1.3.1平方差公式-课件--2025--2026学年北师大版七年级数学下册

北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件 1.3.1平方差公式 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： 七年级（ ）班 . 时 间： . 2026年4月19日 北师大版数学七年级下册1.3.1平方差公式练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 一、基础计算题（每题5分，共30分） 1. 直接运用平方差公式计算（重点巩固公式：$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$，找准公式中的a和b，注意符号） （1）$$(x+3)(x-3)$$ （2）$$(a+2)(a-2)$$ （3）$$(2x+1)(2x-1)$$ （4）$$(3m-4)(3m+4)$$ （5）$$(-x+5)(-x-5)$$ （6）$$(a-b)(a+b)$$ 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. $$(x+4)(x-4) = x^2 - k$$，则k = ________； 2. $$(2a+3)(2a-3) = 4a^2 - m$$，则m = ________； 3. $$(x+y)(x-y) + y^2 =$$ ________； 4. 若$$(a+3)(a-3) = 16$$，则$$a^2 =$$ ________； 5. 填空：$$(\_\_\_ + \_\_\_)(\_\_\_ - \_\_\_) = 9x^2 - 16y^2$$（填合适的代数式）。 三、判断改错题（每题5分，共15分） 判断下列计算是否正确，错误的请改正（重点区分平方差公式与多项式乘法，避免误用公式）。 1. $$(x+2)(x+2) = x^2 - 4$$ （ ） 改正：________ 2. $$(a-3)(a+3) = a^2 - 6$$ （ ） 改正：________ 3. $$(2x-1)(-2x-1) = 4x^2 - 1$$ （ ） 改正：________ 四、提升计算题（每题7分，共21分） 1. 化简计算（平方差公式与单项式、多项式混合运算） （1）$$(x+5)(x-5) + 2x(x+3)$$ （2）$$(3a-2)(3a+2) - (a-1)^2$$ 2. 综合运用计算（重点突破公式变形、符号调整，找准a和b） （1）$$(x-2)(x+2)(x^2 + 4)$$ （2）$$(-2x+3)(-2x-3) - 3x(x-4)$$ 五、拓展应用题（14分） 1. 一个正方形的边长为$$(x+2)$$cm，另一个正方形的边长为$$(x-2)$$cm，求这两个正方形的面积差（用平方差公式计算，正方形面积公式：$$S = 边长 \times 边长$$），并求当x=5时，面积差是多少？ 2. 已知$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 = 20$$，且$$a - b = 5$$，求$$a + b$$和$$a^2$$的值（逆用平方差公式）。 六、易错点专项练习（附加10分） 计算下列各式，注意符号调整、公式适用条件，避免误用平方差公式： 1. $$(-x-2)(x-2)$$ 2. $$(2x+3y)(2x-3y) - (x+2y)(x-2y)$$ 3. $$(a-1)(a+1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)$$ 参考答案 一、基础计算题 （1）$$x^2 - 9$$ （2）$$a^2 - 4$$ （3）$$4x^2 - 1$$ （4）$$9m^2 - 16$$ （5）$$x^2 - 25$$ （6）$$a^2 - b^2$$ 二、基础填空题 1. 16 2. 9 3. $$x^2$$ 4. 25 5. $$3x$$，$$4y$$，$$3x$$，$$4y$$（顺序可调整，合理即可） 三、判断改错题 1. 错误，改正：$$(x+2)(x+2) = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$$ 2. 错误，改正：$$(a-3)(a+3) = a^2 - 9$$ 3. 错误，改正：$$(2x-1)(-2x-1) = (-1)^2 - (2x)^2 = 1 - 4x^2$$ 四、提升计算题 1. （1）$$x^2 - 25 + 2x^2 + 6x = 3x^2 + 6x - 25$$ （2）$$9a^2 - 4 - (a^2 - 2a + 1) = 8a^2 + 2a - 5$$ 2. （1）$$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = x^4 - 16$$ （2）$$4x^2 - 9 - 3x^2 + 12x = x^2 + 12x - 9$$ 五、拓展应用题 1. 面积差$$S = (x+2)^2 - (x-2)^2 = [(x+2)+(x-2)][(x+2)-(x-2)] = 2x \times 4 = 8x$$（$$cm^2$$）；当x=5时，$$S = 8 \times 5 = 40$$（$$cm^2$$），答：两个正方形的面积差是$$8x$$$$cm^2$$，x=5时面积差是40 $$cm^2$$。 2. 由平方差公式$$(a+b)(a-b) = 20$$，代入$$a - b = 5$$，得$$5(a+b) = 20$$，解得$$a + b = 4$$；联立$$\begin{cases}a + b = 4 \\ a - b = 5\end{cases}$$，解得$$a = 4.5$$，则$$a^2 = 20.25$$，答：$$a + b = 4$$，$$a^2 = 20.25$$。 六、易错点专项练习 1. $$4 - x^2$$ 2. $$4x^2 - 9y^2 - (x^2 - 4y^2) = 3x^2 - 5y^2$$ 3. $$(a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) = (a^4 - 1)(a^4 + 1) = a^8 - 1$$ 说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册1.3.1平方差公式核心知识点设计，涵盖公式直接应用、逆用、公式变形、混合运算、符号判断等重点难点，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握平方差公式的适用条件和运算规律，规避符号错误、误用公式、找错a和b等常见易错点。 2026年4月19日星期日6时24分29秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式. 2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把 这事和邻居们－讲，大家都说： “张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗? 新课探究 （1）(x+2) (x–2) （2）(1+3a)(1–3a) （3）(x+5y)(1–5y) （4）(2y+z)(2y–z) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 = 1 – 3a + 3a – 9a2 = 1 – 9a2 = x2 – 5xy + 5xy – 25y2 = x2 – 25y2 = 4y2 – 2yz + 2yz – z2 = 4y2 – z2 用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积： 两数的___ 两数的___ 中间项抵消了 两数_____的___ 和 差 差 平方 你发现了什么? 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。 4 你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗? (a + b)(a - b) = a2 - b2 （1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y). = 9m2 - 3m + 3m - 1=9m2 – 1。 = x4 - x2y + yx2 - y2= x4 - y2。 （1）(3m + 1)(3m - 1) （2）(x2 + y)(x2 - y) 你能用字母表示你发现的规律吗? 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式： 平方差公式是多项式乘方(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。 相反项 相同项 注意用谁减谁 相同项2-相反项2 例 1 利用平方差公式计算： （1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ； （3） (– m + n ) (– m – n) 。 解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2； （3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。 a b 总结:关键是先确定相同项“a”和相反项“b”。 （1）( a + 2)( a – 2) ； （2）(3a + 2b)(3a – 2b)。 解:（1） ( a + 2)( a – 2) （2） (3a + 2b)(3a – 2b) = a2 – 22 = (3a)2 – (2b)2 = a2 – 4 = 9a2 – 4b2 计算： 随堂练习 例 2 利用平方差公式计算 （1）(– x – y)(– x + y)； （2）(ab + 8)(ab – 8) 。 解：（1）(– x – y)(– x + y)= (– x)2 – y2= x2 – y2； （2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。 如何计算(a – b)(– a – b) ?你是怎样做的? (a – b)(– a – b) = – (a – b) (a + b ) = – (a2 – b2) = b2 – a2 尝试·思考 注意:对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用。 知识点 认识平方差公式 1.式子中，与平方差公式中 和 对应的项分别是( ) B A.， B.， C.， D.， 中考考法 11 2.下列式子能用平方差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 12 3.下列利用平方差公式计算正确的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 13 4.（12分）计算： （1） ; 解：原式 ； （2） ； 解：原式 ； （3） 。 解：原式 。 中考考法 14 5.计算： 等于( ) B A. B. C. D. 中考考法 15 6. 若，则 ____。 中考考法 16 平方差公式 文字描述 几何验证 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (a + b)(a－b) = a2－b2 多项式乘多项式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 符号表示 c=a，d=-b 课堂小结 $