第六章 平面向量及其应用 章末复习提升讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案以平面向量的线性运算与数量积、正弦定理及余弦定理为核心，通过“网络构建+”知识框架图整合内容，分模块设计例题与训练题，形成从基础运算到综合应用的递进学习路径，助力学生系统建构知识体系。 亮点在于“问题情境驱动”的分层设计，如例4的海上救援问题引导学生用正余弦定理解决实际距离问题，培养数学思维中的推理能力和数学语言中的模型观念。训练3提供条件选择任务，促进深度学习与探究意识，为教师实施单元复习提供系统方案，有效提升学生综合应用能力。

第6章 章末复习提升 训练题 　　 一、平面向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 例1 (1)设D，E为△ABC所在平面内两点，＝，＝2，则＝(　　) A.－＋ B.－ C.－ D.－＋ (2)如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A. B. C.2 D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练1 (1)在△ABC中，＝－2，且＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A.2 B.－2 C.1 D.－1 (2)如图，已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝________(用，表示). 二、向量的数量积运算 1.数量积的三种运算 (1)已知向量的模和夹角，则 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 2.向量的夹角和模的性质 (1)设a＝(x1，y1)，则|a|＝. (2)两非零向量夹角θ的余弦值(0≤θ≤π) cos θ＝＝. (3)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 例2 (1)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________. (2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练2 (1)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________. (2)已知非零向量a，b满足|a－b|＝|a|，a⊥(a－b)，则a与b夹角为________. 三、正弦定理、余弦定理及应用 1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形；已知三角形的两边及其夹角或三边，可用余弦定理解此三角形. 2.边角互化的常用方法 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换. 例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝sin C－cos C. (1)求A的大小； (2)若b＝3，c＝2，点D在边BC上，且CD＝2DB，求线段AD的长. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练3 在①b(1＋cos A)＝asin B，②bcos＝asin B，③asin C＝ccos(A－)这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号). (1)求A的大小； (2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 四、正、余弦定理的实际应用 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 例4 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练4 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 例1　(1)B　[如图，因为＝，＝2， 所以＝，＝， 所以＝＋＝＋ ＝＋(－)＝－.] (2)A　[设＝λ， 因为＝，所以＝， 则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝(1－λ)＋λ， 又因为＝m＋， 所以 解得λ＝，m＝.] 训练1　(1)C　[因为＝－2，则＝2， 即点D在BC的延长线上，且C为BD的中点， 则＝＋＝＋2＝＋2(－)＝－＋2， 所以λ＝－1，μ＝2，则λ＋μ＝1.] (2)＋　[由题可知，点M是△ABC的边BC的中点，＝2， ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.] 例2　(1)　[因为a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)， 所以由(a－λb)⊥b可得， 3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝.] (2)9　[因为＝＋＝＋， ＝－＝－， 所以·＝(4＋3)×(4－3)＝(162－92)＝×(16×62－9×42)＝9.] 训练2　(1)－　[由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， 因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.] (2)　[因为|a－b|＝|a|， 所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2， 设a与b夹角为θ， 则|b|2＝2a·b＝2|a||b|cos θ， |b|＝2|a|cos θ，① 因为|b|＝2|a|cos θ>0，所以cos θ>0. 又因为a⊥(a－b)， 所以a·(a－b)＝a2－a·b＝0， 则a2＝a·b，则|a|2＝|a||b|cos θ， 所以|a|＝|b|cos θ，② ①代入②得|a|＝|b|cos θ＝2|a|cos2θ，cos2θ＝， 因为cos θ>0，所以cos θ＝. 所以θ∈[0，π]，所以θ＝.] 例3　解　(1)由已知及正弦定理得＝sin C－cos C， 可化为sin C－sin B＝sin Asin C－sin Acos C， 即sin C－sin(A＋C)＝sin Asin C－sin Acos C， 所以sin C－sin Acos C－sin Ccos A＝sin Asin C－sin Acos C. 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 所以－cos A＝sin A， 即sin＝1. 因为0<A<π，所以<A＋<， 所以A＋＝，故A＝. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝18＋4－12＝10，则a＝. 因为D在边BC上，且CD＝2DB， 所以BD＝a＝. 又cos B＝＝－， 所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝， 所以AD＝. 训练3　解　(1)选①：由正弦定理及已知可得sin B(1＋cos A)＝sin Asin B，又B∈(0，π)，sin B≠0， ∴1＋cos A＝sin A， 则sin＝， 又0<A<π，∴－<A－<， ∴A－＝，即A＝. 选②：由正弦定理及已知可得sin Bcos ＝sin Asin B， 又B∈(0，π)，sin B≠0， ∴cos＝sin A， ∴sin＝2sin cos . 又∈，∴sin ≠0， ∴cos ＝. 又0<A<π，∴0<<， ∴＝，即A＝. 选③：由正弦定理及已知可得sin Asin C＝sin Ccos， 又C∈(0，π)，sin C≠0， ∴sin A＝cos＝cos A＋sin A， 则tan A＝. 又0<A<π，∴A＝. (2)由(1)知cos A＝ ＝ ＝－1＝， 可得bc＝3， ∴S△ABC＝bcsin A＝. 例4　解　由题意知AB＝5(3＋) n mile， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB中，由正弦定理得 ＝， ∴DB＝＝ ＝ ＝＝10(n mile)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20(n mile)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×10×20×＝900， ∴CD＝30(n mile). 则需要的时间t＝＝1(h). 答：救援船到达D点需要1 h. 训练4　解　如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处， 即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°. 在△ABC中，＝， 即＝，∴AC＝20. 过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大， 在△ABC中，由面积公式知 ×BC×AG＝×BC×AC×sin∠ACB. ∴AG＝ ＝AC×sin∠ACB＝20sin 15°， ∴AG＝20sin(45°－30°) ＝20× ＝10(－1). 在Rt△AEG中，∵AE＝AGtan∠AGE， ∴AE＝10(－1)× ＝10－＝， ∴塔高为 m. 学科网（北京）股份有限公司 $