精品解析：湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一实验班下学期2月月考数学试卷

湖北随州曾都一中2026年春高一实验班2月月考 数学试卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.） 1. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式以及三角函数的定义可得出所求代数式的值. 【详解】由诱导公式和三角函数的定义可知， 故选：A. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 3. 记内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 4. 在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及，对题干式子进行化简得到，即，再利用余弦定理即可求出. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为为钝角三角形，则， 所以， 由正弦定理得，又，则， 又因，由余弦定理得. 故选：A. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D；根据时，由的取值情况排除A，B. 【详解】，其定义域为. 对于任意. 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除D选项； 当时，，所以，则； 当时，，所以，则，故排除B选项； 当时，，所以排除选项A. 故选：C. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有5个不等实根 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的部分图象，求出函数的解析式，再对每一选项逐一判断求解. 【详解】由题意图象相邻对称轴间的距离为，可得，因此，所以， 当时，，故. 由，得，因为函数的最大值为2，所以， 因此. A选项，，非最值，故不是图象的对称轴，A错误； B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，图象不关于原点对称，B错误； C选项，的单调区间长度为，不可能在长度为的区间上单调递增，C错误； D选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，D正确. 故选：D 7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为是正实数，且满足， 所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故选：C 8. 若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用函数的对称性得出对称轴判断A，应用奇函数及函数的对称性得出对称中心判断B，应用单调性的定义结合对称性判断C，应用函数的周期性和单调性判断D. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称，故B正确； 因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；结合函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于点中心对称，故A正确； 因为在区间上，有，所以在上单调递增， 因为关于轴对称，关于点中心对称，且在上单调递增， 所以在上单调递减，故C正确； 因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 又在上单调递增， 所以，故D错误 故选：D. 二､多选题（本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，把函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 当时，函数的值域是 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据图像的变化得到的表达式，再根据三角函数的图像性质逐一判断即可． 【详解】函数的图象沿x轴向左平移个单位长度， 得到， 对于A，可以判断是偶函数，故A中说法错误； 对于B，当时，，故， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，函数的对称轴满足，也即，故C中说法错误； 对于D，当时，，可知函数在区间上单调递减， 故D中说法错误． 故选：ACD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 若是的重心，则 D. 若与的夹角为，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项根据数量积的定义计算，B选项，由数量积判断出的外角为钝角，进一步判断三角形形状，C选项根据重心的向量表达式求解，D选项，根据投影向量公式求解. 【详解】对A，因为， 当反向共线时等号成立，故A正确； 对B，由可知的外角为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对C，由是的重心，可知， 所以，故C正确； 对D，因为与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4个不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用是偶函数，可得，关于对称，又因为是奇函数，即是双对称函数，从而可证明是周期函数，这样可以由的图象，根据关于对称，作出，再根据关于点对称, 作出,这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用周期为4进行不断的延伸，这样后面的选项就可以利用数形结合来分析解决. 【详解】对于A：令是偶函数，则，即， 所以关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 即，即周期，故B正确； 对于C：，， 所以，故C错误； 对于D：因为，，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出的图象与的图象， 如图所示：所以与有4个交点，故D正确， 故选：ABD． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，且，则实数的值为__________. 【答案】或1 【解析】 【分析】利用分段函数的性质建立方程，求解出参数即可. 【详解】由题意得当时，，解得； 当时，，解得， 则实数的值为或1. 故答案为：或1 13. 已知函数，其中且的图象过定点，则函数的最大值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用指数函数定点结合特殊值的三角函数值求出点，再应用正弦性质计算求解. 【详解】因为函数，所以当时，又，所以， 所以点坐标为， 所以在时取最大值1. 故答案为：1. 14. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段，则矩形的面积S最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，再用三角函数值表示面积，最后应用辅助角公式结合三角函数值域求解. 【详解】作，垂足为H，交CD于E，连接OA，OB， 设，则，， ， 故， 则， 因为，所以， 故时，取最大值， 即当时，， 即A在弧MN的四等分点处时，矩形ABCD的面积S最大，． 故答案为：． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合，解对数不等式化简集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）解一元二次不等式化简集合，依题意是的真子集，显然，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，即，解得，即， 由，即，所以，解得，即， 所以，则. 【小问2详解】 由，即， 因为恒成立，解得， 所以， 由是的充分不必要条件，所以是的真子集，显然， 所以（等号不同时取到），解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及图象的对称中心； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，并求出对称中心. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出目标值. 【小问1详解】 由，， 得 ， 令，，则，， 所以函数图象的对称中心为，. 【小问2详解】 由得，化简得， 由，得，则， 所以. 17. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，室温是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中a是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为，上午9点小泽使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，9点分时，壶中热水自然冷却到． （1）求9点起壶中水温（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数； （2）若当日小泽在1升水沸腾（）时，恰好有事出门，于将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数） （参考数据：，） 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出加热阶段和冷却阶段的解析式，进而得出； （2）把事件分成冷却、加热、冷却三个阶段，分别求出对应的时间，进而求出第二次开始加热所需时间． 【小问1详解】 当时，，代入，，解得，则， 当时，冷却公式为 ，代入，，，， 即，解得，故， ． 【小问2详解】 若从降温至，根据冷却公式有，解得分钟， 经过20分钟养生壶（在保温状态下）开始第一次加热； 由（1）知，加热阶段，从加热至，代入计算得分钟； 从降温至，代入， 计算得分钟， 分钟． 43分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热． 18. 已知函数. （1）当时，判断并证明函数的单调性. （2）当时，是否存在实数使得对任意恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递增，证明见解析； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）根据复合函数单调性进行判断，再利用函数单调性的定义证明即可. （2）将问题转化为小于，的最小值.先求的最小值，再解对数不等式即可得答案. 【小问1详解】 当时，为上的增函数，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以，所以，所以， 所以，又，所以， 所以， 所以，即， 所以，当时，为上的单调递增. 【小问2详解】 当时，，则， 原不等式可化为，即对任意恒成立， 记，只需， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，化简得，解集为，所以，不存在实数满足条件. 19. 已知函数. （1）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用换元法求出取得最大值、最小值的条件，结合恒成立求出最小值. （2）求出并利用三角恒等变换化简给定等式，借助非负数的和为0列出方程求解. 【小问1详解】 依题意，， 则， 令， 则， 因此， 则当，即时，；当，即时，， 由存在，对任意，有恒成立， 得为的最小值，为的最大值，即， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则 ， 整理得， 即， 于是， 则， 因此，由，得，， 则，，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北随州曾都一中2026年春高一实验班2月月考 数学试卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.） 1. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 3. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在钝角中，内角对边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有5个不等实根 7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 8. 若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 二､多选题（本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，把函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 当时，函数的值域是 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 10. 下列说法正确是（ ） A. 已知，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 若是的重心，则 D. 若与夹角为，则在方向上的投影向量为 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4个不同根 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，且，则实数的值为__________. 13. 已知函数，其中且的图象过定点，则函数的最大值为__________. 14. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段，则矩形的面积S最大值为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16 已知，，函数. （1）求函数的解析式及图象的对称中心； （2）若，且，求的值. 17. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，室温是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中a是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为，上午9点小泽使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，9点分时，壶中热水自然冷却到． （1）求9点起壶中水温（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数； （2）若当日小泽在1升水沸腾（）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数） （参考数据：，） 18. 已知函数. （1）当时，判断并证明函数的单调性. （2）当时，是否存在实数使得对任意恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （2）若，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $