1.3乘法公式（二）完全平方公式（九大题型）（小模块.微专题.大压轴）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《1.3乘法公式（二）完全平方公式 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 完全平方公式的识别 模块7完全平方公式的实际应用 模块2 直接利用完全平方公式计算 微专题1完全平方公式背景下整体思想 模块3 利用完全平方公式化简求值 微专题2完全平方公式背景下配方法 模块4 利用完全平方公式简便计算 微专题3完全平方公式几何意义 模块5 根据完全平方式求参数 压轴1 完全平方公式背景下规律探索 模块6通过完全平方公式变形求值 压轴2 完全平方公式背景下新定义问题 模块通关·举一反三 【模块一】 完全平方公式的识别 【例1】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】与相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，不能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各式能用乘法公式进行计算的是___________（填序号）． ① ② ③ ④ 【变式1-4】下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-6】填空： （1）加上 可以得到． （2）加上 可以得到． （3）加上 可以得到． （4）加上 可以得到． （5）加上 可以得到． （6）加上 可以得到． 【模块二】直接利用完全平方公式计算 【例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】计算： (1)； (2)； (3). 【变式2-4】利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-6】计算： (1)； (2)； (3)． 【模块三】利用完全平方公式化简求值 【例3】先化简，再求值： ，其中 ． 【变式3-1】先化简，再求值：，其中． 【变式3-2】先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中 【变式3-3】先化简，再求值：，其中． 【变式3-4】（1） （2）先化简，再求值：，其中，． 【变式3-5】先化简，再求值： (1)，其中； (2)已知，求代数式的值． 【变式3-6】先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 ． 【模块四】利用完全平方公式简便计算 【例4】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4-1】用简便方法进行计算 (1)； (2)； 【变式4-2】运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【变式4-3】．计算的值为_________． 【变式4-4】简便计算： ． 【变式4-5】计算（用简便方法）： (1)； (2)． 【变式4-6】计算（用简便方法） (1)499×501 (2)20202－2019×2021 (3)10012-2002+1 【模块五】根据完全平方式求参数 【例5】下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若是完全平方式，则m的值为_____________. 【变式5-2】若是一个完全平方式，则__________． 【变式5-3】将再加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式为_________．（写出所有答案） 【变式5-4】（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为_________． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为____________． 【变式5-5】已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【变式5-6】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【模块六】 通过完全平方公式变形求值 【例6】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，，下列计算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若，，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式6-2】如果，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】计算： ． 【变式6-4】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【变式6-5】有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（    ）    A．9 B．11 C．12 D．13 【变式6-6】如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【模块七】完全平方公式的实际应用 【例7】如图，将一个边长为（）的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：    (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）； (2)如果图中的a，b（）满足，，则_________． (3)已知，求的值． 【变式7-1】如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式7-2】如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中． (1)求长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多多少株？ (2)当，时，求该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【变式7-4】如图1，有三种卡片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差．图2是A种纸片与C种纸片叠放在一起，图3是C种纸片与B种纸片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，，则（    ） A．4 B．9 C．13 D．16 【变式7-5】甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为，．    (1)填空：______，______，______；（用含m的代数式表示）； (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和． ①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）； ②设该正方形的面积为，试探究：与的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由． 【变式7-6】【问题情境】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：_______； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则 _______（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求m的值． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】完全平方公式背景下整体思想 【例8】若，则的值为________． 【变式8-1】已知，则的值为___________． 【变式8-2】已知，求的值． 【变式8-3】先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 【变式8-4】若x满足，试求的值． 解：设，，则，且． 因为，所以． 即的值为． 根据材料，请你完成下面这一题的解答过程： 若x满足，试求的值． 【变式8-5】如图，两个正方形的边长分别为和，已知，，那么阴影部分的面积是 ．    【变式8-6】（1）若，，求的值； （2）若，，求的值； （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，已知，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【微专题二】完全平方公式背景下配方法 【例9】试说明：不论x、y取何值，整式的值总不小于13． 【变式9-1】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即. 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)试说明无论x取什么值一定的值一定是负数； (4)已知，求的值. 【变式9-2】上数学课时，老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是__________； (2)知识运用：若，求的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【变式9-3】王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法； 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出的最小值为 　 　． (2)求代数式的最小值． (3)你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． 【变式9-4】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．    例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【变式9-5】请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则的值是_________； (2)若代数式的最小值为2，求的值 (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，如图，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边长度为米，完成下列任务： ①列式：用含的式子表示花圃的面积：___________； ②请说明当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？    【变式9-6】【阅读理解】 （一）阅读： 求的最小值． 解：， 因为的值为非负数，所以 的最小值为2，即的最小值为2． （二）问题解决 (1)对于多项式，当，取何值时有最小值？ (2)若多项式，求的值． (3)多项式是有最大值还是最小值？若有，则求出最值；若没有，请说明理由． 【微专题三】完全平方公式几何意义 【例10】综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得___________. 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式________________． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【变式10-1】请认真观察图形，解答下列问题：    (1)根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示出来； (2)如果图中的，满足，，求的值； (3)已知，求的值． 【变式10-2】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______ ；方法：______ ； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______ ； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：， ，求的值； ②已知，求的值． 【变式10-3】“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则 ． 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求的长度． 【变式10-4】数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； (2)已知，，求下列各式的值： ①；    ②； (3)如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 【变式10-5】 【综合实践】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：________；    (2)已知，，求的值； (3)如图3，是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，，求的面积．    【变式10-6】下图中，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)观察图2，请你用一个等式表示，，之间的数量关系______； (2)运用你所得到的公式计算：若，为实数，且，，试求的值； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积 压轴突破·素养提升 【压轴一】完全平方公式背景下规律探索 【例11】如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（    ）    A． B． C． D． 【变式11-1】观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ……， 这些等式反映自然数间的某种规律． (1)可猜想第5个等式为____________． (2)探索规律，若字母n表示自然数，请写出第n个等式____________． (3)试说明你写出的等式的正确性． 【变式11-2】“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：展开式的项的系数1，3，3，1与“杨辉三角”第四排对应；依此类推…判断下列说法正确的是（    ） ①“杨辉三角”第一排是1，第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②当时，代数式的值为； ③展开式中所有系数之和为； ④当代数式的值为1时，或3．    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式11-3】第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 根据你观察到的规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式； (2)写出第个等式，并加以证明． 【变式11-4】已知下列等式：，，，…请观察规律，并用你发现的规律解答下面的问题： (1)写出第4个等式 ； (2)写出第个等式，并证明等式的正确性； (3)利用（2）中的规律计算：． 【变式11-5】【数学文化】 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．杨辉三角是1261年我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个用数字排列起来的三角形阵．由于杨辉在书中引用了贾宪作的“开方作法本源”图和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”．在欧洲，这个三角形叫“帕斯卡三角形”，是帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间． 【问题解决】 如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．    (1)根据上面的规律，写出的展开式． (2)利用上面的规律计算：． 【变式11-6】观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【压轴二】 完全平方公式背景下新定义问题 【例12】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为所以10是“完美数”． (1)已知40是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 ； (2)已知，求的值 (3)已知实数、满足，且，求的值． 【变式12-1】若规定：．计算：，其中． 【变式12-2】定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算： (1)填空：①＝__________；②＝____________ (2)若两个复数相等，则它们的实数部分和虚数部分分别相等，完成下列问题：已知，（x，y为实数），求x，y的值． (3)求的值 【变式12-3】定义：任意两个数a、b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”． (1)若，，求a，b的“加乘数”c； (2)若，，求a、b的“加乘数”c． 【变式12-4】阅读下列材料： 数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，是暴力策略的具体体现，又称为蛮力法．用枚举法解题时应该注意： 1、常常需要将对象进行恰当分类． 2、使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案． 正整数的末尾为5称为“威武数”，那么的平方数为称为“平武数”． 例：   ，    ，    ，    ，    ， …… 由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是： ①“平武数”的末两位数字是25； ②去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于“威武数”去掉个位数字5后剩部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容） （1）根据以上特点我们能够很快的推出一个四位数的“平武数”一共有___________个． （2）同学们用学过的完全平方公式求证：当“威武数”为任意二位数时“平武数”都满足以上特点． （3）已知“平武数”的首位数是2且小于六位，又满足的各位数字之和与的各位数字之和相等，求出“平武数”的值． 【变式12-5】定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【变式12-6】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“完美数” 【问题解决】 (1)下列各数中，“完美数”有___________．（填序号） ①10            ②45            ③28            ④29 (2)若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（m，为常数），则的值为_________； 【问题探究】 (3)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 【问题拓展】 (4)已知实数x，y满足，求的最小值． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《1.3乘法公式（二）完全平方公式 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 完全平方公式的识别 模块7完全平方公式的实际应用 模块2 直接利用完全平方公式计算 微专题1完全平方公式背景下整体思想 模块3 利用完全平方公式化简求值 微专题2完全平方公式背景下配方法 模块4 利用完全平方公式简便计算 微专题3完全平方公式几何意义 模块5 根据完全平方式求参数 压轴1 完全平方公式背景下规律探索 模块6通过完全平方公式变形求值 压轴2 完全平方公式背景下新定义问题 模块通关·举一反三 【模块一】 完全平方公式的识别 【例1】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式判断即可． 【详解】A：，不能用完全平方公式运算，不符合题意； B：，不能用完全平方公式运算，不符合题意； C：，能用完全平方公式运算，符合题意； D：，不能用完全平方公式运算，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【变式1-1】与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，判断作答即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于正确的运算． 【变式1-2】下列各式中，不能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式，即可求解． 【详解】解：A、能用完全平方公式计算，故本选项不符合题意； B、能用完全平方公式计算，故本选项不符合题意； C、不能用完全平方公式计算，故本选项符合题意； D、能用完全平方公式计算，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【变式1-3】下列各式能用乘法公式进行计算的是___________（填序号）． ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式的特征对各式进行判断，即可作答． 【详解】解： ① ； 故①能用平方差公式进行计算，符合题意； ② ； 故②不能用乘法公式进行计算，不符合题意； ③ ， 故③能用完全平方公式进行计算，符合题意； ④ ． 故④能用平方差公式进行计算； ∴能用乘法公式进行计算的是①③④， 故答案为：①③④， 【变式1-4】下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括平方差公式和完全平方公式，需判断各选项是否符合公式结构． 【详解】A、， 两括号中的项分别为和，既无相同项也无相反项，无法直接应用乘法公式，需逐项展开； B、， 将第二个括号提取负号，得：， 符合完全平方公式，可用乘法公式计算； C、， 第二个括号可整理为，但两括号中的项与无相同或相反项，无法直接应用乘法公式； D、 两括号中的项分别为和，无相同项或相反项，需逐项展开，无法直接应用乘法公式． 故选：B． 【变式1-5】下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【来源】上海市普陀区2025-2026学年七年级上学期数学期中考试试卷 【知识点】整式的判断、整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 【变式1-6】填空： （1）加上 可以得到． （2）加上 可以得到． （3）加上 可以得到． （4）加上 可以得到． （5）加上 可以得到． （6）加上 可以得到． 【答案】 【分析】解：（1）根据完全平方公式解答即可； （2）根据完全平方公式解答即可； （3）根据完全平方公式解答即可； （4）根据完全平方公式解答即可； （5）根据完全平方公式解答即可； （6）完全平方公式、平方差公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴加上可以得到． 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴∴加上可以得到． 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∴加上可以得到， 故答案为：； （4）∵， ∴ 加上可以得到， 故答案为：； （5）∵，， ∴， ∴加上可以得到， 故答案为：； （6）∵，， ∴， 加上可以得到, 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式，整式的加减，掌握完全平方公式、平方差公式以及整式的加减法则是解题的关键． 【模块二】直接利用完全平方公式计算 【例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据完全平方公式进行求解各个小题． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式2-1】下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方式，计算时注意不要漏项．根据逐项进行计算判断即可． 【详解】A、，故原选项计算错误，不符合题意；     B、 ，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意；   D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）运用完全平方公式的运算即可求解； （2）运用完全平方公式的运算即可求解； （3）运用完全平方公式的运算即可求解； （4）运用完全平方公式的运算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的运算方法是解的关键． 【变式2-3】计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据完全平方公式可进行求解各个小题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式2-4】利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用完全平方公式展开求解即可； （2）变形后利用完全平方公式进行计算求解即可； （3）把变为利用完全平方公式进行计算求解即可； （4）把变形为利用完全平方公式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 【点睛】此题考查了利用完全平方公式进行计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式2-5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据完全平方公式展开即可； （2）根据完全平方公式展开即可； （3）根据完全平方公式展开即可； （4）根据完全平方公式展开，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查完全平方公式，，，熟记公式是解题的关键． 【变式2-6】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案； （2）两次利用完全平方公式计算即可得答案； （3）将原式变形，利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）. ． 【点睛】本题考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：；完全平方公式：；熟练掌握两公式并灵活运用是解题关键，运用整体思想，将多项式看成一项，可创造条件套用公式． 【模块三】利用完全平方公式化简求值 【例3】先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】， 【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简后的结果，再把化为，再整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，掌握完全平方公式与平方差公式的应用是解本题的关键． 【变式3-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【难度】0.85 【来源】陕西省榆林市第六中学共同体学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题可根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【变式3-2】先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中 【答案】(1)，27 (2)， 【分析】（1）先利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项，最后代入求值； （2）先利用多项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项，最后代入求值． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 【变式3-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】先利用多项式乘以多项式和完全平方公式计算，再合并同类项，得到化简的结果，再代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： 当时，原式； 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式3-4】（1） （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）;（2）； 【难度】0.65 【来源】河北省唐山市丰南区四校2025-2026学年八年级上学期12月联考数学试题 【知识点】运用平方差公式进行运算、含乘方的有理数混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分配律运算即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行化简，再代入，运算即可． 【详解】（1） 原式 ； （2） 原式 ； 把，代入可得： ． 【变式3-5】先化简，再求值： (1)，其中； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后代入字母的值，即可求解； （2）根据完全平方公式，平方差公式进行化简，然后将整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：原式， 当时，原式． （2）原式， 由，得到， 则原式． 【点睛】本题考查了整式的乘法以及化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 【变式3-6】先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 ． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用乘法公式去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先进行多项式乘法计算，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 把代入，； （2）解： ， 把代入，． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【模块四】利用完全平方公式简便计算 【例4】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)39204 (2)185 (3)16 【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式4-1】用简便方法进行计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2)90000 【分析】（1）根据同底数幂的乘法逆用法则进行运算即可； （2）根据完全平方公式运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆用法则，完全平方公式是解题的关键． 【变式4-2】运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)9991 (2)10000 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年人教版八年级数学上册16.3周测卷 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式4-3】．计算的值为_________． 【答案】1 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行简便运算，掌握“”是解题的关键． 把原式化为：，再利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】解： = ． 故答案为： 【变式4-4】简便计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了乘法公式，熟练运用乘法公式是解题的关键． 根据乘法公式即可进行简便运算． 【详解】解： ． 故答案为： ． 【变式4-5】计算（用简便方法）： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）把变形为，然后根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方式进行解答即可得出最终答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则并能正确运用是解题的关键． 【变式4-6】计算（用简便方法） (1)499×501 (2)20202－2019×2021 (3)10012-2002+1 【答案】(1)249999 (2)1 (3)1000000 【分析】（1）499=500-1，501=500+1，原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）2019=2020-1，2021=2020+1，原式变形后，利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． （3）2002=1001×2，，原式变形后，利用完全平方公式化简即可得到结果． （1） 解：原式＝(500－1)×(500＋1)＝； （2） 解：原式＝20202－(2020－1)×(2020+1)＝20202－(20202－1)＝1； （3） 解：原式＝10012-2×1001+ = = =1000000． 【点睛】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握公式是解答本题的关键． 【模块五】根据完全平方式求参数 【例5】下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式的判断，若一个多项式可以表示为（其中、可以是单项式、多项式或常数），则这个多项式称为完全平方式．根据完全平方式的特征逐项判断即可． 【详解】解：根据完全平方式的特征，可得： A、不满足完全平方式的特征，不是完全平方式，不符合题意； B、，满足完全平方式的特征，是完全平方式，符合题意； C、不满足完全平方式的特征，不是完全平方式，不符合题意； D、不满足完全平方式的特征，不是完全平方式，不符合题意； 故选：B ． 【变式5-1】若是完全平方式，则m的值为_____________. 【答案】5或/或5 【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解得m的值即可． 【详解】解：由于，     ∴，     解得或．     故答案为：5或． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值． 【变式5-2】若是一个完全平方式，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，即完全平方公式：．此题解题的关键是利用平方项求乘积二倍项． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】将再加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式为_________．（写出所有答案） 【答案】，， 【分析】因为，由，①当，，则，即可得出的值，即可得出答案；②当，，即可得出a的值，即可得出的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式进行求解是解决本题的关键． 【变式5-4】（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为_________． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为____________． 【答案】 36 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得解． 【详解】解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴， （2）∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36，． 【变式5-5】已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 【变式5-6】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 【模块六】 通过完全平方公式变形求值 【例6】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，，下列计算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是完全平方公式及多项式乘以多项式计算，牢记法则和公式是解题关键，根据法则和公式依次计算即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项符合题意； D、， ∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】若，，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式得，，两式相减即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴①， ∵， ∴②， ①②得，解得． 故选B． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式． 【变式6-2】如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】 山东省潍坊市安丘市2024-2025学年七年级下学期第二次月考数学试卷 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 已知，通过平方等式并展开，结合代数恒等式即可求出的值． 【详解】解：将已知等式两边平方，得 ， 即， ， ∴． 故选：B． 【变式6-3】计算： ． 【答案】/ 【分析】原式变形后利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握是解题的关键． 【变式6-4】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 【详解】解：当，时 原式 ． 【变式6-5】有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（    ）    A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【难度】0.94 【来源】广西壮族自治区桂林市灌阳县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形列出a、b的关系式求解即得． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图甲得：，即， 由图乙得：，整理得， 所以 所以． 即正方形A、B的面积之和为13． 故选D． 【变式6-6】如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【答案】(1) (2)①的值为或；②的值为 (3) 【难度】0.4 【来源】安徽省阜阳市部分学校2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可；②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】（1）解：观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即． （2）解：①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或； ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即． （3）解：假设，，则，，， ∵， 得， 故，． 【模块七】完全平方公式的实际应用 【例7】如图，将一个边长为（）的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：    (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）； (2)如果图中的a，b（）满足，，则_________． (3)已知，求的值． 【答案】(1)该图形的总面积，该图形的总面积； (2) (3) 【分析】（1）根据图中条件得，该图形的总面积，该图形的总面积； （2）由（1）可知，再将已知条件代入得到，解得：； （3）设，，则，，根据，得出，求得，即可求解． 【详解】（1）解：根据图中条件得， 该图形的总面积， 该图形的总面积； （2）解：由（1）可知， ，， 解得：， 故答案为：4； （3）解：设，， 则，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 【变式7-1】如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【难度】0.65 【来源】江西师范大学附属中学、滨江分校等校联考2025-2026学年九年级上学期12月素养测试数学试题 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式7-2】如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】福建省泉州市永春县坑仔口中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．根据长方体的底为边长为的正方形，即可求解． 【详解】解：这个长方体盒子的底面积为， 故选：C． 【变式7-3】某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中． (1)求长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多多少株？ (2)当，时，求该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【答案】(1)株 (2)104株 【分析】（1）分别求出两块试验田种植株数，再相减即可； （2）把两块试验田种植株数相加化简，再代入a和b的值进行计算即可． 【详解】（1）解：长方形：株， 正方形：株， 株， 答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多株； （2）解：株， 当，时，（株）， 答：这两块实验田一共种植了104株豌豆幼苗． 【点睛】本题主要考查整式的乘法公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，能够利用整式表示实际意义并列式计算是解题关键． 【变式7-4】如图1，有三种卡片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差．图2是A种纸片与C种纸片叠放在一起，图3是C种纸片与B种纸片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，，则（    ） A．4 B．9 C．13 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【来源】山西省朔州市部分学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，列代数式，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，得整理得，即可作答． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴ 则， 即， ∴． 故选：B． 【变式7-5】甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为，．    (1)填空：______，______，______；（用含m的代数式表示）； (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和． ①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）； ②设该正方形的面积为，试探究：与的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①的值为；②是，与的差是常数19 【分析】（1）根据题意列出算式，再利用多项式乘多项式的法则，去括号法则，合并同类项法则进行计算，即可得出答案； （2）①根据题意列出关于的方程，解方程即可得出的值； ②先计算的值，再计算的值，即可得出答案． 【详解】（1） ， ， ， 故答案为：，，； （2）①根据题意得： ， 解得：， 答：的值为； ② ， ， 答：与的差是常数19． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式的计算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解决问题的关键． 【变式7-6】【问题情境】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：_______； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则 _______（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求m的值． 【答案】（1）；（2）①；② 9 或 25 ；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （2）①根据（1）的结论直接写出结果即可；②根据，求出的值，再代入计算即可； （3）将两个等式相加得到，进而得到，即进行计算即可． 【详解】解：（1）图2是边长为的正方形，因此面积为，拼成图2的九个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， 故答案为：； ②∵，即， ， ， 当时，， 当时，， 所以的值为 9 或 25 ； （3）， ， 即， ， 又， ， ， ． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】完全平方公式背景下整体思想 【例8】若，则的值为________． 【答案】2024 【分析】由得，而，代入即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，将式子进行适当的变形是解题的关键． 【变式8-1】已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】设，，则，，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式． 【变式8-2】已知，求的值． 【答案】 【分析】由可得，再由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的灵活应用，熟记完全平方公式及其变形是解本题的关键． 【变式8-3】先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）用整体代入法进行计算； （2）用逐步降次法进行计算． 【详解】（1）∵， ∴， ∴原式 ； （2）∵， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是正确应用“逐步降次法”和“整体代入法”两种方法进行解答． 阅读理解： 【变式8-4】若x满足，试求的值． 解：设，，则，且． 因为，所以． 即的值为． 根据材料，请你完成下面这一题的解答过程： 若x满足，试求的值． 【答案】 【分析】结合阅读材料中的方法将原式变形，求出值即可． 【详解】解：设，， 则，， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式8-5】如图，两个正方形的边长分别为和，已知，，那么阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】阴影部分的面积就是两个三角形的面积之和，用、的代数式表示后，整体代入，即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，灵活完全平方公式的变形是关键． 【变式8-6】（1）若，，求的值； （2）若，，求的值； （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，已知，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把，代入，再计算即可； （2）把，代入，再计算即可； （3）设，，由，可得，由，可得，再代入，可得的值，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是完全平方公式与完全平方公式的变形的灵活应用，熟练的利用完全平方公式的变形解题是关键． 【微专题二】完全平方公式背景下配方法 【例9】试说明：不论x、y取何值，整式的值总不小于13． 【答案】见解析 【分析】利用配方法，将原式化为2个完全平方式与一个常数的和的形式． 【详解】解： ， ，， ， 不论、取何值，整式的值总不小于13． 【点睛】此题考查了运用完全平方公式进行计算，解题的关键是认真审题，准确配方 【变式9-1】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即. 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)试说明无论x取什么值一定的值一定是负数； (4)已知，求的值. 【答案】(1)      (2)    (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可； （2）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可； （3）将即可判断； （4）首先分组利用完全平方公式分解因式，利用非负数的性质求得、、的数值，进一步求得的值即可． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ； ； （2）解：； ． （3）解：； （4）解：， ， ， ，，， ，，， 则． 【点睛】本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．另外，注意分组的技巧和方法． 【变式9-2】上数学课时，老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是__________； (2)知识运用：若，求的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值3； 故答案为：3，3； （2）解：， 当时，有最大值． 即有最大值，此时； （3）解：， 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键． 【变式9-3】王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法； 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出的最小值为 　 　． (2)求代数式的最小值． (3)你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． 【答案】(1)3 (2)7 (3)有最大值，最大值是8 【分析】（1）根据偶次方的非负性得出，再求出最小值即可； （2）求出，再根据偶次方的非负性得出，再求出最小值即可； （3）求出，再根据偶次方的非负性得出，再求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． 当时，的值最小，最小值是3， 故答案为：3； （2）， ∵， ∴． 当时，的值最小，最小值是7， ∴的最小值是7； （3） ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值是8． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行配方的应用和偶次方的非负性等知识点，能正确配方是解此题的关键． 【变式9-4】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．    例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当t的值为4时，的面积最大，最大值为 【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为－9 即A的最小值为－9； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为16． 即当t的值为4时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． 【变式9-5】请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则的值是_________； (2)若代数式的最小值为2，求的值 (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，如图，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边长度为米，完成下列任务： ①列式：用含的式子表示花圃的面积：___________； ②请说明当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？    【答案】(1)-10 (2) (3)①；② 【分析】（1）将按照完全平方公式展开之后一一对应即可求解； （2）将运用完全平方公式配方得，根据题意得到，即可求解； （3）①根据图像表示出长，即可求解； ②将中①面积配方即可求解； 【详解】（1） 故答案为：； （2） ； （3）①长为：， 面积为：； ② ， ； 【点睛】该题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能运用完全平方公式进行配方． 【变式9-6】【阅读理解】 （一）阅读： 求的最小值． 解：， 因为的值为非负数，所以 的最小值为2，即的最小值为2． （二）问题解决 (1)对于多项式，当，取何值时有最小值？ (2)若多项式，求的值． (3)多项式是有最大值还是最小值？若有，则求出最值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)当和时，它们有最小值3 (2) (3)多项式有最大值，是 【分析】（1）根据完全平方公式，将原式化为，再根据平方的非负性，即可解答； （2）根据完全平方公式，将原方程化为，得出，，求出m和n的值，即可求解； （3）根据完全平方公式，将原式化为，再根据平方的非负性，即可解答． 【详解】（1）解： ； 和的结果都为非负数， 当和时，它们有最小值0， ∵当和时，原式， ∴的最小值为3． （2）解：， ， ， 与的值都是非负数， ，， ∴，， ． （3）解：， 又， ， ， 多项式有最大值，是． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式． 【微专题三】完全平方公式几何意义 【例10】综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得___________. 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式________________． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【难度】0.85 【来源】湖北省襄阳市老河口市2025--2026学年八年级上学期数学期中试题 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于任务1，根据面积公式计算可得答案； 对于任务2，根据面积相等可得答案； 对于任务3，将数值代入计算即可得出答案． 【详解】解：任务1：大正方形的面积减去4个小长方形的面积；正方形的面积； 故答案为：；； 任务2：根据面积相等得； 故答案为：； 任务3：由上面的结论可知， ∵， ∴原式， ．     所以． 【变式10-1】请认真观察图形，解答下列问题：    (1)根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示出来； (2)如果图中的，满足，，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图中条件即可得到结论； （2）根据已知条件得到，于是得到结论； （3）设，，则，，于是得到结论． 【详解】（1）解：根据图中条件得，； （2），， ， ， ； （3）设，， 则，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的理解与运用，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，属于基础题． 【变式10-2】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______ ；方法：______ ； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______ ； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：， ，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①3；② 【分析】（1）根据正方形的面积和长方形的面积求解即可； （2）根据两种方法所表示的面积相等可解答； （3）①根据完全平方公式，将已知代入求解即可；②设，，则，利用完全平方公式求得即可求解． 【详解】（1）解：方法：大正方形的面积为； 方法：大正方形的面积为， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知； 故答案为：； （3）解：①∵，，， ∴， ； 设，，则， ， ， ， ， ， 即的值为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，解题的关键是：（1）利用长方形、正方形的面积公式，找出结论；（2）由图2的面积不变，找出；（3）利用（2）的公式求值． 【变式10-3】“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则 ． 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）（2）32（3）80（4）6 【难度】0.65 【来源】黑龙江省哈尔滨市剑桥三中学校2025-2026学年上学期11月月考八年级数学试卷 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 可以验证公式． 故答案为：． （2）由条件可知， 当，时，． 故答案为：32． （3）由条件可知 ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 【变式10-4】数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； (2)已知，，求下列各式的值： ①；    ②； (3)如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 【答案】(1) (2)28，20 (3)11 【难度】0.65 【来源】海南省海口市龙华区第6学区2025—2026学年上学期八年级数期中考试题 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可． 【详解】（1）阴影部分是边长为的正方形，面积为． 阴影部分的面积也可表示为大正方形面积四个小长方形面积， 即， ∴等量关系为； 故答案为：； （2）∵， ∴①， ②； （3）解：一个长方形的周长为，面积为8， ，， ， ． 故答案为：11． 【变式10-5】 【综合实践】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：________；    (2)已知，，求的值； (3)如图3，是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，，求的面积．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可； （2）将，利用完全平方公式展开，再相加即可得出答案； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图形中的关系得出，，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案； 【详解】（1）解：由图2知，阴影部分正方形的面积为， 故答案为：； （2）解：， ①， ， ②， ①②得：， ； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式10-6】下图中，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)观察图2，请你用一个等式表示，，之间的数量关系______； (2)运用你所得到的公式计算：若，为实数，且，，试求的值； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）用两种不同的方法表示出图中阴影部分的面积，即可得出结论； （2）根据（1）中的结论进行求解即可； （3）设，，根据，，得到，，然后求出的值，即可求解阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可知：图中阴影部分的面积， ； 故答案为：； （2）解：由（1），知， 已知， 所以； （3）设，， ， ， ， ， 解得． 由题意，得， ． 【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 压轴突破·素养提升 【压轴一】完全平方公式背景下规律探索 【例11】如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得： ． 故选A 【点睛】本题考查了整式的运算规律的探究，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式11-1】观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ……， 这些等式反映自然数间的某种规律． (1)可猜想第5个等式为____________． (2)探索规律，若字母n表示自然数，请写出第n个等式____________． (3)试说明你写出的等式的正确性． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式，进行总结即可； （3）把（2）中的等式的左边进行整理，即可求证． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：，即， 第2个等式：，即， 第3个等式：，即， 第4个等式：，即， …， ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解：等式左边 右边， 故猜想成立． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 【变式11-2】“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：展开式的项的系数1，3，3，1与“杨辉三角”第四排对应；依此类推…判断下列说法正确的是（    ） ①“杨辉三角”第一排是1，第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②当时，代数式的值为； ③展开式中所有系数之和为； ④当代数式的值为1时，或3．    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解． 【详解】解：如图，    依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1，故说法①正确； 当时，，故②说法错误； 令，则，故说法③正确； 当代数式的值为1时， 即， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， 解得或，故说法④正确， 综上可得，说法正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了杨辉三角的规律与展开式的系数规律，正确把握其中的关系以及合理使用赋值法是解题的关键． 【变式11-3】第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 根据你观察到的规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式； (2)写出第个等式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题中所给的等式的规律进行解答即可； （2）根据题中所给的等式的形式即可得出第个等式，从而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 第5个等式为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， ， 第个等式为：， 证明：∵等式左边右边， ∴原等式成立． 【点睛】本题考查了数字类的变化规律，完全平方公式，解题的关键是根据题中所给的式子得出第个等式为：． 【变式11-4】已知下列等式：，，，…请观察规律，并用你发现的规律解答下面的问题： (1)写出第4个等式 ； (2)写出第个等式，并证明等式的正确性； (3)利用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)24960 【分析】（1）根据题意总结出等式变化规律，即可写出第4个等式； （2）根据题意总结出等式变化规律，再根据完全平方公式计算等式的左边，即可； （3）先把原式变形为，再根据（2）中的规律，可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为； 故答案为： （2）解：根据题意得： 第个等式为，证明如下： 左边 右边 （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了等式的变化规律，完全平方公式，解题的关键是仔细观察每个等式的变化，总结出一般规律，以及熟练掌握完全平方公式． 【变式11-5】【数学文化】 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．杨辉三角是1261年我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个用数字排列起来的三角形阵．由于杨辉在书中引用了贾宪作的“开方作法本源”图和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”．在欧洲，这个三角形叫“帕斯卡三角形”，是帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间． 【问题解决】 如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．    (1)根据上面的规律，写出的展开式． (2)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据材料和b3展开式，进而得出的展开式； （2）根据材料的逆运算可得出答案． 【详解】（1）； （2） ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，整式的乘法运算，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 【变式11-6】观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）观察各个等式可知：每个等式左边幂的底数等于序号的倍加，等式右边第一个加数最左边数字都是，右边的数字等于序号，最右边数字比序号多，另一个加数都是，由此解答即可； （2）写出（1）得出结论，然后进行证明． 【详解】（1）解：第个等式：，，， 第个等式：，，， 第个等式：，，， 第个等式：，，， 第个等式为：， 第个等式为：； （2）第个等式为：， 证明：左边，右边， 左边右边， ． 【点睛】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据所给已知条件，找出规律． 【压轴二】 完全平方公式背景下新定义问题 【例12】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为所以10是“完美数”． (1)已知40是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 ； (2)已知，求的值 (3)已知实数、满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把40拆成两个两个整数的平方即可； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （3）等式表示出，代入中，配方后再利用求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2）已知等式变形得：， 即， ，， ，， 得：，， 则； （3）∵， ∴，即， ∴ ∴， ∴或． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式12-1】若规定：．计算：，其中． 【答案】，． 【分析】按照新规定列式，利用乘法公式去括号，整理，再代入数据求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式12-2】定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算： (1)填空：①＝__________；②＝____________ (2)若两个复数相等，则它们的实数部分和虚数部分分别相等，完成下列问题：已知，（x，y为实数），求x，y的值． (3)求的值 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】（1）各式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值； （2）根据实数部分与虚数部分相等列出方程求出方程的解即可得到x与y的值； （3）原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值； 【详解】（1）①原式； ②原式； 故答案为：； （2）由已知等式得：, 解得：； （3）由题意可得： ； 【点睛】本题考查了新定义-复数，整式的混合运算的应用，能读懂题意是解此题的关键，主要考查了学生的理解能力和计算能力，难度适中． 【变式12-3】定义：任意两个数a、b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”． (1)若，，求a，b的“加乘数”c； (2)若，，求a、b的“加乘数”c． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把，代入中求值即可； （2）利用完全平方公式求出（，得到，进而得到c的值； 【详解】（1）当，时， ； （2）当，时， ∵ ， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了有理数的运算，整式的运算，掌握是解题的关键． 【变式12-4】阅读下列材料： 数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，是暴力策略的具体体现，又称为蛮力法．用枚举法解题时应该注意： 1、常常需要将对象进行恰当分类． 2、使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案． 正整数的末尾为5称为“威武数”，那么的平方数为称为“平武数”． 例：   ，    ，    ，    ，    ， …… 由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是： ①“平武数”的末两位数字是25； ②去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于“威武数”去掉个位数字5后剩部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容） （1）根据以上特点我们能够很快的推出一个四位数的“平武数”一共有___________个． （2）同学们用学过的完全平方公式求证：当“威武数”为任意二位数时“平武数”都满足以上特点． （3）已知“平武数”的首位数是2且小于六位，又满足的各位数字之和与的各位数字之和相等，求出“平武数”的值． 【答案】（1）7；（2）见解析；（3）2025或21025 【分析】（1）根据“平武数”的特点得出即可 （2）根据“威武数”为任意二位数，设出两位数的十位数字为n，再利用完全平方公式即可证明； （3）分M为三位数、四位数、五位数三种情况讨论 【详解】解：（1）根据平武数”特点，且“平武数”式四位数得， M=；；；；；；；所以共7个 （2）设威武数”的十位数字为n，则N=10n+5； M= 满足①②“平武数”的特点 （3）①当M是三位数时，“平武数”的首位数是2， 只有N=15， M=225，且1+5=62+2+5=9 ②当M是四位数时，“平武数”的首位数是2， 由（1）可知，N=45，M=2025，且4+5=2+0+2+5=9 ③当M是五位数时，“平武数”的首位数是2， N=145，M=21025或N=155， M=24025或N=165， M=27225 当N=145，M=21025时，1+4+5=2+1+0+2+5=10 当N=155， M=24025时，1+5+5=11 2+4+0+2+5=13 当N=165， M=27225时，1+6+5=122+7+2+2+5=18 综上所述平武数”的值为：2025或21025 【点睛】本题考查数的规律和完全平方公式；能够读懂材料，将所求转化为材料内容是解题的关键． 【变式12-5】定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，有最小值为． 【分析】（1）把，代入c中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值； （3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴a，b的“和积数”； （2）解：∵，且，， ∴, ∴． ∴或； 即或； （3）解：由题意，， ∵， ， ∴． ①若，式子变为． ∴b为任何数，不存在最小值； ②若，又， ∴， ∴， ∴ ． ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用． 【变式12-6】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“完美数” 【问题解决】 (1)下列各数中，“完美数”有___________．（填序号） ①10            ②45            ③28            ④29 (2)若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（m，为常数），则的值为_________； 【问题探究】 (3)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 【问题拓展】 (4)已知实数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)①②④ (2)12 (3) (4)1 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论； （4）将变形为，然后再配方即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴都是“完美数”， 故答案为：①②④； （2）∵， ∴， ∴ 故答案为：； （3）∵ ； ∵S为“完美数”， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∴的最小值为。 【点睛】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握完美数的定义，是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $