第六章 平面向量及其应用 章末复习提升讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第6章  章末复习提升 训练题

　　

一、平面向量的线性运算

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.

例1 (1)设D，E为△ABC所在平面内两点，＝，＝2，则＝(　　)

A.－＋    B.－

C.－    D.－＋

(2)如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)

A.   B.   C.2   D.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

训练1 (1)在△ABC中，＝－2，且＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.2   B.－2   C.1   D.－1

(2)如图，已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝________(用，表示).

二、向量的数量积运算

1.数量积的三种运算

(1)已知向量的模和夹角，则

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

(3)利用数量积的几何意义求解.

2.向量的夹角和模的性质

(1)设a＝(x1，y1)，则|a|＝.

(2)两非零向量夹角θ的余弦值(0≤θ≤π)

cos θ＝＝.

(3)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

例2 (1)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.

(2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

训练2 (1)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________.

(2)已知非零向量a，b满足|a－b|＝|a|，a⊥(a－b)，则a与b夹角为________.

三、正弦定理、余弦定理及应用

1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形；已知三角形的两边及其夹角或三边，可用余弦定理解此三角形.

2.边角互化的常用方法

(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等.

(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换.

例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝sin C－cos C.

(1)求A的大小；

(2)若b＝3，c＝2，点D在边BC上，且CD＝2DB，求线段AD的长.