11.2二次根式的乘除 同步复习讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

本讲义聚焦二次根式的乘除核心知识点，系统梳理最简二次根式的概念（被开方数不含分母及能开尽方的因数因式），二次根式乘除法法则（积与商的算术平方根性质及对应运算规律），以及分母有理化的方法（化去分母根号，寻找有理化因式），构建从概念辨析到法则应用再到运算技巧的学习支架。 资料通过概念辨析题（如判断最简二次根式）培养抽象能力，计算题（如正方形边长计算）提升运算能力，实例与符号表达强化模型意识。课中教师可按题型系统授课，课后学生通过练习题巩固，有效查漏补缺，助力知识内化。

第11章第2节 二次根式的乘除 题型1 最简二次根式 题型2 二次根式的乘除法 题型3 分母有理化 ▉题型1 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、2，不是最简二次根式，故本选项错误； B、，不是最简二次根式，故本选项错误； C、，不是最简二次根式，故本选项错误； D、是最简二次根式，故本选项正确； 故选：D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、2，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、2，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、|y|，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，则不是最简二次根式，不符合题意； C、，则不是最简二次根式，不符合题意； D、，则不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． ▉题型2 二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 5．如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32．计算的结果为（　　） A．1 B．﹣2 C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意，得：， ∴， 故选：B． 6．计算的结果为（　　） A．﹣6 B． C． D．6 【答案】B 【解答】解：原式． 故选：B． 7．若，，则下列表示正确的是（　　） A．5m B．5n C．5mn D． 【答案】B 【解答】解：55n， 故选：B． 8．下列等式中，能够成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、44，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、30，故此选项符合题意； D、是最简二次根式，不能化简，故此选项不符合题意； 故选：C． 9．下式中正确的是（　　） A．5 B．5 C． D．5 【答案】D 【解答】解：无意义，则A不符合题意， （）2＝5，则B不符合题意， 5，则C不符合题意， （）2＝5，则D符合题意， 故选：D． 10．计算：　　 ． 【答案】． 【解答】解： ， 故答案为：． 11．计算：　　 ． 【答案】 【解答】解：， 故答案为：． 12．计算•（a≥0）的结果是　8a ． 【答案】8a． 【解答】解：原式 ＝8a， 故答案为：8a． 13．若，且a+b＝2，整数a的值可以是　0（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一）． 【解答】解：根据题意得a≥0，b≥0且a+b＝2， ∴整数a的值可以是0（答案不唯一）， 故答案为：0（答案不唯一）． ▉题型3 分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数． 14．在下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：2，则A不符合题意， ，则B不符合题意， 是最简二次根式，则C符合题意， ，则D不符合题意， 故选：C． 15．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②•1，③b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴①，原计算错误； ②•1，正确； ③b，正确． 故选：B． 16．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A.是最简二次根式，因此选项A符合题意； B.，所以不是最简二次根式，因此选项B不符合题意； C.3，所以不是最简二次根式，因此选项C不符合题意； D.，所以不是最简二次根式，因此选项D不符合题意． 故选：A． 17．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A．+或× B．×或÷ C．+或﹣ D．﹣或÷ 【答案】A 【解答】解：，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， ，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， 故“□”中的运算符号可能是：+或×， 故选：A． 18．2的一个有理化因式是（　　） A． B．2 C．2 D．2 【答案】C 【解答】解：A．•（2）＝6﹣2，那么不是2的一个有理化因式，故A不符合题意． B．根据二次根式的乘法法则，2不是2的一个有理化因式，故B不符合题意． C．（2）（2）＝6﹣4＝2，2是2的一个有理化因式，故C符合题意． D．根据二次根式的乘法法则，2不是2的一个有理化因式，故D不符合题意． 故选：C． 19．比较大小： 　＜　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜． 【解答】解：，， ∵， ∴， 故答案为：＜． 20．对于有理数a和b，定义了一种新运算：，例如，则3※为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得：， 即3※为． 故答案为：． 21．化简： ①； ②； ③． 【答案】①； ②； ③． 【解答】解：①； ②； ③． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章第2节 二次根式的乘除 题型1 最简二次根式 题型2 二次根式的乘除法 题型3 分母有理化 ▉题型1 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． ▉题型2 二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 5．如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32．计算的结果为（　　） A．1 B．﹣2 C． D． 6．计算的结果为（　　） A．﹣6 B． C． D．6 7．若，，则下列表示正确的是（　　） A．5m B．5n C．5mn D． 8．下列等式中，能够成立的是（　　） A． B． C． D． 9．下式中正确的是（　　） A．5 B．5 C． D．5 10．计算：　　 ． 11．计算：　　 ． 12．计算•（a≥0）的结果是　 ． 13．若，且a+b＝2，整数a的值可以是　　 （写出一个即可）． ▉题型3 分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数． 14．在下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 15．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②•1，③b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 16．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 17．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A．+或× B．×或÷ C．+或﹣ D．﹣或÷ 18．2的一个有理化因式是（　　） A． B．2 C．2 D．2 19．比较大小： 　　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 20．对于有理数a和b，定义了一种新运算：，例如，则3※为 　　 ． 21．化简： ①； ②； ③． 学科网（北京）股份有限公司 $