四川绵阳南山中学实验学校高2026届高三下学期数学周练测试（一）

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（一） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．对实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数为奇函数，则的值为 A．0 B． C．2 D．1 4．为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是 A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 5．已知，在上的投影向量是，则 A． B．2 C． D．4 6．某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为 A． B． C． D． 7．如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为 A． B． C． D．3 8．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则 A．的最小正周期为 B．的图象向左平移后，对应的新函数是偶函数 C．的图象关于点对称 D．在上的值域为 10．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的一个动点，则下列结论正确的是 A． B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．直线与平面夹角正弦值的最大值为 11．在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知：，则 ． 13．已知的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，则实数 ． 14．已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 16．（15分） 某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为90%. 现将甲、乙两车间加工的该种零件按 的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为80%. （1）求乙车间加工零件的达标率； （2）若从混合放在一起的零件中，随机抽取3个，记这3个零件中达标的个数为，求的分布列和期望. 17．（15分） 如图，两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，平面平面，，，其中，. （1）当时，证明：平面BEM； （2）是否存在实数，使得平面AMN与平面ABN的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）求的最小值. 18． （17分） 已知抛物线的焦点为是抛物线上异于原点的三个不同的点，点也在直线上，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）若点在轴下方，且的面积是的面积的2倍，求点的坐标； （3）若点是的垂心，求直线的方程． 19． （17分） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且．证明： （i）在区间存在唯一的极值点； （ii）对于（i）中的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（一） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C C B B A D ACD ABD ABD 12． 13． 14. 1．B【详解】由，得， 所以复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B. 2．C【详解】对实数，当时，，则， 当时，，则，则“”是“”的充要条件.故选：C. 3．C【详解】因为函数为奇函数， 当时，，则，所以， 又，则，即.故选：C 4．C【详解】全年级有1000人参与该活动，由饼状图可知： 选择篮球的学生有： 人，选择乒乓球的学生有： 人， 选择足球的学生有： 人， 由条形图可知： 选择篮球的学生中，女生 人，男生 人， 选择乒乓球的学生中，女生 人，男生 人， 选择足球的学生中，女生 人，男生 人.故选：C． 5．B【详解】由题意得在上的投影向量为， 则，则，则.故选：B. 6．B【详解】5名同学分成3个小组， 若按2人，2人，1人来分有种分组方式，若按3人，1人，1人来分有种分组方式， 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 若甲乙去同一个服务点且该服务点有两人，则有种分组方式； 若甲乙去同一个服务点且该服务点有三人，则有种分组方式； 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以甲乙去同一个服务点的不同安排方法有：种. 因此，甲乙去同一个服务点的概率为， 则甲与乙不去同一个服务点的概率为.故选：B. 7．A【详解】设正四棱锥的底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 所以注水四棱台的上底边长为，体积， 设注水四棱锥的水面高度为，底面边长为，则，所以， 所以注水四棱锥部分的体积， 因为，即，解得，故选：A. 8．D【详解】由双曲线的左焦点为可知，则， 设点，则的中点， 已知线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， ，化简得①， 由直线的斜率为可得：，即②， 联立①②可得，解得或（舍去，在右支）， ，故， 把代入双曲线方程，则，解得， ，，双曲线渐近线方程为，故D正确．故选：D． 9．ACD【详解】对于A，由可得最小正周期为，故A正确； 对于B，的图象向左平移后，得到， 显然不是偶函数，故B错误； 对于C，因为，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确.故选：ACD 10．ABD【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设，，则， 则，故，故A正确； 因平面，则平面的一个法向量为， 则， 当时，有最小值，有最大值， 故直线与平面夹角正弦值的最大值为，故D正确； 因为，所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面，则点到平面的距离为定值， 因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值， 又三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 因为平面，则展开使其与在同一平面，如图， 则的最小值为，因为边长为的等边三角形，是腰长为的等腰直角三角形， 则为的中点，则，即的最小值为，故C错误. 故选：ABD． 11．ABD【详解】因为，所以，根据正弦定理边角互化得， 因为，，所以，即 所以，由余弦定理可知，，故， 若，则，注意到， 所以（两者同负会有两个钝角，不成立），即， 因为，都是锐角， 所以， 于是，这和相矛盾， 故不成立，所以.所以，， 所以，A选项正确； ，即， 所以或，即或， 当时，，； 当时，，，故B选项正确； 因为的面积为，所以，当，时，，，， 解得，，； 当，时，，，， 解得，，；所以C选项错误，D选项正确.故选：ABD 12．【详解】显然，则 .又 13．【详解】设， 令，得①，令，得②， ①－②得，，由，所以，解得. 14. 【详解】由椭圆的性质可知，因为是椭圆上一点，在第二象限内.若， 根据余弦定理可知， 所以可得， 则可知，又因, 所以可知， 所以直线的斜率为.故答案为： 15．【详解】（1）由，可得， 当时，有， 两式作差得，所以时，， 时，符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）， 所以， ， 两式相减得， 所以，随着正整数的增大而增大，由，得， 时，，时，， 所以使的最小的正整数n的值为8. 16．【详解】（1）设“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是甲车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是乙车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是合格品”， 由条件可知，，，，， ， 得，所以乙车间加工零件的达标率为； （2），， ，，， ， 0 1 2 3 期望 17．【详解】（1）当时，，则为的中点， 连接，在正方形ABCD中，， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以， 因为平面BEM，所以平面BEM. （2）以为原点，以所在直线轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，，， 则， 即，，， 设平面AMN的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面ABN的一个法向量为，因为平面AMN与平面ABN的夹角为， 所以，解得， 所以存在实数，使得平面AMN与平面ABN的夹角为. （3）由（2）知， ，，，， 则， 所以， 函数（看作关于的二次函数）开口向上，对称轴为， 则时，函数取得最小值为， 此时函数（看作关于的二次函数）开口向上，对称轴为， 则时，函数取得最小值为，所以的最小值为. 18．【详解】（1）因为点在直线上，设点，又，. 又点在抛物线上，，联立解得.所以抛物线方程为 （2）由（1）可得抛物线方程为，焦点，设，因点在轴下方，，连接交轴于点，设 已知的面积是的面积的2倍，根据三角形面积公式可得，即，解得或. 当时，，，直线方程为，将直线与抛物线方程联立得，解得或（舍） 时，此时，即. 当时，，，直线方程为，将直线与抛物线方程联立得，解得或（舍）.时，此时，即. 综上，点坐标为或. （3）因为点是的垂心，所以，. 已知，则,. 设直线，联立直线与抛物线方程整理得，设，由韦达定理可得：. ，化简得. 齐次化处理： ，化简得 ，代入化简得. 解得或，当时，直线经过，不合题意，舍去. 直线的方程为. 19．【详解】（1）已知函数，其定义域为，， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调减； 当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）（i）已知，定义域， 当时，单调递减，又因为，所以单调递增， 而也单调递增，故在上单调递增，无极值点； 求导得，设， ， 因为，所以在上为增函数， 而，， 故在上存在一个零点，且时，， 时，，故在上为减函数，在为增函数， 而，，故在上存在唯一一个零点， 且时，即，时，即， 所以在区间上存在唯一的极值点.所以在区间存在唯一的极值点； （ii）由（i）得，即， 则， 令，， 求导得， 令， 求导得， 整理得 因为，所以，即在上单调递增， 所以， 所以，在上单调递增， 所以，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $