四川绵阳南山中学实验学校高2026届高三下学期数学周练测试（二）

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（二） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为 A．4 B． C．1 D．2 3．在中，，则 A． B． C． D． 4．已知抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，为上一点，，若，则点的横坐标为 A． B． C． D．1 5．已知函数的部分图象如图所示，是函数的两个零点，若，则等于 A． B． C． D． 6．在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为 A． B． C． D． 7．过点作圆的两条切线，切点为（点在轴上方），为坐标原点，当时，直线的斜率为 A． B． C． D． 8．已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足 A． B．平面 C． D．平面 10．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是 A．当时， B．的极大值点是3 C．的值域为 D．当时，函数有1个零点 11．双曲线的左右焦点分别是，以的实轴为直径的圆记为，圆与直线交于两点（在轴上方），，射线与双曲线右支交于，则 A．直线与圆相切 B．双曲线的离心率为 C．当时，四边形的面积为8 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数满足，则的虚部为 . 13．在数列中，，则的最小值为 . 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． （1）为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求C的方程； （2）过点的直线m与C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率. 17．（15分） 在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 18．（17分） 已知函数． （1）若在区间上单调递增，试求k的取值范围； （2）若，求证：当时，； （3），求m的最小值． 19．（17分） 中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． （1）证明：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（二） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C A A B B C BC ABD ABD 1．C【详解】由题可得.故选：C 2．D【详解】设公比为， 若，则由，可得，解得，不符合题意，所以； 由，则，显然， 所以，即，即，解得（负值已舍去）.故选：D 3．C【详解】因为，所以， 所以，故选：C. 4．A【详解】不妨设在轴上方，由抛物线定义得，所以， 所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又，所以直线的方程为， 令，得，则， 令，则变为，得，即点的横坐标为.故选：A. 5．A【详解】因为是函数的两个相邻的零点，且，所以. 若，则，所以，.所以. 因为，所以.所以.故选：A. 6．B【详解】如图，设AC的中点为O，由矩形ABCD可知点O到四面体的每个顶点的距离都相等，则点O即为四面体外接球的球心，所以四面体ABCD的外接球的半径为，则四面体ABCD的外接球的表面积为．故选：B. 7．B【详解】由切圆于点，得， 由，得，即， 又，解得，直线斜率为3，而， 所以直线的斜率为.故选：B 8．C【详解】由题意得，，即， ，即，令，， 故都为方程的解， 令，单调递增，也单调递增，故在单调递增， 又，，，即，故B错误， 对于A，，对勾函数在上单调递减，， ，故A错误， 对于C，，两边同时取以2为底的对数得， ，故C正确， 对于D，，故D错误.故选：C. 9．BC【详解】对于A，若存在点使得，则四点共面， 因为，所以平面，易得为平面与平面的公共点，所以三点共线，与题设矛盾，故A错误； 对于B，如图所示，过点作，交劣弧于点，连接. 由于分别为的中点，所以， 由于平面平面，所以平面，平面， 又，所以平面平面，由于平面，所以平面，故B正确； 对于C，由为底面圆的直径，可知， 又，所以， 又易知，，平面， 因此平面，平面，可得，故C正确； 对于D，假设存在点使平面，则， 又因为平面，所以平面， 故平面与平面平行，与题意不符，故D错误，故选：BC. 10．ABD【详解】对于A，当时，则，， 又，则，故A正确； 对于B，当时，，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以在处取得极大值， 由奇函数图象的对称性可知在上递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故B正确； 对于C，由B，画出函数的图象：所以的值域为，故C错误； 对于D，函数的零点即方程的根的个数， 当时，由上面图象可得函数有1个零点，故D正确.故选：ABD. 11．ABD【详解】由题意圆的圆心为原点，且半径为，则圆， 联立，则，可得， 不妨令，则，故，所以， 即直线与圆相切，A对， 由上分析易知，则， ，且， 所以， 所以，则， 所以，B对， 由上分析及图知，而， 所以四边形的面积为，C错， 由，令，则， 所以， 所以，整理得， 由B知，则，可得， 所以，，故，D对.故选：ABD 12．【详解】由，得， 所以的虚部为.故答案为： 13．【详解】， ， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，， 因此当，或，有最小值，即的最小值为.故答案为： 14．【详解】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以， 根据题意第一次由甲传出，所以第一次传球后球肯定不在甲手中，所以， 又共传5次结束，所以. 记为示性变量，当第次传球后球在甲手中时，否则，即每次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，所以， 所以. 故答案为：. 15．【详解】（1）补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 24 80 40岁及以上 44 36 80 总计 100 60 160 提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关． 则，故认为选择新能源汽车与年龄无关； （2）因为， 所以，又， 所以，故与线性相关性较强． 16．【详解】（1）因为长轴长为4，所以， 又因为离心率为，所以半焦距，则，故的方程为. （2）设，由是的中点，得. 由（1）可知的上、下顶点分别是， 不满足，即直线的斜率存在. 设直线的方程为，如图所示. 将代入，得， 其中， 且①，②. 因为是的中点，所以③. 将③代入①②，得，所以，且， 解得或，所以直线的斜率为或. 17．【详解】（1）由正弦定理可知，而， 所以，又因为，于是或； （2）当时，因为的面积为， 所以，又因为， 所以 ， 所以的周长为， 当时，因为的面积为，所以， 又因为， 所以 ， 又因为，所以此时不构成三角形， 综上所述：的周长为. 18．【详解】（1）因为，所以， 依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 设，则， 故当时，即在上单调递减； 当时，即在单调递增； 所以，故，解得，即的取值范围为． （2）当时，则． 令，，则， 所以（即）在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，故． （3）由（2）知对于，有， 取为有，则，， 取，从而有， 于是 ， ．所以m的最小值为4. 19．【详解】（1）D是的中点，翻折前，翻折后. 是的中点，翻折前，翻折后 翻折后，又， 且方向相同，. 又E是的中点，F是的中点， 翻折前、后，，且方向相同，， 翻折后，在中， ； （2）过点在平面内作，垂足为，取的中点，连接， 在中，，，D是的中点， 可知翻折前，；翻折后，， 又，平面， 又平面，， 又，平面， 就是三棱锥的高. 在中，，，， 由余弦定理可知. ， . 在中，，， ，，D是的中点，E是的中点， ， ， . （3）在平面中，过点作，交于点， 平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设，则， ，，， 设平面的一个法向量， 则， 令，则，，， 设平面的一个法问量， 则， 令，则，，， 设平面与平面的夹角为，则 ， ，，则， 当且仅当，即时，即时，等号成立. 平面与平面的夹角的余弦值的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $