是解题关键． （1）先求出方程的解，根据解是非负数，列出不等式求解； （2）先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于待定字母的不等式求解，再求出所有符合条件的整数，并求出它们的和即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴，解得：； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于的不等式组的解集为， ∴，解得：， ∴所有符合条件的整数为1和0，它们的和为． 22．通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面的地方为测量部位，某树栽种时的树围为，在一定生长期内每年增加约．设经过x（x取整数）年后这棵树的树围超过． (1)至少经过 年这棵树的树围达到； (2)根据题意：请你列出x满足的关系式 ． (3)至少经过多少年，这棵树的树围超过． 【答案】(1)2 (2) (3)至少经过9年，这棵树的树围超过． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设经过m年这棵树的树围达到，根据题意可得经过m年这棵树的树围为，据此建立方程求解即可； （2）根据题意可得经过x年这棵树的树围为，再根据经过x年这棵树的树围超过列出不等式即可； （3）设经过n年，这棵树的围超过，同（2）列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设经过m年这棵树的树围达到， 由题意得，， 解得， ∴至少经过2年这棵树的树围达到； （2）解：由题意得，； （3）解：设经过n年，这棵树的树围超过， 由题意得，， 解得， 又∵n为正整数， ∴n的最小值为9， 答：至少经过9年，这棵树的树围超过． 23．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，去绝对值等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质以及一元一次不等式组解集的求法． （1）解二元一次方程组求出x和y，根据x为非正数，y为负数，得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围； （2）根据m的取值范围去绝对值即可； （3）由可得，根据解为，利用不等式的基本性质可得，结合（1）中结论可得，进而可得． 【详解】（1）解：解关于的方程组， 得， ∵为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴； （3）∵不等式即的解集为， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴当时该不等式的解集为． 24．中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个 (2)该超市有13种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个，根据两种礼盒共获利4600元，列方程，解方程即可； （2）根据超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高，且第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，列出不等组求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个 由题意可得：， 解得：， 则（个） 答：该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个． （2）解：∵、礼盒共100个，礼盒比第一次多购进个， 即礼盒购进个，礼盒购进个， ∵礼盒售价提高10元， ∴利润为（元） ∵礼盒售价提高， ∴（元） 由题意可得： ， ∵为整数 ∴可取共13个整数， 每个对应一个进货方案（即不同的和礼盒数量组合），且均满足条件． ∴该超市有13种进货方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．根据下图，下列判断正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 4．不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 6．下列按要求列出的不等式错误的是（   ） A．x的与3的差为负数： B．x除以2的商加上2至多为5： C．a与b两数的平方差是非负数： D．c与4的和的30%不大于： 7．某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 8．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 10．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．不等式组的解集为_____． 12．在，，，，0，，中，能使不等式成立的个数为__________． 13．当增大时，代数式的值也跟着增大，我们把这样的代数式叫做“关于的递增代数式”，下列是“关于的递增代数式”的是__________．（填序号） ①；②；③． 14．不等式的正整数解为_____． 15．关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是______． 16．已知关于、的方程组的解满足，则（）a的取值范围是__________；（）如果，且，那么的最大值为__________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 18．（1）计算：； （2）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 19．已知不等式是关于x的一元一次不等式，则m的值为多少？并解这个一元一次不等式． 20．已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 21．已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为，求所有符合条件的整数的和． 22．通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面的地方为测量部位，某树栽种时的树围为，在一定生长期内每年增加约．设经过x（x取整数）年后这棵树的树围超过． (1)至少经过 年这棵树的树围达到； (2)根据题意：请你列出x满足的关系式 ． (3)至少经过多少年，这棵树的树围超过． 23．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 24．中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $