期中复习01：平面向量【知识清单+10个题型清单】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期中复习01：平面向量】 总览 题型梳理 【题型清单】 【知识点清单】 （一）平面向量的基本概念 1.向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量区别于只有大小没有方向的数量 2.向量的表示方法 几何表示：用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向 字母表示：用小写字母表示（如、、），手写时需加箭头；也可用有向线段的起点和终点字母表示（如，起点为A，终点为B） 3.向量的核心要素 大小（模）：向量的长度，记为或非负实数 方向：从起点指向终点的方向决定向量的方向属性 4.特殊向量 零向量：长度为0的向量，记为零向量的方向是任意的规定与任意向量平行 单位向量：长度为1的向量若，则与同向的单位向量为 相等向量：长度相等且方向相同的向量记为与起点无关 相反向量：长度相等且方向相反的向量记为零向量的相反向量是其本身 5.向量的平行（共线）与垂直 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量零向量与任意向量平行记为 垂直向量：方向互相垂直的向量记为规定零向量与任意向量垂直 （二）平面向量的线性运算 1.向量的加法 定义：求两个向量和的运算 法则 三角形法则：首尾相接，起点指向终点 平行四边形法则：共起点，以两向量为邻边作平行四边形，对角线为和向量（O为起点，C为平行四边形对角顶点） 运算性质 交换律： 结合律： 2.向量的减法 定义：求两个向量差的运算是加法的逆运算 法则：共起点，指向被减向量 运算性质 3.向量的数乘 定义：实数与向量的积是一个向量，记为 几何意义： 当时，与同向，长度为 当时，与反向，长度为 当时， 运算性质 4.向量共线定理 向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得 推论：若，则A、B、C三点共线 （三）平面向量的坐标表示与运算 1.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴同向的单位向量分别为、，则任意向量可表示为，记为其中x为横坐标，y为纵坐标 特殊向量坐标：；若、，则 向量的模的坐标公式：若，则 2.平面向量的坐标运算 加法：若，，则 减法：若，，则 数乘：若，为实数，则 共线坐标条件：若，，，则 垂直坐标条件：若，，，则 3.中点坐标与距离公式 中点坐标：若、，则AB中点M的坐标为 两点间距离： （四）平面向量的数量积 1.数量积的定义 非零向量、，它们的夹角为（），则数量积为 零向量与任意向量的数量积为0即 几何意义：等于与在方向上的投影的乘积或与在方向上的投影的乘积 2.数量积的运算性质 交换律： 数乘结合律： 分配律： 自身数量积：即 垂直性质： 夹角公式：（，） 3.数量积的坐标运算 若，，则 夹角坐标公式： 模长坐标公式： （五）平面向量的应用 几何应用：判断线段平行、垂直，求线段长度、夹角，证明三点共线，解决三角形、平行四边形相关问题 代数应用：将向量问题转化为坐标运算，结合函数、不等式求解最值、范围问题 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型清单】 【题型1：平面向量的基本概念辨析】 【练方法】 核心考查 判断向量的概念、特殊向量、相等向量、相反向量、共线向量的对错，区分向量与数量 解题方法 紧扣向量的两大要素（大小、方向），排除只看大小或只看方向的错误选项 牢记特殊向量的定义（零向量、单位向量）及性质，注意零向量的方向任意性 相等向量需满足“长度相等+方向相同”，与起点无关；相反向量需满足“长度相等+方向相反” 共线向量（平行向量）只需方向相同或相反，与长度无关，零向量与任意向量共线 【题型专练】 1．（25-26高一下·山东临沂·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则不是共线向量 【答案】C 【分析】根据平面向量的定义，模的定义，相等向量的定义，共线向量的概念分别判断即可． 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则不一定相等（方向不一定相同），故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，此时，但是共线向量，故D错误． 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）下列命题正确的是（   ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，模相等且方向相同的向量才是相等向量，模相等的共线向量方向可能相反，故A错误，   对于B，若，则和可以是任意向量，不一定平行，故B错误， 对于C，零向量的方向是任意的，但不是没有方向，故C错误；   对于D，若，由向量相等的定义知一定共线，所以D正确. 3．（25-26高一下·陕西汉中·月考）下列说法中错误的是（ ） A．若、、、四点构成平行四边形，则 B．若向量，则与的方向相同或相反 C．若为非零实数，且，则向量与共线 D．若，则 【答案】ABD 【详解】A选项：若四点构成平行四边形，并没有限制四个点顺序，所以不一定有，如形成的平行四边形为平行四边形时, 就不存在, 所以A错误. B选项：零向量与任意向量平行，零向量方向任意，故向量时，与方向不一定相同或相反，B错误. C选项：非零实数满足，由共线向量定理知与共线，C正确. D选项：若，，，但与不一定平行，D错误. 4．（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①加速度是有方向有大小的量，故①正确； ②若，则与不一定平行，②错误； ③若向量，则直线与直线平行或共线，③错误； ④两个向量不能比较大小，④错误； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量，⑤正确； ⑥方向相同，大小相等的两个向量为相等向量，表示它们的有向线段的起点可能不同，⑥错误； 所以其中错误的有4个. 5．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 【题型2：平面向量的线性运算（加减、数乘）】 【练方法】 核心考查 利用三角形法则、平行四边形法则进行向量加减运算，结合数乘运算化简向量表达式 解题方法 加减运算：三角形法则“首尾相接，起点指向终点”，平行四边形法则“共起点，对角线为和” 数乘运算：明确的正负对向量方向的影响，熟练运用数乘运算性质化简 化简技巧：将未知向量转化为已知向量（如用基底向量表示），利用运算性质合并同类项 注意：向量加减的结果仍是向量，不能与数量运算混淆 【题型专练】 6．（25-26高一下·北京大兴·月考）如图，在矩形中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为矩形，为的中点， 所以. 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意可知：， 则向量减法的三角形法则，可得：， 又因为，，所以 . 8．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以 9．（25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据相似易得，再根据平面向量的线性运算可得，求出，进而求解即可. 【详解】连接，由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则，故， 又，所以，则. 10．（25-26高一下·河南·月考）在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，易知M为AC的中点，故，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，易得，可得，，，故C正确； 对于D，当P与M重合时，，，这与矛盾，故D错误．故选BC． 【题型3：向量共线定理的应用】 【练方法】 利用向量共线定理判断向量共线、证明三点共线，求参数值 解题方法 向量共线：若，则（为唯一实数） 三点共线：若A、B、C三点共线，则存在实数，使得或 求参数：根据共线条件列出等式，结合向量线性运算，求解参数（注意零向量的特殊情况） 【题型专练】 11．（25-26高一下·甘肃·月考）如图，在中，，过点O的直线分别交直线，于点M，N，设，，则的值为______． 【答案】3 【详解】， ， ， ， ， 共线， 存在实数，使得， 不共线， ，即，整理得． 12．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以 , 设，则， 因为三点共线，所以，得， 则， 故，则. 13．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及点共线，得， 而，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 14．（25-26高一下·江苏南京·月考）在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（   ） A． B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由得，， 又共线，则，所以，A正确； 对于B，由得，， 当且仅当时取等号，即的最小值为，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，C正确； 对于D，由得，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，D正确． 15．（25-26高一下·天津蓟州·月考）如图所示，中为重心，过点，，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】设，根据题意， 因为，，三点共线，则存在，使得， 即，即， 所以，整理得，所以. 【题型4：平面向量的坐标表示与坐标运算】 【练方法】 核心考查 求向量的坐标、进行坐标加减、数乘运算，利用坐标判断向量共线、垂直 解题方法 求向量坐标：若已知两点坐标，用终点坐标减起点坐标（如） 坐标运算：严格按照加减、数乘的坐标公式计算，注意符号运算 共线判断：利用，代入坐标求解参数或判断 垂直判断：利用，代入坐标求解参数或判断 【题型专练】 16．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标列方程组，将其平方相加求出，再结合得出，即可求出. 【详解】由题意得，， 则，分别对两式平方得 两式相加得，即， ∵，∴，∴． 又由，且，所以， 解得：，，所以． 17．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知，，，设，，. (1)求； (2)若，求实数，的值； (3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的坐标运算结合模长公式求解即可. （2）根据向量的坐标运算与表示，求得，结合，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，得到，设，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 由模长公式得. （2）因为，且， 所以，所以， 因为，所以可得，解得. （3）因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以，设，即， 得到，解得，即点的坐标为. 18．（25-26高一上·北京房山·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 【答案】2 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，，，， 由，可得， ， 故答案为：2 19．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】BD 【分析】不妨设，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，再结合三角函数值域的求法求解即可. 【详解】不妨设，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 由题，，令，则，. 因，则的取值可能是1或. 故选：BD    20．（24-25高一下·云南玉溪·月考）如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标．若，且点的坐标为，点的坐标为，则_______．      【答案】 【分析】将用表示，再将平方开根号，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】依题意夹角为，所以， 因为，，， 所以. 故答案为： 【题型5：平面向量的模长计算】 【练方法】 核心考查 直接求向量的模长、求模长的最值/范围，结合坐标运算或数量积运算求解 解题方法 坐标法：若，则，代入坐标直接计算 数量积法：，适用于已知向量数量积或无法直接获取坐标的情况 模长最值：结合函数思想，将模长平方转化为二次函数，利用二次函数最值求解（避免开方运算） 常用变形： 【题型专练】 21．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则______. 【答案】 【分析】先由投影向量的定义可得，再由向量的数量积计算向量的模可得. 【详解】因为在上的投影向量为，所以，得. 又因为，所以. , 所以. 22．（25-26高一下·黑龙江绥化·月考）已知平面向量，满足，，，则=______ 【答案】12 【详解】因为，，， 所以. 23．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意，，由得，进而可得. 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 24．（25-26高一下·四川资阳·月考）若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件求出，，，再利用向量的模的公式求解即可 . 【详解】由得，， 由得，，即，所以. 又，所以，即，所以. 所以. 25．（25-26高三下·山东·月考）已知向量，满足，，且，则______. 【答案】 【分析】由向量垂直得到，再通过，平方即可求解. 【详解】因为， 所以，展开得：， 代入得： ， 对两边平方得： ， 展开左边： ， 代入、， ​计算： ， 即 ， 因为模长为非负数，所以. 【题型6：平面向量的夹角计算】 【练方法】 核心考查 求两个非零向量的夹角，判断向量的夹角类型（锐角、直角、钝角） 解题方法 核心公式：（） 步骤：先求，再求、，代入公式求，最后求 夹角判断 锐角：且与不共线 直角：即 钝角：且与不共线 【题型专练】 26．（2026·江苏·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先移项得出，再两边平方可求，利用数量积的定义求结论即可. 【详解】因为，所以，即， 又， 即，，故. 27．（25-26高一下·天津·月考）若非零向量，满足，且，则与的夹角余弦值为________． 【答案】/ 【详解】由 ， 所以 . 由 ， 所以 . 所以. 28．（25-26高一下·吉林长春·月考）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）已知，，且与夹角为，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【分析】（1）通过向量加法计算出，证明其与存在数乘关系，结合公共点，证得三点共线； （2）先计算与，再代入向量数量积变形公式求解. 【详解】（1）因为， 则与共线．又因与有公共点，故三点共线． （2）由于， 又， 因此. 设与的夹角为， 则. 29．（25-26高一下·河南郑州·月考）已知向量，满足，且对一切实数x，恒成立，则，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将平方，结合数量积的定义和运算性质化简得出关于的一元二次不等式，结合一元二次不等式恒成立求解. 【详解】由得，即， 则， 因为，所以， 即 因为对一切实数x，恒成立，所以， 得， 因为，所以， 故，的夹角的大小为. 30．（25-26高一下·河南周口·月考）已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量垂直的条件结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合平面向量夹角的取值范围可得结果. 【详解】因为向量、为单位向量，且， 则，所以， 故， 又因为，故，即、的夹角为. 【题型7：平面向量的数量积运算及应用】 【练方法】 核心考查 直接计算数量积、利用数量积求参数、结合数量积判断垂直、求投影 解题方法 数量积计算： 定义法：已知模长和夹角，用 坐标法：已知坐标，用 求参数：根据数量积等式（如垂直、已知数量积值），代入公式列方程，求解参数 求投影：在方向上的投影为 【题型专练】 31．（25-26高一下·江苏南京·月考）在中，，若O为的内心，设，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为，连接，则，利用向量的数量积的运算律可得、，据此得，利用基本不等式可求的最大值. 【详解】设所对的边为. 设的中点为，连接，则， 故 ，同理， 而，故， 故即即。 故，故，同理，其中. 所以即， 所以，故， 故，故或， 而，故不成立， 故，当且仅当时等号成立，故的最大值为. 32．（上海市长宁区2025-2026学年第二学期高三数学教学质量调研试卷）在中，是的中点，，，则_________. 【答案】7 【详解】因为在中，是的中点，所以，所以. 又，所以，所以. 所以，. 33．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图所示，半圆的直径为圆心，是半圆上不同于A，B的任意一点，若为半径OC上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得. 【详解】由，则，设，则， 则， 故当且仅当时，取最小值，且最小值为. 34．（25-26高一下·北京·月考）如图，边长为2的正方形中，是线段上的动点，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】设，可得，利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】设，所以， 则. 35．（25-26高一下·广东江门·月考）如图，在菱形ABCD中，若，，，． (1)若，，求，，，的值； (2)求的值． (3)若与交于点，求的值 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算化简即可； （2）利用数量积的运算性质化简； （3）设，利用表示，利用列方程组求解. 【详解】（1）由题意得，，， 故，，，. （2）由（1）得： （3）设，则， 则，， 因为三点共线，所以，即， 则，得，故. 【题型8：平面向量与三角形的综合应用】 【练方法】 核心考查 利用向量表示三角形的中线、角平分线、高，结合向量运算求解三角形相关问题（边长、夹角） 解题方法 中线向量：若M为AB中点，则（O为任意点） 角平分线向量：利用角平分线定理，结合向量线性运算表示角平分线 三角形重心：重心G满足，坐标为三点坐标的平均值 技巧：将三角形中的向量转化为以一个顶点为起点的向量，利用线性运算和数量积求解 【题型专练】 36．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点是的重心 C．若，则点的轨迹必过的内心 D．若，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算可判断A选项；利用平面向量的线性运算以及三角形重心的定义可判断B选项；利用三角形内心的性质以及平面向量的线性运算可判断C选项；利用平面向量的线性运算以及三角形面积的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，可得， 所以， 点在射线上，且点为线段的中点，A错； 对于B选项，设点为线段的中点， 则， 因为， 此时点为重心，B对； 对于C选项，因为， 则， 因为、分别是与、方向相同的单位向量， 记住，，以、为邻边作平行四边形， 则四边形为菱形，则平分，且， 即， 此时，点的轨迹必过的内心，C对； 对于D选项，因为，且， 所以，且， 设，则， 即，即，所以，、、三点共线， 又因为，所以为的中点，如图所示： 所以，故D正确. 故选：BCD. 37．（2025·广西河池·三模）已知的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再根据余弦定理进行计算即可； （2）先得，再两边平方求值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：，即， 由余弦定理知， 又，所以. （2）因为，， 则, 所以 , 所以 38．（2023·贵州·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，，在上，且，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数关系化简已知条件即可求解； （2）根据同角三角函数关系得，由向量加法运算得， 平方化简即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，由得， 即，平方化简得，所以. （2）由题意，所以，即, 又由（1）知，， 又因为，所以， 所以， 所以. 39．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【详解】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 40．（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 【题型9：平面向量的最值与范围问题】 【练方法】 核心考查 求向量模长、数量积、夹角的最值或取值范围，结合函数、不等式、几何图形求解 解题方法 坐标法：建立平面直角坐标系，将向量坐标化，转化为二次函数最值问题 数量积法：利用，结合的范围（）求最值 几何法：结合向量的几何意义（模长为距离、数量积为投影乘积），利用图形直观判断最值 基本不等式法：利用基本不等式，结合模长、数量积公式求最值 【题型专练】 41．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为，如图所示： 当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则. ，. 圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则， 所以. 42．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·月考）（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） . 【分析】（1）与数量积小于零，排除反向共线情况即可； （2）利用平行四边形法则表示，转化成两向量的数量积求解，利用不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意： ， 又， 由题意，解得， 又当时，即时，与共线， 所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为； （2）由题意：由为圆心，得，所以， 则， 由，， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 43．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积公式与模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由已知得， 所以 ， 当时，取得最小值48， 所以的取值范围是. 44．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，由数量积的运算律得 ，而的最大值等于，计算后可得. 【详解】取中点，连接， 则 ， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，如图， 则， 所以的最大值是. 45．（25-26高一下·湖南·月考）在中，已知，，，设为线段上一动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据向量的几何关系得到为等腰三角形，，，结合向量数量积的运算律及三角形面积公式求解即可. 【详解】由知，， 故，则为等腰三角形. 设的中点为，则，所以. 又，即，所以， ， 当时，. 故. 【题型10：平面向量的综合应用（与三角函数、解三角形结合）】 【练方法】 核心考查 将向量与三角恒等变换、解三角形结合，综合考查向量运算、三角函数化简、边角关系求解 解题方法 向量转化：将向量条件转化为坐标条件或数量积条件，剥离向量外壳 三角化简：结合三角恒等变换公式（两角和差、二倍角等），化简三角函数表达式 解三角形衔接：利用正余弦定理，将向量转化的条件与三角形边角关系结合，求解未知量 关键：熟练掌握向量运算与三角函数、解三角形公式的衔接，统一变量求解 【题型专练】 46．（25-26高一下·广西贵港·期中）在中，的角平分线交于点D，，O为的外心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】若，则O为的重心，又O为的外心， 故是等边三角形，所以，但，所以，A错误； 在中，由正弦定理得①， 同理在中，②， 是的角平分线，则， 则， ①②得， 所以，B正确； 因为， 所以， ．因为，， 所以，即，C正确； 过分别作的垂线，垂足分别为，由圆的垂径定理得，分别为边的中点， 利用数量积的几何意义得：，， 故，D正确． 47．（25-26高一下·山东青岛·月考）已知扇形的半径为，，点在弧上运动，，则（   ） A．当位于点时，的值最小 B．的值最大为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解． 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系. 则，. 设，则，且. 由 ， 所以， 所以，. 因为，所以，. 当或，即或时，取得最小值，此时点与或重合； 当，即时，取得最大值，此时点为的中点. 故AB正确； 对C：，， 所以 ， 因为，所以，故C错误； 对D：，， 所以 ， 因为，所以，所以，故D正确. 48．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角的值； (2)若为锐角三角形． （ⅰ）求角的范围； （ⅱ）已知，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据向量垂直的性质得到等式，再利用正弦定理将边化角，最后结合三角函数的性质，即可求出角的值； （2）（ⅰ）根据三角形内角和定理以及锐角三角形的性质，即可求出角的范围； （ⅱ）利用正弦定理将表示为关于角的三角函数，再结合角的范围，即可求出的范围. 【详解】（1）由题意，向量，，且， 所以，即， 由正弦定理，可得， 即， 所以， 由于，则，， 代入得：， 因为中，，所以， 则，即，又是三角形内角，所以或． （2）（ⅰ）因为为锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以，解不等式得， 所以的范围为； （ⅱ）由正弦定理（为外接圆半径）， 又，，则，，， 因为，，所以，则， 化简可得 ， 所以 ， 又由（ⅰ）得，，所以， 又根据正切函数的图象性质，在上单调递增， 所以，即． 所以，所以，所以， 即，即. 49．（25-26高一下·广西南宁·月考）已知平面向量，，设函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 【答案】(1)，， (2)或． 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质求解即得； （2）结合条件求出角，再由余弦定理即可求得. 【详解】（1）由 ， 故该函数的最小正周期为， 对称轴方程满足，解得，． 故函数的最小正周期为；对称轴方程为，． （2）由得，即， ，则，故，解得， 由余弦定理得，代入得， 化简得，解得或，经检验均符合题意． 故或. 50．（25-26高一下·四川遂宁·月考）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围 (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）选①可根据正弦定理边化角和三角形中的诱导公式化简计算；选②可根据正弦定理角化边和余弦定理化简计算；选③根据向量乘积展开式和正弦定理的面积公式进行化简计算； （2）利用正弦定理将用角表示，结合三角形内角和将周长转化为关于单一角的函数，再根据角的范围，利用三角函数的性质求取值范围； （3）设，将所有未知角用表示，再用正弦定理将表示出来进行化简，最后根据的范围求出的最大值. 【详解】（1）选①根据正弦定理可知:， 即，结合，展开化简得， 故，又，所以； 选②根据正弦定理可得: 根据余弦定理可得:，又，所以； 选③根据向量点乘运算可得:， 又，所以. （2）设周长，由余弦定理：， 由基本不等式， 代入得：，解得，当且仅当时等号成立； 又由三角形三边关系，所以，因此周长：； （3）如图，设，则，， 在中，由正弦定理得可得， ， 在中，由正弦定理得:可得， ， 是锐角三角形，所以， 所以， 当时，可得的最大值是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期中复习01：平面向量】 总览 题型梳理 【题型清单】 【知识点清单】 （一）平面向量的基本概念 1.向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量区别于只有大小没有方向的数量 2.向量的表示方法 几何表示：用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向 字母表示：用小写字母表示（如、、），手写时需加箭头；也可用有向线段的起点和终点字母表示（如，起点为A，终点为B） 3.向量的核心要素 大小（模）：向量的长度，记为或非负实数 方向：从起点指向终点的方向决定向量的方向属性 4.特殊向量 零向量：长度为0的向量，记为零向量的方向是任意的规定与任意向量平行 单位向量：长度为1的向量若，则与同向的单位向量为 相等向量：长度相等且方向相同的向量记为与起点无关 相反向量：长度相等且方向相反的向量记为零向量的相反向量是其本身 5.向量的平行（共线）与垂直 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量零向量与任意向量平行记为 垂直向量：方向互相垂直的向量记为规定零向量与任意向量垂直 （二）平面向量的线性运算 1.向量的加法 定义：求两个向量和的运算 法则 三角形法则：首尾相接，起点指向终点 平行四边形法则：共起点，以两向量为邻边作平行四边形，对角线为和向量（O为起点，C为平行四边形对角顶点） 运算性质 交换律： 结合律： 2.向量的减法 定义：求两个向量差的运算是加法的逆运算 法则：共起点，指向被减向量 运算性质 3.向量的数乘 定义：实数与向量的积是一个向量，记为 几何意义： 当时，与同向，长度为 当时，与反向，长度为 当时， 运算性质 4.向量共线定理 向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得 推论：若，则A、B、C三点共线 （三）平面向量的坐标表示与运算 1.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴同向的单位向量分别为、，则任意向量可表示为，记为其中x为横坐标，y为纵坐标 特殊向量坐标：；若、，则 向量的模的坐标公式：若，则 2.平面向量的坐标运算 加法：若，，则 减法：若，，则 数乘：若，为实数，则 共线坐标条件：若，，，则 垂直坐标条件：若，，，则 3.中点坐标与距离公式 中点坐标：若、，则AB中点M的坐标为 两点间距离： （四）平面向量的数量积 1.数量积的定义 非零向量、，它们的夹角为（），则数量积为 零向量与任意向量的数量积为0即 几何意义：等于与在方向上的投影的乘积或与在方向上的投影的乘积 2.数量积的运算性质 交换律： 数乘结合律： 分配律： 自身数量积：即 垂直性质： 夹角公式：（，） 3.数量积的坐标运算 若，，则 夹角坐标公式： 模长坐标公式： （五）平面向量的应用 几何应用：判断线段平行、垂直，求线段长度、夹角，证明三点共线，解决三角形、平行四边形相关问题 代数应用：将向量问题转化为坐标运算，结合函数、不等式求解最值、范围问题 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型清单】 【题型1：平面向量的基本概念辨析】 【练方法】 核心考查 判断向量的概念、特殊向量、相等向量、相反向量、共线向量的对错，区分向量与数量 解题方法 紧扣向量的两大要素（大小、方向），排除只看大小或只看方向的错误选项 牢记特殊向量的定义（零向量、单位向量）及性质，注意零向量的方向任意性 相等向量需满足“长度相等+方向相同”，与起点无关；相反向量需满足“长度相等+方向相反” 共线向量（平行向量）只需方向相同或相反，与长度无关，零向量与任意向量共线 【题型专练】 1．（25-26高一下·山东临沂·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则不是共线向量 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）下列命题正确的是（   ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 3．【多选题】（25-26高一下·陕西汉中·月考）下列说法中错误的是（ ） A．若、、、四点构成平行四边形，则 B．若向量，则与的方向相同或相反 C．若为非零实数，且，则向量与共线 D．若，则 4．（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2：平面向量的线性运算（加减、数乘）】 【练方法】 核心考查 利用三角形法则、平行四边形法则进行向量加减运算，结合数乘运算化简向量表达式 解题方法 加减运算：三角形法则“首尾相接，起点指向终点”，平行四边形法则“共起点，对角线为和” 数乘运算：明确的正负对向量方向的影响，熟练运用数乘运算性质化简 化简技巧：将未知向量转化为已知向量（如用基底向量表示），利用运算性质合并同类项 注意：向量加减的结果仍是向量，不能与数量运算混淆 【题型专练】 6．（25-26高一下·北京大兴·月考）如图，在矩形中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 10．【多选题】（25-26高一下·河南·月考）在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【题型3：向量共线定理的应用】 【练方法】 利用向量共线定理判断向量共线、证明三点共线，求参数值 解题方法 向量共线：若，则（为唯一实数） 三点共线：若A、B、C三点共线，则存在实数，使得或 求参数：根据共线条件列出等式，结合向量线性运算，求解参数（注意零向量的特殊情况） 【题型专练】 11．（25-26高一下·甘肃·月考）如图，在中，，过点O的直线分别交直线，于点M，N，设，，则的值为______． 12．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 13．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．【多选题】（25-26高一下·江苏南京·月考）在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（   ） A． B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 15．（25-26高一下·天津蓟州·月考）如图所示，中为重心，过点，，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．3 【题型4：平面向量的坐标表示与坐标运算】 【练方法】 核心考查 求向量的坐标、进行坐标加减、数乘运算，利用坐标判断向量共线、垂直 解题方法 求向量坐标：若已知两点坐标，用终点坐标减起点坐标（如） 坐标运算：严格按照加减、数乘的坐标公式计算，注意符号运算 共线判断：利用，代入坐标求解参数或判断 垂直判断：利用，代入坐标求解参数或判断 【题型专练】 16．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知，，，设，，. (1)求； (2)若，求实数，的值； (3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 18．（25-26高一上·北京房山·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 19．【多选题】（22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是（    ） A．－1 B．1 C． D． 20．（24-25高一下·云南玉溪·月考）如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标．若，且点的坐标为，点的坐标为，则_______．      【题型5：平面向量的模长计算】 【练方法】 核心考查 直接求向量的模长、求模长的最值/范围，结合坐标运算或数量积运算求解 解题方法 坐标法：若，则，代入坐标直接计算 数量积法：，适用于已知向量数量积或无法直接获取坐标的情况 模长最值：结合函数思想，将模长平方转化为二次函数，利用二次函数最值求解（避免开方运算） 常用变形： 【题型专练】 21．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则______. 22．（25-26高一下·黑龙江绥化·月考）已知平面向量，满足，，，则=______ 23．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 24．（25-26高一下·四川资阳·月考）若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 25．（25-26高三下·山东·月考）已知向量，满足，，且，则______. 【题型6：平面向量的夹角计算】 【练方法】 核心考查 求两个非零向量的夹角，判断向量的夹角类型（锐角、直角、钝角） 解题方法 核心公式：（） 步骤：先求，再求、，代入公式求，最后求 夹角判断 锐角：且与不共线 直角：即 钝角：且与不共线 【题型专练】 26．（2026·江苏·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一下·天津·月考）若非零向量，满足，且，则与的夹角余弦值为________． 28．（25-26高一下·吉林长春·月考）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）已知，，且与夹角为，求与的夹角的余弦值. 29．（25-26高一下·河南郑州·月考）已知向量，满足，且对一切实数x，恒成立，则，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高一下·河南周口·月考）已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【题型7：平面向量的数量积运算及应用】 【练方法】 核心考查 直接计算数量积、利用数量积求参数、结合数量积判断垂直、求投影 解题方法 数量积计算： 定义法：已知模长和夹角，用 坐标法：已知坐标，用 求参数：根据数量积等式（如垂直、已知数量积值），代入公式列方程，求解参数 求投影：在方向上的投影为 【题型专练】 31．（25-26高一下·江苏南京·月考）在中，，若O为的内心，设，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 32．（上海市长宁区2025-2026学年第二学期高三数学教学质量调研试卷）在中，是的中点，，，则_________. 33．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图所示，半圆的直径为圆心，是半圆上不同于A，B的任意一点，若为半径OC上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一下·北京·月考）如图，边长为2的正方形中，是线段上的动点，则（   ） A． B． C．4 D．2 35．（25-26高一下·广东江门·月考）如图，在菱形ABCD中，若，，，． (1)若，，求，，，的值； (2)求的值． (3)若与交于点，求的值 【题型8：平面向量与三角形的综合应用】 【练方法】 核心考查 利用向量表示三角形的中线、角平分线、高，结合向量运算求解三角形相关问题（边长、夹角） 解题方法 中线向量：若M为AB中点，则（O为任意点） 角平分线向量：利用角平分线定理，结合向量线性运算表示角平分线 三角形重心：重心G满足，坐标为三点坐标的平均值 技巧：将三角形中的向量转化为以一个顶点为起点的向量，利用线性运算和数量积求解 【题型专练】 36．【多选题】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点是的重心 C．若，则点的轨迹必过的内心 D．若，且，则的面积是面积的 37．（2025·广西河池·三模）已知的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的长. 38．（2023·贵州·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，，在上，且，求的长. 39．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 40．（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【题型9：平面向量的最值与范围问题】 【练方法】 核心考查 求向量模长、数量积、夹角的最值或取值范围，结合函数、不等式、几何图形求解 解题方法 坐标法：建立平面直角坐标系，将向量坐标化，转化为二次函数最值问题 数量积法：利用，结合的范围（）求最值 几何法：结合向量的几何意义（模长为距离、数量积为投影乘积），利用图形直观判断最值 基本不等式法：利用基本不等式，结合模长、数量积公式求最值 【题型专练】 41．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·月考）（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 43．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高一下·湖南·月考）在中，已知，，，设为线段上一动点，则的最小值为______. 【题型10：平面向量的综合应用（与三角函数、解三角形结合）】 【练方法】 核心考查 将向量与三角恒等变换、解三角形结合，综合考查向量运算、三角函数化简、边角关系求解 解题方法 向量转化：将向量条件转化为坐标条件或数量积条件，剥离向量外壳 三角化简：结合三角恒等变换公式（两角和差、二倍角等），化简三角函数表达式 解三角形衔接：利用正余弦定理，将向量转化的条件与三角形边角关系结合，求解未知量 关键：熟练掌握向量运算与三角函数、解三角形公式的衔接，统一变量求解 【题型专练】 46．【多选题】（25-26高一下·广西贵港·期中）在中，的角平分线交于点D，，O为的外心，则（   ） A． B． C． D． 47．【多选题】（25-26高一下·山东青岛·月考）已知扇形的半径为，，点在弧上运动，，则（   ） A．当位于点时，的值最小 B．的值最大为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 48．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角的值； (2)若为锐角三角形． （ⅰ）求角的范围； （ⅱ）已知，求的取值范围． 49．（25-26高一下·广西南宁·月考）已知平面向量，，设函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 50．（25-26高一下·四川遂宁·月考）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围 (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $