1.2整式乘法（十大题型）（小模块.微专题.大压轴）2025-2026学年北师大版数学七年级下学期

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《1·2整式乘法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 模块1 单项式与单项式相乘 微专题1整式乘法的应用 模块2 单项式与多项式相乘 微专题2整式乘法中的不含某项问题 模块3 多项式与多项式相乘 压轴1 整式乘法与图形面积问题 模块4 整式乘法的混合运算 压轴2 整式乘法背景下的规律探索 模块5 整式乘法的化简求值 压轴3 整式乘法背景下的新定义问题 模块通关·举一反三 【模块一】单项式与单项式相乘 【方法点拨】单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【例1】计算． (1) (2) (3) (4)； (5)； （6）；（7） (8) 【变式1-1】计算： (1) (2) 【变式1-2】计算： (1)． (2)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【模块二】单项式与多项式相乘 【方法点拨】单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【例2】(1) ．(2)． (3) (4) (5)； （6） (7) (8) 【变式2-1】计算：_________． 【变式2-2】先化简，再求值：，其中． 【变式2-3】计算 (1) (2) (3) 【模块三】多项式与多项式相乘 【方法点拨】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【例3】计算：(1)．(2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8) 【变式3-1】计算： (1)已知，则____________． (2)若，则________________． 【变式3-2】设，则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-3】探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【模块四】整式乘法的混合运算 【例4】计算： (1)； (2) (3)； (4) (5)； (6) 【变式4-1】计算：． 【变式4-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式4-3】若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【模块五】整式乘法的化简求值 【例5】先化简，再求值∶，其中，． 【变式5-1】先化简，再求值：，其中． 【变式5-2】先化简，再求值：，其中，． 【变式5-3】已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 专题攻坚·多题归一 【微专题一】整式乘法的应用 【例6】如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 【变式6-1】有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为____________． 【变式6-3】如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【微专题二】整式乘法中的不含某项问题 【例7】若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为_________________． 【变式7-2】若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【变式7-3】[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    压轴突破·素养提升 【压轴一】整式乘法与图形面积问题 【例8】五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小亮从图1中选择一部分图案涂上阴影得到图2，则利用图2中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 【变式8-3】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 【压轴二】整式乘法背景下的规律探索 【例9】同学们仔细观察下列各式： ； ； ； …… 根据上面各式的规律，请计算______________________（结果保留幂的形式）． 【变式9-1】观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为_____________________(用含S的代数式表示）． 【变式9-2】你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手． ； ； ； … (1)由此我们可以得到__________； (2)请你利用上面的结论计算； (3)请你求出的值． 【变式9-3】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年11、12月和2025年1月的日历．选择其中相邻五格成一个十字星（如图），将十字星左右两数、上下两数分别相乘，再相减，简称为“十字差”，例如：，不难发现，结果都是48． (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【变式9-4】有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再用第2项乘得到，将第2项加上得到第3项，再用第3项乘得到，……，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列3个结论： ①； ②第4项是； ③若第2023项的值为0，则． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式9-5】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 1 第二行 1  1 各项系数和为 第三行 1  2  1 各项系数和为 第四行 1  3  3  1 各项系数和为 … … … … 此图揭示了（为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)多项式展开式共有 项，第二项的系数为 ，各项系数和为 ； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，…，记，，，…，请完成下列问题： ①计算； ②计算； 【变式9-6】综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“的展开式”开展主题学习． 【阅读发现】 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示 （1）观察图1中的规律可知，图中“★”表示的数是__________，的展开式为__________； 【运用规律】 （2）判断代数式的值是否会随着的变化而变化，若不变，求这个值；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图是一个棋盘，由个黑白交替的正方形方块组成，分别表示起点和终点，有一颗棋子在方块处，棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从方块出发7步走到方块，则共有__________种不同的走法．（图中★表示的是其中的一种走法） 【压轴三】整式乘法背景下的新定义问题 【例10】定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【变式10-1】定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】定义三角表示，方框表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为____________. 【变式10-4】定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【变式10-5】规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 【变式10-6】现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《1·2整式乘法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 模块1 单项式与单项式相乘 微专题1整式乘法的应用 模块2 单项式与多项式相乘 微专题2整式乘法中的不含某项问题 模块3 多项式与多项式相乘 压轴1 整式乘法与图形面积问题 模块4 整式乘法的混合运算 压轴2 整式乘法背景下的规律探索 模块5 整式乘法的化简求值 压轴3 整式乘法背景下的新定义问题 模块通关·举一反三 【模块一】单项式与单项式相乘 【方法点拨】单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【例1】计算． (1) (2) (3) (4)； (5)； （6）；（7） (8) 【答案】(1) (2) (3)(4) (5)（6） （7） (8) 【详解】（1）解：； （2）解：． (3)解： ． （4）解：； （5）解： （6） ； （7） ． （8）解：      ； 【变式1-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】湖北省十堰市名校联盟2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式运算法则和混合运算顺序是解题的关键． （1）先分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可求解； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘法，最后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式1-2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【来源】湖北省襄阳市老河口市三校协作体2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】计算单项式乘单项式、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方的运算，单项式乘以单项式法则计算，再合并同类项即可得答案； （）根据幂的乘方，积的乘方的运算，同底数幂乘法法则计算，再合并同类项即可得答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【来源】高效同步练习16.2 整式的乘法 第1课时 整式的乘法-【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（人教版2024） 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查幂的运算，单项式乘单项式，合并同类项，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式； （3）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【模块二】单项式与多项式相乘 【方法点拨】单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【例2】(1) ．(2)． (3) (4) (5)； （6） (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)（6） (7) (8) 【详解】解：（1）解：． （2）解： ． （3）解：原式． （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6） ， （7）解： ． （8）解：           【变式2-1】计算：_________． 【答案】 【难度】0.85 【来源】重庆市荣昌区宝城初级中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式2-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【难度】0.85 【来源】北京工业大学附属中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值．根据整式的运算法则，先计算单项式乘多项式，再合并同类项，然后将字母x的值代入即可求出答案． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 【变式2-3】计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）           （2）原式 ； （3）           【模块三】多项式与多项式相乘 【方法点拨】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【例3】计算：(1)．(2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】解：(1)原式 ． （2）解： ． （3）解：原式 ． （4）解： ． (5)解：原式 ， (6) ， (7)解： ， (8)               ． 【变式3-1】计算： (1)已知，则____________． (2)若，则________________． 【答案】(1)2025 (2) 【难度】0.65 【来源】广西壮族自治区崇左市 扶绥县同正学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、（x+p）（x+q）型多项式乘法、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． 【详解】（1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 【变式3-2】设，则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【难度】0.85 【来源】河南省驻马店市泌阳县部分学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式的乘法运算与代数式的大小比较，解题关键是通过展开多项式并作差来比较 P 与 Q 的大小． 通过展开 P 和 Q 的表达式，计算 P − Q 的值，根据差值判断大小关系即可． 【详解】， ， ， ． 故选B． 【变式3-3】探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【答案】（1） （2） （3） （4）① ；② ； 【难度】0.65 【来源】辽宁省营口市鲅鱼圈区实验学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、探索规律题等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． （1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （2）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （3）根据（1）（2）归纳总结得到一般性规律即可； （4）利用（3）得出的公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）由（1）（2）可归纳出：． （4）① ； ②中间应补上：， ； ． 【模块四】整式乘法的混合运算 【例4】计算： (1)； (2) (3)； (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.65 【来源】青海省西宁市海湖中学2024—2025学年八年级上学期第二次阶段测试数学试题 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，再根据单项式与单项式的乘法法则计算； （2）根据单项式与多项式的乘法法则计算； （3）根据单项式与多项式的乘法法则计算； （4）根据多项式与多项式的乘法法则计算； （5）先算积的乘方和单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项； （6）根据多项式与多项式的乘法法则和完全平方公式计算，再合并同类项． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式4-1】计算：． 【答案】 【难度】0.85 【来源】广东省东莞市可园中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】计算多项式乘多项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式4-3】若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【难度】0.65 【来源】河南省南阳市南阳高新技术产业开发区等2地2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式运算的应用，通过展开 M 和 N 的表达式，并计算 M 与 N 的差，从而比较大小关系． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即： ∴ ， 故选择： A． 【模块五】整式乘法的化简求值 【例5】先化简，再求值∶，其中，． 【答案】 【难度】0.94 【来源】黑龙江省大庆市庆新中学2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则． 先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 【变式5-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.85 【来源】山东省滨州市滨州经济开发区中海中学2025-2026学年上学期八年级第一次质量检测数学试题 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，化简求值，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得 【变式5-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【难度】0.94 【来源】沪科版2023-2024学年七年级数学下册期中测试卷（第6-8章） 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则是正确解决本题的关键． 利用多项式乘多项式法则将原式展开，再去括号合并即可化简，最后将a、b值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式5-3】已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【难度】0.65 【来源】河南省周口市2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式乘法混合运算 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】整式乘法的应用 【例6】如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的应用；根据题意有，根据可表示为或或三种形式，则可得到长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为，进而可作出判断． 【详解】解：取出1张型卡片，12张型卡片，其面积和为； 而可表示为或或三种形式， 对应地，长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为， 此时，，， 则可以取13张或8张或7张B型卡片； 当取6张B型卡片时，其面积为，所取三种卡片不能拼成一个长方形． 故选：A． 【变式6-1】有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 【变式6-2】如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为____________． 【答案】 【难度】0.65 【来源】上海市宝山国际学校2024－2025学年七年级上学期数学期中复习卷（三） 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了整式的混合运算以及列代数式，先用、的代数式表示长、宽，再根据阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图， 由图形得：，， ． 故答案为：． 【变式6-3】如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【难度】0.65 【来源】浙江省杭州市钱塘区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用； 设，，可得，，，，然后分别求出和，结合已知列式，求出，进而计算即可． 【详解】解：设，，则，， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴长方形的周长为：， 故选：C． 【微专题二】整式乘法中的不含某项问题 【例7】若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-1】已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为_________________． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 【变式7-2】若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】重庆市第七中学校　 2024-2025学年八年级数学上学期10月月考试题 【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 【变式7-3】[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【难度】0.65 【来源】四川省内江市2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】整式加减中的无关型问题、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 压轴突破·素养提升 【压轴一】整式乘法与图形面积问题 【例8】五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 用含，，的代数式表示左上角与右下角的阴影部分的面积，从而得到，因为当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，所以可推得前的系数值为0，则问题可解． 【详解】解：由题意有，，， ． 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ， ． 故选：A． 【变式8-1】通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小亮从图1中选择一部分图案涂上阴影得到图2，则利用图2中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积；一方面阴影部分是一个长为，宽为的长方形，另一方面，阴暗部分是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三三个长为a、宽为b的相同长方形组成，分别计算出面积即可求解． 【详解】解：阴影部分是一个长为，宽为的长方形，其面积为； 阴暗部分也是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三三个长为a、宽为b的相同长方形组成，其面积为：， 根据面积相等得：； 故选：D． 【变式8-2】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)69平方米 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）当时， （平方米）， 【变式8-3】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 【答案】 【难度】0.65 【来源】山西省大同市第一中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式的乘法、整式的加减，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，首先把大长方形、型卡片、型卡片的面积用代数式表示出来，大长方形的面积减去个型卡片的面积和个型卡片的面积，根据剩下的面积和型卡片的面积求出需要的型卡片的数量． 【详解】解：如下图所示，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中有个，个， 长方形中剩余部分的面积为， 型卡片的面积为， 需要个类型的卡片． 故答案为： ． 【压轴二】整式乘法背景下的规律探索 【例9】同学们仔细观察下列各式： ； ； ； …… 根据上面各式的规律，请计算______________________（结果保留幂的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，由题意可得，再将所求式子进行变形，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故答案为：． 绿化部分的面积69平方米． 【变式9-1】观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为_____________________(用含S的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.65 【来源】第7章 幂的运算 综合测试卷 【知识点】数字类规律探索、同底数幂相乘 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．通过观察，然后根据题中所给规律可进行求解． 【详解】解：由…..；可知： ； ∵， ∴； 故答案为． 【变式9-2】你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手． ； ； ； … (1)由此我们可以得到__________； (2)请你利用上面的结论计算； (3)请你求出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.65 【来源】第8章 整式乘法 综合测试卷 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】此题考查了多项式乘多项式和数字的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题干信息及规律进行计算即可； （2）把原式化为，再计算即可； （3）把原式化为，再计算即可； 【详解】（1）解：由此我们可以得到：；． （2）解： ； （3）解：    ； 【变式9-3】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年11、12月和2025年1月的日历．选择其中相邻五格成一个十字星（如图），将十字星左右两数、上下两数分别相乘，再相减，简称为“十字差”，例如：，不难发现，结果都是48． (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【来源】新疆维吾尔自治区喀什地区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】整式四则混合运算、数字类规律探索 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的混合运算是解题关键． （1）利用日历表得出符合规律的几组数据； （2）利用公式表示出以上规律，进而计算得出答案． 【详解】（1）解：例如：，， 同样符合这个规律； （2）设这四个数中最小的数为n， 以上规律可表示为：， 则． 【变式9-4】有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再用第2项乘得到，将第2项加上得到第3项，再用第3项乘得到，……，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列3个结论： ①； ②第4项是； ③若第2023项的值为0，则． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式的混合运算，先求出第1项为，，第2项为，， 第3项为，，第4项为，再根据规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：第1项为，， 第2项为，，故①正确； 第3项为，， 第4项为，故②正确； 若第2023项的值为0，则， ∴， ∴，即，故③正确； 综上所述，以上结论正确的有①②③，共个， 故选：D． 【变式9-5】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 1 第二行 1  1 各项系数和为 第三行 1  2  1 各项系数和为 第四行 1  3  3  1 各项系数和为 … … … … 此图揭示了（为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)多项式展开式共有 项，第二项的系数为 ，各项系数和为 ； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，…，记，，，…，请完成下列问题： ①计算； ②计算； 【答案】(1)6，5，32 (2)①21；② 【难度】0.65 【来源】重庆市渝北区2024-2025学年上学期期末质量检测八年级数学试题 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项，即可求解； 【详解】（1）解：根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， … 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有6项，第二项的系数为，各项系数和为32； 故答案为：6，5，32． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴； ②由题意得：、、 ∴ ∴ ． 【变式9-6】综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“的展开式”开展主题学习． 【阅读发现】 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示 （1）观察图1中的规律可知，图中“★”表示的数是__________，的展开式为__________； 【运用规律】 （2）判断代数式的值是否会随着的变化而变化，若不变，求这个值；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图是一个棋盘，由个黑白交替的正方形方块组成，分别表示起点和终点，有一颗棋子在方块处，棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从方块出发7步走到方块，则共有__________种不同的走法．（图中★表示的是其中的一种走法） 【答案】（1）4；；（2）不会随着的变化而变化，值为4048；（3）31 【难度】0.65 【来源】江苏省南通市如皋市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究； （1）根据规律即可求解； （2）设，则，根据规律即可求解； （3）根据（1）中的规律，画出图形，进而即可求解． 【详解】解：（1）观察图1中的规律可知，图中“★”表示的数是， 的展开式为 ； 故答案为：4；； （2）不会随着的变化而变化，值为4048， 设，则 代数式的值不会随着的变化而变化，值为4048； （3）如图， 若要求棋子从方块出发7步走到方块，则共有31种不同的走法． 故答案为：31． 【压轴三】整式乘法背景下的新定义问题 【例10】定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【难度】0.65 【来源】山西省临汾市侯马市第五中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷 【知识点】多项式的项、项数或次数、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 【变式10-1】定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】云南省昆明市第三中学2024-2025学年八年级数学上学期期中考试试卷 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了新定义运算，单形式乘以多项式；由新定义得，进行单形式乘以多项式运算，即可求解；理解新定义，正确进行单形式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 原式 ， 故选：D． 【变式10-2】定义三角表示，方框表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据题意结合单项式乘以多项式的运算法则计算即可得解，理解题中的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：B． 【变式10-3】若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为____________. 【答案】m 【分析】本题考查了新定义运算，单项式除以单项式及积的乘方，根据新定义得，即可求解；理解新定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，表示，， 故答案为：m． 【变式10-4】定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可； 根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可； （2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解：的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； （2）解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值． 【变式10-5】规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 【答案】(1)3，2，3； (2)0； (3)见解析． 【难度】0.65 【来源】第7章 幂的运算 综合测试卷 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． （1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果； （2）设，则，得到，同理得到，则，从而可求解； （3）设，则，从而可得，得到，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 故答案为：3，2，3； （2）设，则， ∴， 则， ∴， 设，则， ∴， 则， ∴， ∴， ∴； （3）设，则， ∴， ∴， 即． 【变式10-6】现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【难度】0.65 【来源】专题1.2 整式的乘除法【十大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024） 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $