1.2整式的乘法（第2课时 单项式乘多项式）（教学设计）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学教学设计聚焦单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则的推导与应用，通过复习单项式乘单项式法则，结合长方形操场面积问题引入新课，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此设计以转化思想为核心，将多项式乘法转化为单项式乘法，培养学生推理意识，通过操场面积、风景画装饰等情境问题，发展几何直观与抽象能力，例题融入小区绿化等实际应用，强化模型意识，助力学生理解法则本质，提升运算能力，便于教师突破符号处理与漏乘等难点，提高教学效率。

1.2整式的乘法（第2课时）（教学设计） 1.教学内容 北师大版《数学》七年级下册第一章《整式的乘除》第二节“整式的乘法”第2课时，本节课主要内容为单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则推导，以及利用该法则进行整式乘法运算，同时渗透转化的数学思想。 2.内容解析 本节课内容单项式乘以多项式、多项式乘以多项式是整式乘法的重要组成部分，是在学习了单项式乘以单项式的基础上展开的，它的本质是利用乘法分配律将单项式与多项式的乘法转化为单项式乘以单项式的运算，多项式乘以多项式的运算转化为单项式乘以多项式的运算，是体现了“化繁为简、化未知为已知”的转化思想，在整个整式运算体系中起到承上启下的关键作用。 基于以上分析，确定本节课教学重点是:单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则及其正确应用。 1.教学目标 （1）理解单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则，能准确运用法则进行整式乘法运算，解决简单的代数问题。 （2）经历法则的推导过程，通过观察、类比、归纳等活动，培养转化与归纳的数学思维能力。 （3）在探究活动中体验数学知识的内在联系，感受数学的严谨性与实用性，增强学习数学的兴趣。 2.目标分析 （1）本节课的核心目标是要求学生不仅能记忆法则，更能理解法则的由来，并且能熟练、准确地进行计算，这是后续整式运算学习的基础。 （2）通过让学生自主参与法则推导，体会“转化”这一重要数学思想，提升学生分析和解决问题的能力。 （3）通过教学活动激发学生的学习主动性，让学生在探究中获得成就感，培养对数学学科的积极态度。 本节课的授课对象是七年级下册学生，他们已经学习了有理数的乘法、单项式乘以单项式以及乘法分配律，具备了一定的代数运算基础和初步的转化意识。但七年级学生的抽象思维能力仍有待提高，在运用法则时容易出现符号错误和漏乘项的问题，尤其是当多项式中含有负号时，学生的运算准确率会明显下降。因此，教学中需要通过具体例子强化符号规则，通过纠错练习减少漏乘问题。 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：理解运算法则的推导依据（乘法分配律），以及运算过程中符号的处理和漏乘问题。 创设情景，引入新课 1. 复习提问：单项式与单项式相乘的法则是什么？ 2. 提出问题：上节课讨论的—个长方形操场被划分成四个不同的小长方形活动区城，各边的长度如下图所示。我们是分别求出四个不同部分再求出和得到整个操场的面积，我们还可以怎样求出这长方形操场的面积。引入课题。 （设计意图：通过问题情境，引发学生思考问题，感受数学与生活的联系，激发学习兴趣。同时为引入课题探究作铺垫。） 探究点1：单项式与多项式相乘乘法法则 追问1：如果分别求出A和B组成的长方形区域，C和D组成的长方形区域面积，怎样列出算式？ 学生思考：学生根据长方形面积公式，列出AB，CD区域的面积算式： AB： CD： 追问2：怎样计算AB，CD两个区域的长方形面积的？ 学生结合有理数乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，再根据单项式与单项式相乘法则，尝试计算，教师引导学生分析计算。 AB： CD： （设计意图：根据乘法分配律转化为单项式与单项式相乘.） 操作·交流： (1) 你能计算 、、吗? 计算结果：,,。 （设计意图：为归纳单项式与多项式相乘的运算法则做准备，运算的依据仍然是乘法交换律和同底数幂乘法的运算性质） （2）一般地，如何进行单式乘多项式的运算？与同伴进行交流。 师生共同总结：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （设计意图：通过实际运算归纳单项式与多项式相乘的乘法法则,体会“转化”这一重要数学思想.） 探究点2：多项式乘以多项式法则 追问1：一开始我们讨论的操场面积，如果直接求长方形面积，怎样列出算式？ 学生思考：学生根据长方形面积公式，列出操场的面积算式： 追问2：如何计算？ 引导学生把其中一个多项式看成整体，可以转化为单项式乘以多项式进行计算，学生尝试计算，教师引导学生分析计算。 尝试·交流 (1) 如何计算?你是怎么做的？ (2) 一般地，如何进行多项式乘多项式的运算？与同伴进行交流。 总结归纳多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加。 强调：①结果要合并同类项。②当多项式中的项为负数时，单项式乘该项的结果符号要与该项符号保持一致。 观察·思考 (1)如图1-5，一幅边长为的正方形风景画，左右各留有宽为的长方形空白区城作装饰，中间画面的面积是多少平方米？ （2)如图1-6，一长为、宽为的长方形风景画，画面的四周留有空白区域作装饰，其中四角均是边长为的正方形，正中同画面的面积是多少平方米？ 引导学生解决问题时，既可以直接求中间画面的面积，也可以用大面积减空白区域面积的方法。 （设计意图：本环节让学生借助图形进一步理解单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算法则。） 典型例题 例1：计算: 【分析】直接根据单项式与多项式相乘乘法法则进行计算. 【详解】解: 例2 计算: 【分析】直接根据多项式与多项式相乘乘法法则进行计算. 【详解】解: 例3.如图，某小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，物业人员计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化．    (1)求绿化部分的面积用含、的式子表示； (2)当，时，求绿化部分的面积． 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用，以及整式的混合运算-化简求值， （1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： ）平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）当，时， （平方米）． 答：绿化面积是平方米． （设计意图：巩固单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算法则。） 课堂练习：1.计算: 2.计算: 参考答案：1. 2. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．已知展开后的结果中不含和项． (1)求、的值； (2)求的值． 【详解】（1）解： ∵展开后的结果中不含和项， ∴， 解得：， （2） 将，代入得： 原式 （设计意图：强化多项式与多项式相乘的综合应用） 1.（2025•广西）化简：a（a﹣1）+a． 【详解】解：a（a﹣1）+a＝a2﹣a+a＝a2． 2．（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2． 【详解】解：x（5﹣x）+x2+3 ＝5x﹣x2+x2+3 ＝5x+3， 当x＝2时， 原式＝5×2+3＝13． 3．（2025•湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6． 【详解】解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x） ＝x2﹣4+x﹣x2 ＝x﹣4， 当x＝6时，原式＝6﹣4＝2． 4．（2025•新疆）计算：a（1﹣a）+（a+1）（a﹣1）． 【详解】解：原式＝a﹣a2+a2﹣1＝a﹣1． 5．（2025上·吉林·八年级校考）如图是某学校大门口的指示牌．已知该指示牌是长为，宽为的长方形，左下角与右下角的空白部分是边长相等的正方形，左上角与右上角的空白部分是两个相同的直角三角形．根据图中所标数据，解决下列问题．    (1)空白部分的总面积为______，箭头（阴影部分）的面积为______； (2)当，时，请计算箭头（阴影部分）的面积． 【详解】（1）空白部分的总面积为：， 箭头（阴影部分）的面积为： ． 故答案为，． （2）当，时，箭头的面积为：， 答：箭头的面积为321平方厘米． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1. 知识总结：（1）单项式乘以多项式的运算法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加；（2）多项式乘以多项式的运算法则法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（3）法则的依据是乘法分配律。 2. 方法总结：（1）解决单项式乘以多项式、多项式乘以多项式问题的核心方法是转化法，即将单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式转化为我们已经学过的单项式乘以单项式的运算；（2）化简求值题的步骤是“先展开，再合并，最后代入求值”。 3. 易错提醒：（1）运算时容易漏乘多项式中的常数项，一定要注意在单项式与多项式相乘时，单项式与多项式的每一项都要与相乘；在多项式与多项式相乘时，一个多项式的每一项与另多项式的每一项都要与相乘；（2）当多项式中含有负号时，要注意符号的确定，避免出现符号错误。（3）单项式乘以单项式时，要注意同底数幂的乘法法则的正确应用，不要混淆指数的运算。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题1.2第2、4、6题. 探究性作业：教材习题1.2第7题，Ｂ组. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 1.2整式的乘法（第2课时） 探究点1：单项式与多项式相乘乘法法则 探究点2：多项式与多项式相乘乘法法则 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $