精品解析：广东省珠海市金湾区平沙新城学校2025-2026学年第二学期九年级阶段收心试卷

金湾区 2025-2026学年第二学期开学收心考试 九年级 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图,数轴上的两个点A. B所表示的数分别为a、b,那么a,b,−a,−b的大小关系是( ) A. b<−a<−b<a B. a<−b<b<−a C. b<−a<a<−b D. b<−b<−a<a 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的意义，把-a、-b先表示在数轴上，然后再比较它们的大小关系 【详解】根据相反数的意义，把−a、−b表示在数轴上， 所以a<−b<b<−a. 故选B. 【点睛】本题考查数轴和有理数大小比较，解题的关键是掌握数轴和有理数大小比较. 2. 如果|x－1|＋(y＋2)2＝0，那么yx的值是( ) A. －2 B. 2 C. 1 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方和绝对值的非负性可得到，，再计算即可. 【详解】解： ∵任何数的绝对值一定大于等于0，也就是非负数；同理任何数的平方一定大于等于0，为非负数， ∴两个非负数相加的和为0，只有绝对值等于0，平方等于0 即：，， 解得： ，， 故选：A 【点睛】本题主要考查非负数的性质，理解非负数的性质是解题的关键，具有非负性的有：绝对值，平方，二次根式. 3. 某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少8%，4月份比3月份增加了10%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（　　） A. （x﹣8%）（x+10%） B. （x﹣8%+10%） C. （1﹣8%+10%）x D. （1﹣8%）（1+10%）x 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用减小率的意义表示出3月份的利润，然后利用增长率的意义表示出4月份的利润． 【详解】解：由题意得3月份的产值为（1﹣8%）x，4月份的产值为（1﹣8%）（1+10%）x． 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式，正确理解增长率以及下降率的定义是关键． 4. 对于任意两个有理数、，规定，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 5. 某次足球积分赛，每队均比赛14场，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某中学足球队的胜场数是负场数的3倍，这个足球队在这次积分赛中积分可能为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列方程，设负场数为场，则胜场，平场，最后利用比赛积分负场的积分平场的积分胜场的积分逐个选项去排除即可得出正确答案． 【详解】解：设所负场数为场，则胜场，平场， 依题意得，比赛积分 又∵ 平场数， ∴，且为整数， ∴ 当时，（不在选项）； 当时，（不在选项）； 当时，（选项C）； 当时，（不在选项）. ∴ 积分可能为24. 故选：C． 6. 下列说法中不正确的是（　　） ①过两点有且只有一条直线 ②连接两点的线段叫两点的距离 ③两点之间线段最短 ④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】依据直线的性质、两点间的距离、线段的性质以及中点的定义进行判断即可． 【详解】①过两点有且只有一条直线，正确； ②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误 ③两点之间线段最短，正确； ④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点，正确； 故选B． 7. 如图，四边形是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列代数式表达式以及整式的加减运算，根据面积等于底乘高进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，上的高，即 ，即 图中阴影部分的面积为 故选：A 8. 已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 9. 如果记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，那么（其中“”“”依次相间）的值为（ ） A. B. C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律． 按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【详解】解：∵即时，，此时，2，3， ∴； ∵即时，，此时，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时，10，11，12，13，14，15， ∴ ； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴， ∴ = ． 故选：D． 10. 如图，将长方形纸片的角C沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若平分，则的度数α是（　　） A. B. C. D. α随折痕位置的变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，角的平分线的定义，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】∵且平分， ∴ ． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知有理数a，b，下列说法：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则．其中一定正确的结论有______（填写序号即可）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算和性质，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键； 根据有理数的运算法则进行计算即可求解； 【详解】解：①若，则，故①正确； ②若，则，故②正确； ③若，，则，故③正确； ④若，则，，，； ，的值不确定，无法判断与的大小， 则错误， 故④错误， 故答案为：①②③ 12. 某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排_____名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【答案】5 【解析】 【分析】设生产大花瓶的为x人，则生产小饰品的为（20-x）人，再由2个大花瓶与5个小饰品配成一套列出方程，进一步求得x的值，计算得出答案即可． 【详解】设生产大花瓶的为x人，则生产小饰品的为（20-x）人，由题意得： 12x×5=10(20−x)×2， 解得：x=5， 即要安排5名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 故答案为：5. 【点睛】考查一元一次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键. 13. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足x-y＞4，则k的取值范围是__. 【答案】k＞1． 【解析】 【分析】把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式x-y＞4，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围． 【详解】 ， 由①+②可得：3(x+y)=3k-3， 所以：x+y=k-1③ ①-③得：x=2k， ②-③得：y=-k-1， 代入x-y＞4可得：2k+k+1＞4， 解得：k＞1， 故填：k＞1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，解题的关键是求出方程组的解代入不等式可化为关于k的一元一次不等式求解． 14. 如图，， ，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， 即． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，，点，分别在轴、上运动，连接，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段和的最小值，掌握垂线段最短和找出线段关于y轴的对称线段是解题的关键． 先找出线段关于y轴的对称线段，再过点B作这条对称线段的垂线段，这条垂线段的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，先找出点B关于y轴对称的对称点，截取，此时点D与点关于y轴对称，从而可知． 再根据垂线段最短可知，当是线段的垂线段，与y轴交于点C时，即有最小值． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点的坐标为， ． ，， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，每小题8分，共16分． 16. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 对于（1），由消去x求出y，再将y值代入求出x，即可得出答案； 对于（2），由消去y求出x，再代入求出y得出答案． 【小问1详解】 解：原方程可化为，  ，得， 解得；  把代入①得，解得． 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得； 将代入①，得， 解得．  所以原方程组的解是． 17. 解不等式组在数轴上表示出它的解集，并求它的整数解． 【答案】数轴表示见解析，整数解为0，1，2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及解集在数轴上表示的方法是解题的关键． 先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其整数即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： ， ∴该不等式组的整数解为：0，1，2． 四、解答题：本题共6小题，共59分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知，． （1）若，，求的值． （2）若的值与的取值无关，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将进行化简，再将，代入化简进行计算即可； （2）将，代入化简，令的系数为即可． 【小问1详解】 解：原式 ， 当， 时， 原式 ； 【小问2详解】 由（1）可知，， 的值与的取值无关， ， ． 【点睛】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 19. 武汉某市场销售某种流行的手办，分为、两种款式，已知款手办每个的进价是元，售价是元，款手办每个的售价是元，可盈利．提示：利润率售价进价进价． （1）款手办每个的利润率是，款手办每个的进价是_______元． （2）该市场购进、两款商品共计个，总进货款元，请你计算一下，，两款手办各进货多少个？ （3）春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分八折优惠，超过元的部分打六折 小张按照优惠活动方案在该市场购买款手办若干个，实际付款金额为元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个款手办？ 【答案】（1）； （2）购进个款手办，个款手办； （3）小张在该市场购买了或个款手办． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用A款手办每个的利润率售价进价进价，可求出款手办每个的利润率；利用款手办每个的进价售价利润率，即可求出款手办每个的进价； （2）出的值即购进款手办的数量，再将其代入中，即可求出购进款手办的数量； （13）设小张在该市场购买了个款手办，利用总价单价数量，结合该市场推出的优惠方案，分情况讨论，可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：(1)根据题意得：款手办每个的利润率是， 款手办每个的进价是（元）． 故答案为：，； 【小问2详解】 设购进个款手办，则购进个款手办， 根据题意得：， 解得：， （个）． 答：购进个款手办，个款手办； 【小问3详解】 设小张在该市场购买了个款手办， 根据题意得：或， 解得：或． 答：小张在该市场购买了或个款手办． 20. 如图，直线与交于点，在的内部，，平分． （1）求的度数； （2）过点作，求的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义，平角定义，垂直定义， 对于（1），设，则，可得.再根据平角定义得，然后根据平角定义可得，求出，可得答案； 对于（2），分两种情况：当在直线的下方时，由（1）得，即可求出，再根据得出答案； 当在直线的上方时，由（1）得，再根据得出答案． 【小问1详解】 解：设，则， . 平分， ， 则， 解得， ； 【小问2详解】 解：当在直线的下方时， ， ． ， ，； 当在直线的上方时， ， ， ， ． 故或． 21. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 【答案】（1）200；36 （2） 补全条形统计图，如图： （3）460人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体： （1）用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，再用360度乘以最喜欢“B足球”的学生人数所占的百分比，即可求解； （2）求出最喜欢“B足球”的学生人数，即可求解； （3）用2000乘以最喜欢“E乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； 扇形统计图中C对应圆心角的度数为； 故答案为：200；36 【小问2详解】 解：最喜欢“B足球”的学生人数为人； 【小问3详解】 解：人， 即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人． 22. 如图，点E，F分别在的延长线上，直线分别交于点G，H，，． 求证： 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴____________． ∴______．（ ）（填推理的依据） ∵， ∴______． ∴____________．（ ）（填推理的依据） ∴． ∵，（ ）（填推理的依据） ∴． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行线的判定和性质一一判断即可． 【详解】∵， ∴． ∴．（两直线平行，内错角相等） ∵， ∴． ∴．（同位角相等，两直线平行） ∴． ∵，（对顶角相等） ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，对顶角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23. 将三角形和三角形按图1所示的方式摆放，其中，，，，点D，A，F，B在同一条直线上． （1）将图1中的三角形绕点B及逆时针旋转，且点A在直线的下方． ①如图2，当时，求证：； ②当时，直接写出的度数； （2）将图1中的三角形绕点E逆时针旋转，如图3，当点D首次落在边上时，过点E作，作射线平分，作射线平分交的反向延长线于点N，依题意补全图形并求的度数． 【答案】（1）①见解析；② （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质，运用，，得出结论即可； （2）设，因为DM平分，EN平分，得出的度数. 【小问1详解】 解：①证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ②,理由如下： 过点作,如下图所示， ∵， ∴, ∴，， ∴. 【小问2详解】 解：补全图形，如图． 过点N作，设． ∵， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查平行线和角平分线的性质，掌握这些性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金湾区 2025-2026学年第二学期开学收心考试 九年级 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图,数轴上的两个点A. B所表示的数分别为a、b,那么a,b,−a,−b的大小关系是( ) A. b<−a<−b<a B. a<−b<b<−a C. b<−a<a<−b D. b<−b<−a<a 2. 如果|x－1|＋(y＋2)2＝0，那么yx的值是( ) A. －2 B. 2 C. 1 D. －1 3. 某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少8%，4月份比3月份增加了10%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（　　） A. （x﹣8%）（x+10%） B. （x﹣8%+10%） C. （1﹣8%+10%）x D. （1﹣8%）（1+10%）x 4. 对于任意两个有理数、，规定，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 某次足球积分赛，每队均比赛14场，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某中学足球队的胜场数是负场数的3倍，这个足球队在这次积分赛中积分可能为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 34 6. 下列说法中不正确的是（　　） ①过两点有且只有一条直线 ②连接两点的线段叫两点的距离 ③两点之间线段最短 ④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 如图，四边形是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 9. 如果记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，那么（其中“”“”依次相间）的值为（ ） A. B. C. 22 D. 23 10. 如图，将长方形纸片的角C沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若平分，则的度数α是（　　） A. B. C. D. α随折痕位置的变化而变化 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知有理数a，b，下列说法：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则．其中一定正确的结论有______（填写序号即可）． 12. 某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排_____名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 13. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足x-y＞4，则k的取值范围是__. 14. 如图，， ，，则____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，，点，分别在轴、上运动，连接，，则的最小值为__________． 三、计算题：本大题共2小题，每小题8分，共16分． 16. 解下列方程组： （1） （2） 17. 解不等式组在数轴上表示出它的解集，并求它的整数解． 四、解答题：本题共6小题，共59分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知，． （1）若，，求的值． （2）若的值与的取值无关，求的值． 19. 武汉某市场销售某种流行的手办，分为、两种款式，已知款手办每个的进价是元，售价是元，款手办每个的售价是元，可盈利．提示：利润率售价进价进价． （1）款手办每个的利润率是，款手办每个的进价是_______元． （2）该市场购进、两款商品共计个，总进货款元，请你计算一下，，两款手办各进货多少个？ （3）春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分八折优惠，超过元的部分打六折 小张按照优惠活动方案在该市场购买款手办若干个，实际付款金额为元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个款手办？ 20. 如图，直线与交于点，在的内部，，平分． （1）求的度数； （2）过点作，求的度数． 21. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 22. 如图，点E，F分别在的延长线上，直线分别交于点G，H，，． 求证： 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴____________． ∴______．（ ）（填推理的依据） ∵， ∴______． ∴____________．（ ）（填推理的依据） ∴． ∵，（ ）（填推理的依据） ∴． 23. 将三角形和三角形按图1所示的方式摆放，其中，，，，点D，A，F，B在同一条直线上． （1）将图1中的三角形绕点B及逆时针旋转，且点A在直线的下方． ①如图2，当时，求证：； ②当时，直接写出的度数； （2）将图1中的三角形绕点E逆时针旋转，如图3，当点D首次落在边上时，过点E作，作射线平分，作射线平分交的反向延长线于点N，依题意补全图形并求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $