精品解析：四川省达州市大竹县第二中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

四川省达州市大竹县第二中学2025-2026学年 九年级上学期期末数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据左边看到的图形进行判断即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： ， 故选C． 2. 把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 2，3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将变形为，再根据一次项系数及常数项的定义即可得到答案. 【详解】根据题意可将方程变形为，则一次项系数为，常数项为．故选D． 【点睛】本题考查二次方程，解题的关键是掌握一次项系数及常数项的定义. 3. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 4. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 5. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故选：B． 6. 如图，在中，D，E分别是，上的点，，若，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据列式计算即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选B． 7. 如果关于的一元二次方程有实数根，则 的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 8. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 9. 如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交与点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F为中点， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 10. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知方程，当___________时，是关于x的一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键：一般地，形如，a，b，c是常数的方程叫做一元二次方程． 12. 若反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 根据反比例函数的图象的一个分支在第二象限可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的一个分支在第二象限， ∴，解得： ． 故答案为：． 13. 如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用相似三角形测高，熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键．根据，得到，得到，代入相关数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ， ∴， ∴： ∴， ∴路灯的高度为． 故答案为：． 14. 如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，折痕为，点E、F分别在、边上．若，，则周长为_______，的值为________ 【答案】 ①. 10 ②. ##0.8 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，，再证明，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴，即周长为10， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 15. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏．在如图所示的七巧板中，若正方形的边长为4，则正方形的边长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，计算即可． 【详解】根据题意，正方形的边长为4，得，， 故， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）此方程无解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先求出，再根据求根公式求解即可； 对于（2），求出，判断即可． 【小问1详解】 解：由， 得， ∴， 即，； 【小问2详解】 原方程可化为：， 由， 得， ∴此方程无解． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 18. 太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，，，点，在上，，，已知，，，，则点到地面的距离． 【答案】点A到地面的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，根据题意构造出合适的三角形相似是解本题的关键．过点作于点，过点作于点 ，先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点 ，如图所示：    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ，， ，， ， ， ， ， 点到地面的距离：． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． （1）点的坐标为______，点的坐标为______． （2）将向右平移4个单位长度得到，画出． （3）以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质． （1）根据坐标系直接写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （3）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． 【小问1详解】 解：根据坐标系可得：； 【小问2详解】 解：如图所示，为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，为所求． 20. “春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．青羊区某食品公司为了解市民对猪肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素菜馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对宽窄巷子社区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答 （1）本次参加抽样调查的居民有______人； （2）将两幅不完整的统计图补充完整； （3）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，其中有两个饺子分别包有一枚寓意吉祥如意的硬币，煮熟后，小明吃了两个饺子．用列表或画树状图的方法，求他刚好吃到两个含有硬币饺子的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了概率，条形统计图，扇形统计图， （1）根据B类人数和所占百分比即可得； （2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，即可补全条形统计图，根据百分比的意义求出A组和C组所占百分比，即可补全扇形统计图； （3）假设C、D饺子含有硬币，画树状图得共有种等可能的结果，小明吃到C、D的结果有2个，即可得； 掌握概率，条形统计图和扇形统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：C组的人数：（人）， 补全条形统计图如下： A组人数所占百分比：， C组人数所占百分比：， 补全扇形统计图如下： 【小问3详解】 解：假设C、D饺子含有硬币，画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明吃到C、D的结果有2个， ∴他刚好吃到两个含有硬币饺子的概率为：． 21. 如图，中，点D，E，F分别在，，边上． （1）求证：； （2）设． ①若．求线段的长； ②若的面积是20，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）① ②20 【解析】 【分析】（1）根据，得即可得证； （2）① 根据，得，继而得到，结合．求线段即可； ②根据，得，结合的面积是20，得到， 根据题意，得，继而得到求得，于是四边形的面积为． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：① ∵， ∴， ∴， ∵． ∴． ②解：∵， ∴， ∵的面积是20， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形的面积为． 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点且，，过点作交于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质， （）证明，得到，即可得到四边形为平行四边形，由平行四边形性质得到，进而得到，得到，即可求证； （）证明，得到，即可求解； 掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. “乒乓球”被称作为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．在今年第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发起了人们对乒乓球运动的热爱．据统计在奥运会结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】（1）我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）购买的这种乒乓球台的台数为200台． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为x，利用在奥运会结束后的两个月参加健身运动的人数=在奥运会结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买m套这种健身器材，求出购买100套这种健身器材所需费用，由该值等于24万元，利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合每套售价不得少于1000元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为． 【小问2详解】 解：设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 整理得：，. 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 24. 如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． （1）求的值； （2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； （3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点代入函数解析式即可求得k的值， （2）利用已知点的坐标表示出围成图形的边长，运用反比例函数k的几何意义即可求解． （3）由反比例函数正比例函数图象交点关于原点对称，可分情况设出点P，Q的坐标，点P在点A的左面与右面表示出四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点A横坐标为4， 把代入 得， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴． 【小问2详解】 解：如图， 过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点C在双曲线上， 当时，， ∴点C的坐标为． ∵点C、A都在双曲线上， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴， ∴， 设点P的横坐标为（且）， 得 ， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图， ∵， ∴． ∴． ∴，（舍去）， ∴， ∴； 若，如图， ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． ∴点Q的坐标是或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题， 反比例函数与坐标轴围成面积， 反比例函数正比例函数图象结合问题，中心对称图形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 25. 如图，在矩形中，，．动点E从点B出发，沿线段（不包括端点B、C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段（不包括端点C、D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E、F同时出发，同时停止．连接并延长交的延长线于点M，再把沿翻折交延长线于点N，连接．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，； （2）在点E运动的过程中是否存在某个时刻使？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由； （3）在运动的过程中，的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值． 【答案】（1） （2） （3）的面积不变，为108 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例，列出关于的式子，求出； （2）证明，得到成比例线段，用t表示、、，代入比例式求出t的值； （3）根据的面积的面积的面积，求出的面积，可知是否是定值． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， 由题意可知，，，， 若，则，即：， ∴， 解得（舍去），， ∴当时，； 【小问2详解】 存在时，，理由如下： 在矩形中，， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，，， ∴， 由折叠知：， ∴， ∴， ∴当时，， 【小问3详解】 的面积不变，理由如下： 在矩形中，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ =108． ∴的面积不变为108． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市大竹县第二中学2025-2026学年 九年级上学期期末数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 2，3 B. C. D. 3. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，D，E分别是，上的点，，若，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知方程，当___________时，是关于x的一元二次方程． 12. 若反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则的取值范围是______． 13. 如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为______． 14. 如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，折痕为，点E、F分别在、边上．若，，则周长为_______，的值为________ 15. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏．在如图所示的七巧板中，若正方形的边长为4，则正方形的边长为 _______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 18. 太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，，，点，在上，，，已知，，，，则点到地面的距离． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． （1）点的坐标为______，点的坐标为______． （2）将向右平移4个单位长度得到，画出． （3）以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 20. “春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．青羊区某食品公司为了解市民对猪肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素菜馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对宽窄巷子社区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答 （1）本次参加抽样调查的居民有______人； （2）将两幅不完整的统计图补充完整； （3）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，其中有两个饺子分别包有一枚寓意吉祥如意的硬币，煮熟后，小明吃了两个饺子．用列表或画树状图的方法，求他刚好吃到两个含有硬币饺子的概率． 21. 如图，中，点D，E，F分别在，，边上． （1）求证：； （2）设． ①若．求线段的长； ②若的面积是20，求四边形的面积． 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点且，，过点作交于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 23. “乒乓球”被称作为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．在今年第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发起了人们对乒乓球运动的热爱．据统计在奥运会结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 24. 如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． （1）求的值； （2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； （3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 25. 如图，在矩形中，，．动点E从点B出发，沿线段（不包括端点B、C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段（不包括端点C、D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E、F同时出发，同时停止．连接并延长交的延长线于点M，再把沿翻折交延长线于点N，连接．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，； （2）在点E运动的过程中是否存在某个时刻使？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由； （3）在运动的过程中，的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $